חשב את הזווית בין ישרים במישור ובמרחב: נוסחה

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-02 17:47

בעיה גיאומטרית טיפוסית היא מציאת הזווית בין קווים. במישור, אם משוואות הקווים ידועות, ניתן לצייר אותן ולמדוד את הזווית באמצעות מד זווית. עם זאת, שיטה זו היא מייגעת ולא תמיד אפשרית. כדי לגלות את הזווית הנקראת, אין צורך לצייר קווים ישרים, ניתן לחשב זאת. מאמר זה יענה כיצד זה נעשה.

קו ישר והמשוואה הווקטורית שלו

כל קו ישר יכול להיות מיוצג כווקטור שמתחיל ב-∞ ומסתיים ב-+∞. במקרה זה, הווקטור עובר דרך נקודה כלשהי במרחב. לפיכך, כל הוקטורים שניתן לצייר בין כל שתי נקודות על קו ישר יהיו מקבילים זה לזה. הגדרה זו מאפשרת לך להגדיר את המשוואה של קו ישר בצורה וקטורית:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

כאן, הווקטור עם הקואורדינטות (a; b; c) הוא המדריך לקו זה העובר דרך הנקודה (x₀; y_{0; z}0_{).הפרמטר α מאפשר לך להעביר את הנקודה שצוינה לכל נקודה אחרת עבור קו זה. משוואה זו אינטואיטיבית וקלה לעבודה הן בחלל תלת מימד והן במישור. עבור מישור, הוא לא יכיל את קואורדינטות z ואת רכיב הווקטור של הכיוון השלישי.}

הנוחות של ביצוע חישובים ולימוד המיקום היחסי של קווים ישרים עקב השימוש במשוואה וקטורית נובעת מהעובדה שהווקטור המכוון שלו ידוע. הקואורדינטות שלו משמשות לחישוב הזווית בין קווים והמרחק ביניהם.

משוואה כללית עבור קו ישר במישור

בוא נכתוב במפורש את המשוואה הווקטורית של הקו הישר עבור המקרה הדו-ממדי. זה נראה כמו:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb}

כעת אנו מחשבים את הפרמטר α עבור כל שוויון ומשווים את החלקים הנכונים של השוויון המתקבל:

α=(x - x_0)/a;

α=(y - y_0)/b;

(x - x₀)/a=(y - y_0)/b

פתיחת הסוגריים והעברת כל המונחים לצד אחד של השוויון, נקבל:

1/ax +(-1/b)y+y₀/b- x_0/a=0=>

Ax + By + C=0, כאשר A=1/a, B=-1/b, C=y₀/b- x 0_/a

הביטוי המתקבל נקרא המשוואה הכללית לישר הנתון במרחב דו-ממדי (בתלת-ממד משוואה זו מתאימה למישור המקביל לציר z, לא לישר).

אם נכתוב במפורש y עד x בביטוי הזה, נקבל את הצורה הבאה, ידועהכל תלמיד:

y=kx + p, כאשר k=-A/B, p=-C/B

משוואה לינארית זו מגדירה באופן ייחודי קו ישר במישור. קל מאוד לצייר אותו לפי המשוואה הידועה, לשם כך יש לשים בתורו x=0 ו- y=0, לסמן את הנקודות המתאימות במערכת הקואורדינטות ולשרטט קו ישר המחבר בין הנקודות שהתקבלו.

נוסחת הזווית בין קווים

במישור, שני קווים יכולים להצטלב או להיות מקבילים זה לזה. במרחב, לאפשרויות אלו מתווספת אפשרות לקיומם של קווי הטיה. לא משנה באיזו גרסה של המיקום היחסי של עצמים גיאומטריים חד-ממדיים אלו מיושמת, תמיד ניתן לקבוע את הזווית ביניהם על ידי הנוסחה הבאה:

φ=arccos(|(v₁¯v₂¯)|/(|v₁ ¯||v_2¯|))

כאשר v₁¯ ו-v_{2¯ הם וקטורי ההדרכה עבור שורה 1 ו-2 בהתאמה. המונה הוא המודול של מכפלת הנקודה כדי לא לכלול זוויות קהות ולקחת בחשבון רק זוויות חדות.}

הווקטורים v₁¯ ו-v_{2¯ יכולים להינתן על ידי שתיים או שלוש קואורדינטות, בעוד שהנוסחה לזווית φ נשאר ללא שינוי.}

מקביליות וניצב של קווים

אם הזווית בין 2 קווים המחושבת באמצעות הנוסחה לעיל היא 0o, אז אומרים שהם מקבילים. כדי לקבוע אם הקווים מקבילים או לא, אתה לא יכול לחשב את הזוויתφ, די להראות שווקטור כיוון אחד יכול להיות מיוצג דרך וקטור דומה של ישר אחר, כלומר:

v₁¯=qv_2¯

הנה q הוא מספר אמיתי.

אם משוואות הקווים ניתנות כ:

y=k₁x + p_1,

y=k₂x + p_2,

אז הם יהיו מקבילים רק כאשר המקדמים של x שווים, כלומר:

k₁=k₂

ניתן להוכיח עובדה זו אם נשקול כיצד מקדם k בא לידי ביטוי במונחים של הקואורדינטות של וקטור הכיוון של הישר.

אם זווית החיתוך בין ישרים היא 90^o, אז הם נקראים בניצב. כדי לקבוע את הניצב של קווים, גם אין צורך לחשב את הזווית φ, לשם כך מספיק לחשב רק את המכפלה הסקלרית של הוקטורים v₁¯ ו-v 2_{¯. זה חייב להיות אפס.}

במקרה של ישרים חותכים במרחב, ניתן להשתמש גם בנוסחה של הזווית φ. במקרה זה, יש לפרש את התוצאה בצורה נכונה. ה-φ המחושב מראה את הזווית בין וקטורי הכיוון של ישרים שאינם חותכים ואינם מקבילים.

משימה מס' 1. קווים מאונכים

ידוע שלמשוואות הקווים יש את הצורה:

(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);

(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)

יש צורך לקבוע אם קווים אלו הםבניצב.

כפי שהוזכר לעיל, כדי לענות על השאלה, מספיק לחשב את המכפלה הסקלרית של הווקטורים של המדריכים, התואמים את הקואורדינטות (1; 2) ו-(-4; 2). יש לנו:

(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0

מאז שקיבלנו 0, זה אומר שהקווים הנחשבים נחתכים בזווית ישרה, כלומר, הם מאונכים.

משימה 2. זווית צומת קו

ידוע ששתי משוואות לקשרים ישרים בעלות הצורה הבאה:

y=2x - 1;

y=-x + 3

יש צורך למצוא את הזווית בין הקווים.

מכיוון שלמקדמים של x יש ערכים שונים, קווים אלה אינם מקבילים. כדי למצוא את הזווית שנוצרת כשהן מצטלבות, נתרגם כל אחת מהמשוואות לצורה וקטורית.

עבור השורה הראשונה נקבל:

(x; y)=(x; 2x - 1)

בצד ימין של המשוואה, קיבלנו וקטור שהקואורדינטות שלו תלויות ב-x. נציג אותו כסכום של שני וקטורים, והקואורדינטות של הראשון יכילו את המשתנה x, והקואורדינטות של השני יהיו מורכבות אך ורק ממספרים: