אחת הבעיות הנפוצות בסטריאומטריה הן המשימות של חציית קווים ישרים ומישורים וחישוב הזוויות ביניהם. הבה נבחן במאמר זה ביתר פירוט את מה שנקרא שיטת הקואורדינטות ואת הזוויות בין הקו למישור.
קו ומישור בגיאומטריה
לפני ששוקלים את שיטת הקואורדינטות ואת הזווית בין קו למישור, כדאי להכיר את האובייקטים הגיאומטריים הנקראים.
קו הוא אוסף כזה של נקודות במרחב או במישור, שכל אחת מהן יכולה להתקבל על ידי העברה לינארית של הקודמת לוקטור מסוים. בהמשך, נסמן את הווקטור הזה בסמל u¯. אם וקטור זה מוכפל במספר כלשהו שאינו שווה לאפס, אז נקבל וקטור מקביל ל-u¯. קו הוא עצם אינסופי ליניארי.
מישור הוא גם אוסף של נקודות שממוקמות בצורה כזו שאם מרכיבים מהן וקטורים שרירותיים, אז כולן יהיו מאונכות ל-n¯ וקטור כלשהו. זה האחרון נקרא נורמלי או פשוט נורמלי.מישור, בניגוד לקו ישר, הוא עצם אינסופי דו מימדי.
שיטת קואורדינטות לפתרון בעיות גיאומטריה
בהתבסס על שם השיטה עצמה, אנו יכולים להסיק כי מדובר בשיטה לפתרון בעיות, המבוססת על ביצוע חישובים עוקבים אנליטיים. במילים אחרות, שיטת הקואורדינטות מאפשרת לפתור בעיות גיאומטריות באמצעות כלי אלגברה אוניברסליים, שהעיקריות שבהם הן משוואות.
יש לציין שהשיטה הנבחנת הופיעה בשחר הגיאומטריה והאלגברה המודרניים. תרומה גדולה לפיתוחו תרמו רנה דקארט, פייר דה פרמה, אייזק ניוטון ולייבניץ במאות ה-17-18.
מהות השיטה היא לחשב את המרחקים, הזוויות, השטחים והנפחים של אלמנטים גיאומטריים על סמך הקואורדינטות של נקודות ידועות. שימו לב שצורת המשוואות הסופיות המתקבלות תלויה במערכת הקואורדינטות. לרוב, המערכת הקרטזית המלבנית משמשת בבעיות, שכן היא נוחה ביותר לעבודה.
משוואת קו
התחשבות בשיטת הקואורדינטות ובזוויות בין הישר למישור, נתחיל בקביעת משוואת הישר. ישנן מספר דרכים לייצג קווים בצורה אלגברית. כאן אנו מתייחסים למשוואה הווקטורית בלבד, שכן ניתן לקבל ממנה בקלות בכל צורה אחרת וקל לעבוד איתה.
נניח שיש שתי נקודות: P ו-Q. ידוע שאפשר לצייר דרכן קו, וזהיהיה היחיד. הייצוג המתמטי התואם של האלמנט נראה כך:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
כאשר PQ¯ הוא וקטור שהקואורדינטות שלו מתקבלות באופן הבא:
PQ¯=Q - P.
הסמל λ מציין פרמטר שיכול לקחת כל מספר.
בביטוי הכתוב, אפשר לשנות את כיוון הווקטור, וגם להחליף את הקואורדינטות Q במקום את הנקודה P. כל התמורות הללו לא יובילו לשינוי במיקום הגיאומטרי של הישר.
שימו לב שכאשר פותרים בעיות, לפעמים נדרש לייצג את המשוואה הווקטורית הכתובה בצורה מפורשת (פרמטרית).
הגדרת מטוס בחלל
כמו גם עבור קו ישר, יש גם כמה צורות של משוואות מתמטיות למישור. ביניהם, נציין את הווקטור, את המשוואה בקטעים ואת הצורה הכללית. במאמר זה נקדיש תשומת לב מיוחדת לטופס האחרון.
ניתן לכתוב משוואה כללית למישור שרירותי באופן הבא:
Ax + By + Cz + D=0.
אותיות גדולות בלטיניות הן מספרים מסוימים שמגדירים מישור.
הנוחות של סימון זה הוא שהוא מכיל במפורש וקטור נורמלי למישור. זה שווה ל:
n¯=(A, B, C).
הכרת הווקטור הזה מאפשרת, על ידי התבוננות קצרה במשוואת המישור, לדמיין את מיקומו של האחרון במערכת הקואורדינטות.
סידור הדדימרחב של קו ומישור
בפסקה הבאה של המאמר נעבור לבחינת שיטת הקואורדינטות והזווית בין הקו למישור. כאן נענה על השאלה כיצד ניתן למקם את האלמנטים הגיאומטריים הנחשבים בחלל. יש שלוש דרכים:
- הקו הישר חוצה את המטוס. באמצעות שיטת הקואורדינטות, ניתן לחשב באיזו נקודה בודדת הישר והמישור מצטלבים.
- המישור של קו ישר מקביל. במקרה זה, למערכת המשוואות של יסודות גיאומטריים אין פתרון. כדי להוכיח מקביליות, בדרך כלל משתמשים בתכונת המכפלה הסקלרית של וקטור המכוון של הקו הישר והנורמלי של המישור.
- המטוס מכיל קו. פתרון מערכת המשוואות במקרה זה, נגיע למסקנה שלכל ערך של הפרמטר λ מתקבל השוויון הנכון.
במקרה השני והשלישי, הזווית בין העצמים הגיאומטריים שצוינו שווה לאפס. במקרה הראשון, הוא נמצא בין 0 ל-90o.
חישוב זוויות בין קווים ומישורים
עכשיו נעבור ישירות לנושא המאמר. כל חיתוך של קו ומישור מתרחש בזווית כלשהי. זווית זו נוצרת מהקו הישר עצמו והקרנתו על המישור. ניתן לקבל הקרנה אם מכל נקודה של ישר מורידים אנך אל המישור, ואז דרך נקודת החיתוך המתקבלת של המישור והניצב ונקודת החיתוך של המישור והקו המקורי, מציירים א. קו ישר שיהיה הקרנה.
חישוב הזוויות בין קווים למישורים אינו משימה קשה. כדי לפתור את זה, מספיק להכיר את המשוואות של העצמים הגיאומטריים המתאימים. נניח שהמשוואות האלה נראות כך:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
את הזווית הרצויה ניתן למצוא בקלות באמצעות המאפיין של המכפלה של הוקטורים הסקלרים u¯ ו-n¯. הנוסחה הסופית נראית כך:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
נוסחה זו אומרת שהסינוס של הזווית בין ישר למישור שווה ליחס בין המודולוס של המכפלה הסקלרית של הוקטורים המסומנים למכפלת אורכם. כדי להבין מדוע הופיע סינוס במקום קוסינוס, הבה נפנה לאיור למטה.
ניתן לראות שאם נחיל את פונקציית הקוסינוס, נקבל את הזווית בין הוקטורים u¯ ו-n¯. הזווית הרצויה θ (α באיור) מתקבלת באופן הבא:
θ=90o- β.
הסינוס מופיע כתוצאה מיישום נוסחאות ההפחתה.
בעיה לדוגמה
בואו נעבור לשימוש מעשי בידע הנרכש. בואו נפתור בעיה טיפוסית על הזווית בין קו ישר למישור. ניתנות הקואורדינטות הבאות של ארבע נקודות:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
ידוע שדרך נקודות PQMמטוס עובר בו, וקו ישר עובר דרך MN. בשיטת הקואורדינטות יש לחשב את הזווית בין המישור לקו.
ראשית, נרשום את משוואות הישר והמישור. עבור קו ישר, קל להרכיב אותו:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
כדי ליצור את המשוואה של המישור, אנו מוצאים תחילה את הנורמלי אליו. הקואורדינטות שלו שוות למכפלה הווקטורית של שני וקטורים השוכנים במישור הנתון. יש לנו:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
עכשיו בואו נחליף את הקואורדינטות של כל נקודה שנמצאת בה במשוואה של המישור הכללי כדי לקבל את הערך של האיבר החופשי D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
משוואת המישור היא:
11x + 4y + 5z - 7=0.
נותר ליישם את הנוסחה לזווית הנוצרת במפגש של קו ישר ומישור כדי לקבל את התשובה לבעיה. יש לנו:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
באמצעות בעיה זו כדוגמה, הראינו כיצד להשתמש בשיטת הקואורדינטות כדי לפתור בעיות גיאומטריות.
