זוויות בין מטוסים. כיצד לקבוע את הזווית בין מישורים

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-02 17:47

כאשר פותרים בעיות גיאומטריות במרחב, לעתים קרובות יש כאלו שבהן יש צורך לחשב את הזוויות בין עצמים מרחביים שונים. במאמר זה נשקול את נושא מציאת זוויות בין מישורים ובינם לבין קו ישר.

קו בחלל

ידוע שבאופן מוחלט כל קו ישר במישור יכול להיות מוגדר על ידי השוויון הבא:

y=ax + b

כאן a ו-b הם מספר מספרים. אם נציג קו ישר במרחב עם אותו ביטוי, אז נקבל מישור מקביל לציר z. להגדרה המתמטית של הקו המרחבי, נעשה שימוש בשיטת פתרון שונה מאשר במקרה הדו-ממדי. זה מורכב משימוש במושג "וקטור כיוון".

וקטור המכוון של קו ישר מראה את הכיוון שלו במרחב. פרמטר זה שייך לקו. מכיוון שקיימת קבוצה אינסופית של וקטורים מקבילים במרחב, אזי כדי לקבוע באופן ייחודי את העצם הגיאומטרי הנחשב, יש צורך גם לדעת את הקואורדינטות של הנקודה השייכת לו.

נניח שישנקודה P(x₀; y₀; z_{0) וקטור הכיוון v¯(a; b; c), אז ניתן לתת את המשוואה של ישר באופן הבא:}

(x; y; z)=P + α v¯ או

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

ביטוי זה נקרא משוואת וקטור פרמטרית של ישר. מקדם α הוא פרמטר שיכול לקחת כל ערך אמיתי לחלוטין. ניתן לייצג את הקואורדינטות של קו באופן מפורש על ידי הרחבת השוויון הזה:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

משוואת המישור

ישנן מספר צורות של כתיבת משוואה למישור בחלל. כאן נשקול אחד מהם, המשמש לרוב בעת חישוב הזוויות בין שני מישורים או בין אחד מהם לקו ישר.

אם ידוע וקטור כלשהו n¯(A; B; C), המאונך למישור הרצוי, והנקודה P(x₀; y ₀; z_{0), השייך אליו, אז המשוואה הכללית של האחרון היא:}

Ax + By + Cz + D=0 כאשר D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

השמטנו את הגזירה של הביטוי הזה, שהיא די פשוטה. כאן רק נציין כי בהכרת המקדמים של המשתנים במשוואת המישור, ניתן למצוא בקלות את כל הוקטורים המאונכים לו. האחרונים נקראים נורמלים ומשמשים בחישוב הזוויות בין השיפוע למישור וביןאנלוגים שרירותיים.

מיקום המישורים והנוסחה לזווית ביניהם

בוא נגיד שיש שני מטוסים. מהן האפשרויות למיקומם היחסי במרחב. מכיוון שלמישור שני ממדים אינסופיים ואפס אחד, אפשריות רק שתי אפשרויות לכיוון ההדדי שלהם:

הם יהיו מקבילים זה לזה;
הם עשויים לחפוף.

הזווית בין מישורים היא האינדקס בין וקטורי הכיוון שלהם, כלומר בין הנורמליות שלהם n₁¯ ו-n_2¯.

ברור שאם הם מקבילים למישור, אז זווית החיתוך היא אפס ביניהם. אם הם מצטלבים, אז זה לא אפס, אבל תמיד חד. מקרה מיוחד של צומת יהיה הזווית 90o, כאשר המטוסים מאונכים זה לזה.

הזווית α בין n₁¯ ו-n_{2¯ נקבעת בקלות מהמכפלה הסקלרית של וקטורים אלה. כלומר, הנוסחה מתקיימת:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

נניח שהקואורדינטות של הוקטורים האלה הן: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). לאחר מכן, באמצעות הנוסחאות לחישוב המכפלה הסקלרית והמודולים של וקטורים דרך הקואורדינטות שלהם, ניתן לכתוב מחדש את הביטוי שלמעלה כך:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

המודלוס במונה הופיע כי כדי לא לכלול את הערכים של זוויות קהות.

דוגמאות לפתרון בעיות לקביעת זווית החיתוך של מישורים

לדעת למצוא את הזווית בין המטוסים, נפתור את הבעיה הבאה. שני מישורים נתונים, המשוואות שלהם הן:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

מהי הזווית בין המטוסים?

כדי לענות על שאלת הבעיה, נזכור שהמקדמים של המשתנים במשוואה הכללית של המישור הם הקואורדינטות של וקטור המדריך. עבור המטוסים המצוינים יש לנו את הקואורדינטות הבאות של הנורמליות שלהם:

_{1¯(3; 4; -1);}

_{2¯(-1; -2; 5)}

עכשיו אנחנו מוצאים את המכפלה הסקלרית של הוקטורים האלה והמודולים שלהם, יש לנו:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

עכשיו אתה יכול להחליף את המספרים שנמצאו בנוסחה שניתנה בפסקה הקודמת. אנחנו מקבלים:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

הערך המתקבל מתאים לזווית חיתוך חדה של המישורים המצוינים בתנאימשימות.

עכשיו שקול דוגמה נוספת. בהינתן שני מטוסים:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

האם הם מצטלבים? בואו נכתוב את ערכי הקואורדינטות של וקטורי הכיוון שלהם, נחשב את המכפלה הסקלרית והמודולים שלהם:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

אז זווית הצומת היא:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

זווית זו מצביעה על כך שהמישורים אינם מצטלבים, אלא מקבילים. קל לבדוק את העובדה שהם לא תואמים זה לזה. ניקח לכך נקודה שרירותית השייכת לראשון שבהם, למשל, P(0; 3; 2). החלף את הקואורדינטות שלו במשוואה השנייה, נקבל:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

כלומר, הנקודה P שייכת רק למישור הראשון.

אז שני מישורים מקבילים כאשר הנורמלים שלהם.

מישור וקו ישר

במקרה של התחשבות במיקום היחסי בין מישור לקו ישר, ישנן מספר אפשרויות נוספות מאשר עם שני מישורים. עובדה זו קשורה לעובדה שהקו הישר הוא עצם חד-ממדי. קו ומטוס יכולים להיות:

מקביל הדדי, במקרה זה המטוס אינו חוצה את הקו;
האחרון עשוי להיות שייך למטוס, בעוד שהוא גם יהיה מקביל לו;
שני האובייקטים יכוליםמצטלבים בזווית כלשהי.

בואו נשקול תחילה את המקרה האחרון, מכיוון שהוא מצריך את הצגת המושג של זווית ההצטלבות.

קו ומישור, הזווית ביניהם

אם ישר חוצה מישור, אז הוא נקרא משופע ביחס אליו. נקודת החיתוך נקראת בסיס המדרון. כדי לקבוע את הזווית בין עצמים גיאומטריים אלה, יש צורך להוריד ישר בניצב למישור מכל נקודה. ואז נקודת החיתוך של הניצב עם המישור ומקום החיתוך של הקו המשופע איתו יוצרים קו ישר. זה האחרון נקרא הקרנה של הקו המקורי על המטוס הנדון. הזווית החדה בין הקו להשלכתו היא זו הנדרשת.

הגדרה קצת מבלבלת של הזווית בין מישור לאלכסון תבהיר את האיור שלהלן.

כאן הזווית ABO היא הזווית בין הישר AB למישור a.

כדי לרשום את הנוסחה עבורו, שקול דוגמה. יהיו קו ישר ומישור, שמתוארים במשוואות:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

קל לחשב את הזווית הרצויה עבור עצמים אלה אם אתה מוצא את המכפלה הסקלרית בין וקטורי הכיוון של הישר והמישור. יש להפחית את הזווית החדה המתקבלת מ-90o, ואז היא מתקבלת בין קו ישר למישור.

האיור שלמעלה מציג את האלגוריתם המתואר למציאתזווית נחשבת. כאן β היא הזווית בין הנורמלי לישר, ו-α היא בין הישר להשלכתו על המישור. ניתן לראות שהסכום שלהם הוא 90o.

למעלה הוצגה נוסחה שעונה על השאלה איך למצוא זווית בין מישורים. כעת אנו נותנים את הביטוי המתאים למקרה של קו ישר ומישור:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

המודלוס בנוסחה מאפשר לחשב זוויות חדות בלבד. הפונקציה arcsine הופיעה במקום arccosine עקב השימוש בנוסחת ההפחתה המתאימה בין פונקציות טריגונומטריות (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).

בעיה: מטוס חוצה קו ישר

עכשיו בואו נראה איך עובדים עם הנוסחה שלמעלה. בואו נפתור את הבעיה: יש צורך לחשב את הזווית בין ציר ה-y למישור הנתונה במשוואה:

y - z + 12=0

מטוס זה מוצג בתמונה.

אתה יכול לראות שהוא חותך את ציר ה-y וה-z בנקודות (0; -12; 0) ו-(0; 0; 12), בהתאמה, והוא מקביל לציר x.

לווקטור הכיוון של הישר y יש קואורדינטות (0; 1; 0). וקטור מאונך למישור נתון מאופיין בקואורדינטות (0; 1; -1). אנו מיישמים את הנוסחה לזווית החיתוך של קו ישר ומישור, נקבל:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

בעיה: קו ישר מקביל למישור

עכשיו בואו נחליטבדומה לבעיה הקודמת, שהשאלה בה נשאלת אחרת. משוואות המישור והקו הישר ידועות:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

יש צורך לברר אם העצמים הגיאומטריים הללו מקבילים זה לזה.

יש לנו שני וקטורים: כיוון הישר הוא (0; 2; 2) וכיוון המישור הוא (1; 1; -1). מצא את המוצר הנקודה שלהם:

01 + 12 - 12=0

האפס המתקבל מציין שהזווית בין הוקטורים האלה היא 90o, מה שמוכיח שהקו והמישור מקבילים.

עכשיו בוא נבדוק אם הקו הזה הוא רק מקביל או גם נמצא במישור. לשם כך, בחרו נקודה שרירותית על הקו ובדקו האם היא שייכת למישור. לדוגמה, ניקח את λ=0, אז הנקודה P(1; 0; 0) שייכת לקו. תחליף לתוך משוואת המישור P:

1 - 3=-2 ≠ 0

הנקודה P אינה שייכת למישור, מה שאומר שגם הקו כולו אינו מונח בה.

היכן חשוב לדעת את הזוויות בין העצמים הגיאומטריים הנחשבים?

הנוסחאות והדוגמאות שלעיל לפתרון בעיות הן לא רק בעלות עניין תיאורטי. הם משמשים לעתים קרובות כדי לקבוע כמויות פיזיקליות חשובות של דמויות תלת מימדיות אמיתיות, כגון מנסרות או פירמידות. חשוב להיות מסוגל לקבוע את הזווית בין המישורים בעת חישוב נפחי הדמויות ושטחי המשטחים שלהן. יתרה מכך, אם במקרה של פריזמה ישרה אפשר לא להשתמש בנוסחאות אלו כדי לקבועערכים שצוינו, אז עבור כל סוג של פירמידה השימוש בהם הוא בלתי נמנע.

להלן, שקול דוגמה לשימוש בתיאוריה שלעיל כדי לקבוע את הזוויות של פירמידה עם בסיס ריבועי.

הפירמידה ופינותיה

האיור למטה מציג פירמידה שבבסיסה נמצא ריבוע עם צלע a. גובה הדמות הוא h. צריך למצוא שתי פינות:

בין משטח צד לבסיס;
בין צלע צד לבסיס.

כדי לפתור את הבעיה, תחילה עליך להיכנס למערכת הקואורדינטות ולקבוע את הפרמטרים של הקודקודים המתאימים. האיור מראה שמקור הקואורדינטות עולה בקנה אחד עם הנקודה במרכז הבסיס הריבועי. במקרה זה, מישור הבסיס מתואר באמצעות המשוואה:

z=0

כלומר, עבור כל x ו-y, הערך של הקואורדינטה השלישית הוא תמיד אפס. המישור הרוחבי ABC חוצה את ציר z בנקודה B(0; 0; h), ואת ציר ה-y בנקודה עם קואורדינטות (0; a/2; 0). הוא לא חוצה את ציר ה-x. משמעות הדבר היא שניתן לכתוב את המשוואה של מישור ABC כך: