וקטור הוא עצם גיאומטרי חשוב, בעזרת תכונותיו נוח לפתור בעיות רבות במישור ובמרחב. במאמר זה נגדיר אותו, נשקול את המאפיינים העיקריים שלו, וגם נראה כיצד ניתן להשתמש בוקטור במרחב להגדרת מישורים.
מהו וקטור: מקרה דו מימדי
קודם כל, יש צורך להבין בבירור על איזה אובייקט אנחנו מדברים. בגיאומטריה, קטע מכוון נקרא וקטור. כמו כל קטע, הוא מאופיין בשני מרכיבים עיקריים: נקודת ההתחלה והסיום. הקואורדינטות של נקודות אלו קובעות באופן ייחודי את כל המאפיינים של הווקטור.
בואו נשקול דוגמה של וקטור במישור. לשם כך, אנו מציירים שני צירים מאונכים זה לזה x ו-y. הבה נסמן נקודה שרירותית P(x, y). אם נחבר את הנקודה הזו למקור (נקודה O), ואז נציין את הכיוון ל-P, אז נקבל את הווקטור OP¯ (בהמשך המאמר, הפס מעל הסמל מציין שאנחנו שוקלים וקטור). הציור הווקטור על המישור מוצג למטה.
כאן מוצג גם וקטור AB¯ נוסף, וניתן לראות שהמאפיינים שלו זהים לחלוטין ל-OP¯, אבל הוא נמצא בחלק אחר של מערכת הקואורדינטות. על ידי תרגום מקביל OP¯, אתה יכול לקבל מספר אינסופי של וקטורים עם אותם מאפיינים.
וקטור בחלל
כל האובייקטים האמיתיים שמקיפים אותנו נמצאים במרחב תלת מימדי. חקר התכונות הגיאומטריות של דמויות תלת מימדיות עוסק בסטריאומטריה, הפועלת במושג וקטורים תלת מימדיים. הם שונים מאלו הדו-ממדיים רק בכך שתיאורם דורש קואורדינטה נוספת, הנמדדת לאורך הניצב השלישי של ציר x ו-y z.
האיור למטה מציג וקטור במרחב. הקואורדינטות של קצהו לאורך כל ציר מסומנות על ידי קטעים צבעוניים. תחילתו של הווקטור ממוקמת בנקודת החיתוך של כל שלושת צירי הקואורדינטות, כלומר יש לו קואורדינטות (0; 0; 0).
מאחר וקטור במישור הוא מקרה מיוחד של קטע מכוון מרחבית, נשקול רק וקטור תלת מימדי במאמר.
קואורדינטות וקטור מבוססות על קואורדינטות ידועות של ההתחלה והסוף שלו
נניח שיש שתי נקודות P(x1; y1; z1) ו-Q(x2; y2; z2). כיצד לקבוע את הקואורדינטות של הווקטור PQ¯. ראשית, יש צורך להסכים איזו מהנקודות תהיה ההתחלה ואיזה הסוף של הווקטור. במתמטיקה נהוג לכתוב את העצם המדובר בכיוון שלו, כלומר P היא ההתחלה, Q- הסוף. שנית, הקואורדינטות של הווקטור PQ¯ מחושבות כהפרש בין הקואורדינטות המתאימות של הסוף וההתחלה, כלומר:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
שים לב שעל ידי שינוי כיוון הווקטור, הקואורדינטות שלו ישנו סימן, באופן הבא:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
זה אומר PQ¯=-QP¯.
חשוב להבין עוד דבר אחד. נאמר לעיל שבמישור יש מספר אינסופי של וקטורים השווים לזה הנתון. עובדה זו תקפה גם לגבי המקרה המרחבי. למעשה, כאשר חישבנו את הקואורדינטות של PQ¯ בדוגמה שלמעלה, ביצענו את פעולת התרגום המקביל של הווקטור הזה באופן שהמקור שלו עלה בקנה אחד עם המקור. וקטור PQ¯ ניתן לצייר כקטע מכוון מהמקור לנקודה M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
נכסים וקטוריים
כמו לכל אובייקט גיאומטרי, לוקטור יש כמה מאפיינים מובנים שניתן להשתמש בהם כדי לפתור בעיות. בואו נפרט אותם בקצרה.
מודול וקטור הוא אורך הקטע המכוון. לדעת את הקואורדינטות, קל לחשב אותן. עבור הווקטור PQ¯ בדוגמה למעלה, המודולוס הוא:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
מודול וקטור פועלהמישור מחושב על ידי נוסחה דומה, רק ללא השתתפות הקואורדינטה השלישית.
הסכום וההפרש של הוקטורים מתבצעים לפי כלל המשולש. האיור שלהלן מראה כיצד להוסיף ולהחסיר אובייקטים אלה.
כדי לקבל את וקטור הסכום, הוסף את תחילתו של השני לסוף הווקטור הראשון. הווקטור הרצוי יתחיל בתחילת הווקטור הראשון ויסתיים בסוף הווקטור השני.
ההבדל מתבצע תוך התחשבות בעובדה שהווקטור המופחת מוחלף בהפוך, ולאחר מכן מתבצעת פעולת החיבור שתוארה לעיל.
מלבד חיבור וחיסור, חשוב להיות מסוגל להכפיל וקטור במספר. אם המספר שווה ל-k, אזי מתקבל וקטור שהמודלוס שלו הוא פי k שונה מהמקור, והכיוון זהה (k>0) או מנוגד למקורי (k<0).
מוגדרת גם פעולת הכפל של וקטורים בינם לבין עצמם. נפרט עבורו פסקה נפרדת במאמר.
כפל סקלר וקטורי
נניח שיש שני וקטורים u¯(x1; y1; z1) ו-v¯(x2; y2; z2). ניתן להכפיל וקטור לפי וקטור בשתי דרכים שונות:
- Scalar. במקרה זה, התוצאה היא מספר.
- וקטור. התוצאה היא איזה וקטור חדש.
המכפלה הסקלרית של הוקטורים u¯ ו-v¯ מחושב באופן הבא:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
כאשר α היא הזווית בין הוקטורים הנתונים.
ניתן להראות כי ידיעת הקואורדינטות u¯ ו-v¯, ניתן לחשב את תוצר הנקודות שלהם באמצעות הנוסחה הבאה:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
המוצר הסקלרי נוח לשימוש בעת פירוק וקטור לשני מקטעים מכוונים בניצב. הוא משמש גם לחישוב המקביליות או האורתוגונליות של וקטורים, ולחישוב הזווית ביניהם.
מכפלת הצלב של u¯ ו-v¯ נותן וקטור חדש שניצב לאלו המקוריים ובעל מודולוס:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
הכיוון למטה או למעלה של הווקטור החדש נקבע על ידי הכלל של יד ימין (ארבע אצבעות יד ימין מכוונות מקצה הווקטור הראשון לסוף השני, והאגודל מזדקר למעלה מציין את כיוון הווקטור החדש). האיור שלהלן מציג את התוצאה של תוצר הצלב עבור a¯ ו-b¯ שרירותיים.
מכפלת הצלב משמשת לחישוב שטחי הדמויות, וכן לקביעת הקואורדינטות של וקטור מאונך למישור נתון.
הווקטורים והמאפיינים שלהם נוחים לשימוש בעת הגדרת המשוואה של מישור.
משוואה רגילה וכללית של המישור
ישנן מספר דרכים להגדיר מישור. אחד מהם הוא גזירת המשוואה הכללית של המישור, הנובעת ישירות מהכרת הווקטור המאונך לו ואיזו נקודה ידועה ששייכת למישור.
נניח שיש וקטור n¯ (A; B; C) ונקודה P (x0; y0; z 0). איזה תנאי יקיים את כל הנקודות Q(x; y; z) של המישור? מצב זה מורכב מהניצב של כל וקטור PQ¯ ל-n¯ הרגיל. עבור שני וקטורים מאונכים, מכפלת הנקודה הופכת לאפס (cos(90o)=0), כתוב את זה:
(n¯PQ¯)=0 או
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
לפתיחת הסוגריים, נקבל:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 או
Ax + By + Cz +D=0 כאשר D=-Ax0-By0-Cz0.
משוואה זו נקראת כללית עבור המטוס. אנו רואים שהמקדמים שלפני x, y ו-z הם הקואורדינטות של הווקטור הניצב n¯. זה נקרא מדריך מטוס.
משוואה פרמטרית וקטורית של המישור
הדרך השנייה להגדיר מישור היא להשתמש בשני וקטורים השוכנים בו.
נניח שיש וקטורים u¯(x1; y1; z1) ו-v¯(x2; y2; z2). כפי שנאמר, כל אחד מהם במרחב יכול להיות מיוצג על ידי מספר אינסופי של מקטעים מכוונים זהים, ולכן יש צורך בנקודה נוספת כדי לקבוע באופן ייחודי את המישור. תן לנקודה זו להיות P(x0;y0; z0). כל נקודה Q(x; y; z) תהיה במישור הרצוי אם הווקטור PQ¯ יכול להיות מיוצג כשילוב של u¯ ו-v¯. כלומר, יש לנו:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
כאשר α ו-β הם כמה מספרים ממשיים. מהשוויון הזה נובע הביטוי:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
זה נקרא משוואת וקטור פרמטרית של המישור ביחס ל-2 וקטורים u¯ ו-v¯. בהחלפת פרמטרים שרירותיים α ו-β, ניתן למצוא את כל הנקודות (x; y; z) השייכות למישור הזה.
מתוך משוואה זו קל לקבל את הביטוי הכללי למישור. כדי לעשות זאת, מספיק למצוא את וקטור הכיוון n¯, שיהיה מאונך לשני הוקטורים u¯ ו-v¯, כלומר, יש להחיל את המכפלה הווקטורית שלהם.
בעיית קביעת המשוואה הכללית של המישור
בוא נראה כיצד להשתמש בנוסחאות לעיל כדי לפתור בעיות גיאומטריות. נניח וקטור הכיוון של המישור הוא n¯(5; -3; 1). עליך למצוא את משוואת המישור, בידיעה שהנקודה P(2; 0; 0) שייכת אליו.
המשוואה הכללית כתובה כך:
Ax + By + Cz +D=0.
מכיוון שהווקטור המאונך למישור ידוע, המשוואה תקבל את הצורה:
5x - 3y + z +D=0.
נותר למצוא את המונח החופשי D. אנו מחשבים אותו מתוך ידיעת הקואורדינטות P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
לכן, למשוואה הרצויה של המישור יש את הצורה:
5x - 3y + z -10=0.
האיור למטה מראה איך נראה המטוס שנוצר.
הקואורדינטות המצוינות של הנקודות מתאימות לחתכי המישור עם צירי x, y ו-z.
בעיית קביעת המישור באמצעות שני וקטורים ונקודה
עכשיו נניח שהמישור הקודם מוגדר אחרת. שני וקטורים u¯(-2; 0; 10) ו-v¯(-2; -10/3; 0) ידועים, כמו גם הנקודה P(2; 0; 0). איך כותבים את משוואת המישור בצורה פרמטרית וקטורית? באמצעות הנוסחה המתאימה הנחשבת, נקבל:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
שים לב שאת ההגדרות של משוואת המישור הזו, הוקטורים u¯ ו-v¯ ניתן לקחת לחלוטין בכל, אבל בתנאי אחד: אסור להם להיות מקבילים. אחרת, לא ניתן לקבוע את המישור באופן ייחודי, עם זאת, ניתן למצוא משוואה עבור קרן או קבוצה של מישורים.
