שיטות לקביעת משוואות הקווים במישור ובמרחב התלת מימדי

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-02 17:47

הקו הישר הוא העצם הגיאומטרי העיקרי במישור ובמרחב התלת מימדי. מקווים ישרים נבנות דמויות רבות, למשל: מקבילית, משולש, מנסרה, פירמידה וכו'. שקול במאמר דרכים שונות לקביעת משוואות הקווים.

הגדרה של קו ישר וסוגי משוואות לתיאורו

לכל תלמיד יש מושג טוב על איזה אובייקט גיאומטרי הוא מדבר. קו ישר יכול להיות מיוצג כאוסף של נקודות, ואם נחבר כל אחת מהן בתורה עם כל האחרות, אז נקבל קבוצה של וקטורים מקבילים. במילים אחרות, אפשר להגיע לכל נקודה של הישר מאחת הנקודות הקבועות שלו, להעביר אותה לוקטור יחידה כלשהו מוכפל במספר ממשי. הגדרה זו של קו ישר משמשת להגדרת שוויון וקטור לתיאור המתמטי שלו הן במישור והן במרחב התלת מימדי.

ניתן לייצג קו ישר מתמטית על ידי סוגי המשוואות הבאים:

• general;
• vector;
• parametric;
• בקטעים;
• סימטרי (קנוני).

לאחר מכן, נשקול את כל הסוגים הנקובים ונראה כיצד לעבוד איתם באמצעות דוגמאות לפתרון בעיות.

תיאור וקטור ופרמטרי של קו ישר

בוא נתחיל בהגדרת קו ישר דרך וקטור ידוע. נניח שיש נקודה קבועה במרחב M(x₀; y₀; z_{0). ידוע שהקו הישר עובר דרכו ומכוון לאורך קטע הווקטור v¯(a;b;c). כיצד למצוא נקודה שרירותית של הקו מנתונים אלה? התשובה לשאלה זו תעניק את השוויון הבא:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

כאשר λ הוא מספר שרירותי.

ניתן לכתוב ביטוי דומה עבור המקרה הדו-ממדי, שבו הקואורדינטות של הוקטורים והנקודות מיוצגות על ידי קבוצה של שני מספרים:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

המשוואות הכתובות נקראות משוואות וקטוריות, והקטע המכוון v¯ עצמו הוא וקטור הכיוון של הקו הישר.

מהביטויים הכתובים, המשוואות הפרמטריות המתאימות מתקבלות בפשטות, מספיק לשכתב אותן במפורש. לדוגמה, עבור המקרה במרחב, נקבל את המשוואה הבאה:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

נוח לעבוד עם משוואות פרמטריות אם צריך לנתח את ההתנהגותכל קואורדינטה. שימו לב שלמרות שהפרמטר λ יכול לקבל ערכים שרירותיים, הוא חייב להיות זהה בכל שלושת השווים.

משוואה כללית

דרך נוספת להגדיר קו ישר, המשמש לעתים קרובות לעבודה עם האובייקט הגיאומטרי הנחשב, היא להשתמש במשוואה כללית. עבור המארז הדו-ממדי, זה נראה כך:

Ax + By + C=0

כאן אותיות לטיניות גדולות מייצגות ערכים מספריים ספציפיים. הנוחות של שוויון זה בפתרון בעיות טמונה בעובדה שהוא מכיל במפורש וקטור הניצב לישר. אם נסמן אותו ב-n¯, נוכל לכתוב:

n¯=[A; B]

בנוסף, הביטוי נוח לשימוש כדי לקבוע את המרחק מקו ישר לנקודה כלשהי P(x₁; y_{1). הנוסחה למרחק d היא:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

קל להראות שאם אנו מבטאים במפורש את המשתנה y מהמשוואה הכללית, נקבל את הצורה הידועה הבאה של כתיבת קו ישר:

y=kx + b

כאשר k ו-b נקבעים באופן ייחודי על ידי המספרים A, B, C.

המשוואה בקטעים וקנוניים

המשוואה בקטעים היא הקלה ביותר לקבלה מהתצוגה הכללית. נראה לך איך לעשות את זה.

נניח שיש לנו את השורה הבאה:

Ax + By + C=0

הזז את המונח החופשי לצד ימין של השוויון, ואז נחלק בו את כל המשוואה, נקבל:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, כאשר q=-C / A, p=-C / B

קיבלנו את מה שנקרא המשוואה בקטעים. הוא קיבל את שמו בשל העובדה שהמכנה שבו מחולק כל משתנה מציג את הערך של הקואורדינטה של מפגש הישר עם הציר המתאים. נוח להשתמש בעובדה זו כדי לתאר קו ישר במערכת קואורדינטות, וכן לנתח את מיקומו היחסי ביחס לאובייקטים גיאומטריים אחרים (קווים ישרים, נקודות).

עכשיו נעבור להשגת המשוואה הקנונית. קל יותר לעשות זאת אם ניקח בחשבון את האפשרות הפרמטרית. לתיק במטוס יש לנו:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

אנו מבטאים את הפרמטר λ בכל שוויון, ואז נשווה אותם, נקבל:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

זו המשוואה הרצויה הכתובה בצורה סימטרית. בדיוק כמו ביטוי וקטור, הוא מכיל במפורש את הקואורדינטות של וקטור הכיוון ואת הקואורדינטות של אחת הנקודות ששייכות לקו.

ניתן לראות שבפסקה זו נתנו משוואות למקרה הדו-ממדי. באופן דומה, ניתן לכתוב את המשוואה של קו ישר במרחב. יש לציין כאן שאם הצורה הקנוניתרשומות וביטוי בקטעים יהיו בעלי אותה צורה, ואז המשוואה הכללית במרחב עבור ישר מיוצגת על ידי מערכת של שתי משוואות עבור מישורים מצטלבים.

הבעיה של בניית המשוואה של קו ישר

מהגיאומטריה, כל תלמיד יודע שבאמצעות שתי נקודות אפשר לצייר קו בודד. נניח שהנקודות הבאות ניתנות במישור הקואורדינטות:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

יש צורך למצוא את משוואת הישר אליו שייכות שתי הנקודות, בקטעים, בצורה וקטורית, קנונית וכללית.

בוא נקבל תחילה את המשוואה הווקטורית. לשם כך, הגדר עבור וקטור הכיוון הישיר M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

עכשיו אתה יכול ליצור משוואה וקטורית על ידי נטילת אחת משתי הנקודות שצוינו בהצהרת הבעיה, לדוגמה, M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

כדי לקבל את המשוואה הקנונית, מספיק להפוך את השוויון שנמצא לצורה פרמטרית ולא לכלול את הפרמטר λ. יש לנו:

x=-1 - 2λ, לכן λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, אז נקבל λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

ניתן למצוא את שתי המשוואות הנותרות (כללי ובקטעים) מהקנונית על ידי הפיכתה באופן הבא:

x + 1=-2y + 6;

משוואה כללית: x + 2y - 5=0;

במשוואת קטעים: x / 5 + y / 2, 5=1

המשוואות המתקבלות מראות שהווקטור (1; 2) חייב להיות מאונך לישר. ואכן, אם תמצא את המכפלה הסקלרית שלו עם וקטור הכיוון, אז הוא יהיה שווה לאפס. משוואת קטע הישר אומרת שהקו חוצה את ציר ה-x ב-(5; 0) ואת ציר ה-y ב-(2, 5; 0).

בעיית קביעת נקודת החיתוך של קווים

שני קווים ישרים ניתנים במישור באמצעות המשוואות הבאות:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

יש צורך לקבוע את הקואורדינטות של הנקודה שבה קווים אלה מצטלבים.

ישנן שתי דרכים לפתור את הבעיה:

1. המר את המשוואה הווקטורית לצורה כללית, ואז פתור את המערכת של שתי משוואות לינאריות.
2. אל תבצע טרנספורמציה כלשהי, אלא פשוט החלף את הקואורדינטה של נקודת החיתוך, המתבטאת באמצעות הפרמטר λ, לתוך המשוואה הראשונה. לאחר מכן מצא את ערך הפרמטר.

בוא נעשה את הדרך השנייה. יש לנו:

x=-λ;

y=-1 + 3λ;

2(-λ) + (-1) + 3λ - 1=0;

λ=2

החלף את המספר המתקבל במשוואה הווקטורית:

(x; y)=(0; -1) + 2(-1; 3)=(-2; 5)

לכן, הנקודה היחידה ששייכת לשני הקווים היא הנקודה עם הקואורדינטות (-2; 5). הקווים מצטלבים בו.