ידע אמיתי בכל עת התבסס על ביסוס דפוס והוכחת אמיתותו בנסיבות מסוימות. במשך תקופה כה ארוכה של קיום של נימוקים לוגיים, ניתנו ניסוחי הכללים, ואריסטו אף הרכיב רשימה של "הנמקות הנכונות". מבחינה היסטורית נהוג לחלק את כל המסקנות לשני סוגים - מהקונקרטי ועד לרבים (אינדוקציה) ולהיפך (דידוקציה). יש לציין שסוגי הראיות מפרט לכלל ומכלל לפרט קיימים רק ביחס ואינם ניתנים להחלפה.
אינדוקציה במתמטיקה
למונח "אינדוקציה" (אינדוקציה) יש שורשים לטיניים ומתורגם באופן מילולי כ"הדרכה". לאחר עיון מעמיק יותר, ניתן להבחין במבנה המילה, כלומר הקידומת הלטינית - in- (מציינת פעולה מכוונת פנימה או הוויה בפנים) ו-duction - הקדמה. ראוי לציין כי ישנם שני סוגים - אינדוקציה מלאה ובלתי שלמה. הטופס המלא מאופיין במסקנות שנגזרו מלימוד כל המקצועות של כיתה מסוימת.
לא שלם - מסקנות,חל על כל פריטי הכיתה, אך מבוסס על לימוד של יחידות מסוימות בלבד.
אינדוקציה מתמטית מלאה - מסקנה המבוססת על מסקנה כללית לגבי כל המחלקה של אובייקטים כלשהם הקשורים פונקציונלית על ידי יחסים של סדרת המספרים הטבעית המבוססת על הידע של הקשר הפונקציונלי הזה. במקרה זה, תהליך ההוכחה מתרחש בשלושה שלבים:
- בראשון, נכונות ההצהרה של אינדוקציה מתמטית מוכחת. דוגמה: f=1, זה הבסיס לאינדוקציה;
- השלב הבא מבוסס על ההנחה שהמיקום תקף עבור כל המספרים הטבעיים. כלומר, f=h, זו השערת האינדוקציה;
- בשלב השלישי מוכח תקפות המיקום למספר f=h+1, על סמך נכונות המיקום של הפסקה הקודמת - זהו מעבר אינדוקציה, או שלב של אינדוקציה מתמטית. דוגמה היא מה שנקרא "עקרון הדומינו": אם העצם הראשונה בשורה נופלת (בסיס), אז כל האבנים בשורה נופלות (מעבר).
צוחק ורציני
למען קלות התפיסה, דוגמאות לפתרונות בשיטת האינדוקציה המתמטית מוקעות כבעיות בדיחה. זו משימת התור המנומס:
כללי ההתנהגות אוסרים על גבר לעשות סיבוב מול אישה (במצב כזה נותנים לה מקדימה). בהתבסס על הצהרה זו, אם האחרון בתור הוא גבר, אז כל השאר הם גברים
דוגמה בולטת לשיטת האינדוקציה המתמטית היא הבעיה "טיסה ללא מימד":
נדרש להוכיח זאת בהמיניבוס מתאים לכל מספר אנשים. נכון שאדם אחד יכול להתאים בתוך ההובלה ללא קושי (בסיס). אבל לא משנה כמה המיניבוס מלא, תמיד יתאים לו נוסע אחד (שלב אינדוקציה)
מעגלים מוכרים
דוגמאות לפתרון בעיות ומשוואות באמצעות אינדוקציה מתמטית הן נפוצות למדי. כהמחשה לגישה זו, שקול את הבעיה הבאה.
מצב: יש h עיגולים במטוס. נדרש להוכיח כי עבור כל סידור של הדמויות, המפה שנוצרת על ידם יכולה להיצבע בצורה נכונה בשני צבעים.
החלטה: עבור h=1 האמת של ההצהרה ברורה, לכן ההוכחה תיבנה עבור מספר העיגולים h+1.
בוא נניח שהמשפט נכון לכל מפה, ונתונים עיגולים h+1 במישור. על ידי הסרת אחד העיגולים מהסך הכל, תוכל לקבל מפה בצבע נכון עם שני צבעים (שחור ולבן).
כאשר משחזרים עיגול שנמחק, הצבע של כל אזור משתנה להפך (במקרה זה, בתוך העיגול). התוצאה היא מפה שצבעה נכון עם שני צבעים, שנדרשה להוכיח.
דוגמאות עם מספרים טבעיים
היישום של שיטת האינדוקציה המתמטית מודגם להלן.
דוגמאות לפתרון:
הוכח שבכל שעה השוויון יהיה נכון:
12+22+32+…+h 2=h(h+1)(2h+1)/6.
פתרון:
1. תן h=1, ואז:
R1=12=1(1+1)(2+1)/6=1
זה נובע שעבור h=1 ההצהרה נכונה.
2. בהנחה h=d, המשוואה היא:
R1=d2=d(d+1)(2d+1)/6=1
3. בהנחה ש-h=d+1, מתברר:
Rd+1=(d+1) (d+2) (2d+3)/6
Rd+1=12+22+3 2+…+d2+(d+1)2=d(d+1)(2d+1))/6+ (d+1)2=(d(d+1)(2d+1)+6(d+1)2 )/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=
(d+1)(2d2+7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)(2d+3)/6.
לפיכך, תוקף השוויון עבור h=d+1 מוכח, לכן ההצהרה נכונה לכל מספר טבעי, אשר מוצג בדוגמה של הפתרון באינדוקציה מתמטית.
משימה
תנאי: נדרשת הוכחה שלכל ערך של h, הביטוי 7h-1 מתחלק ב-6 ללא שארית.
פתרון:
1. נניח h=1, במקרה זה:
R1=71-1=6 (כלומר מתחלק ב-6 ללא שארית)
לכן, עבור h=1 ההצהרה נכונה;
2. תן h=d ו-7d-1 מתחלק ב-6 ללא שארית;
3. ההוכחה לתקפות ההצהרה עבור h=d+1 היא הנוסחה:
Rd+1=7d+1 -1=7∙7d-7+6=7(7d-1)+6
במקרה זה, האיבר הראשון מתחלק ב-6 לפי ההנחה של הפסקה הראשונה, והשניהמונח הוא 6. ההצהרה ש-7h-1 מתחלק ב-6 ללא שארית עבור כל h טבעי היא נכונה.
שפוט כוזב
לעתים קרובות, נעשה שימוש בנימוק שגוי בהוכחות, בגלל חוסר הדיוק של המבנים הלוגיים שבהם נעשה שימוש. בעיקרון, זה קורה כאשר המבנה וההיגיון של ההוכחה מופרים. דוגמה להנמקה שגויה היא האיור הבא.
משימה
תנאי: נדרשת הוכחה לכך שכל ערימת אבנים אינה ערימה.
פתרון:
1. נניח h=1, במקרה זה יש אבן אחת בערימה והמשפט נכון (בסיס);
2. יהא נכון ל-h=d שערימת אבנים אינה ערימה (הנחה);
3. תנו h=d+1, שממנו נובע שכאשר מוסיפים עוד אבן, הסט לא יהיה ערימה. המסקנה מציעה לעצמה שההנחה תקפה לכל ח.
הטעות נעוצה בעובדה שאין הגדרה של כמה אבנים יוצרות ערימה. השמטה כזו נקראת הכללה נמהרת בשיטת האינדוקציה המתמטית. דוגמה מראה זאת בבירור.
אינדוקציה וחוקי ההיגיון
באופן היסטורי, דוגמאות של אינדוקציה ודדוקציה תמיד הולכות יד ביד. דיסציפלינות מדעיות כמו לוגיקה, הפילוסופיה מתארת אותן כהפכים.
מנקודת המבט של חוק ההיגיון, הגדרות אינדוקטיביות מבוססות על עובדות, ואמיתות ההנחות אינה קובעת את נכונות ההצהרה המתקבלת. מתקבל לעתים קרובותמסקנות עם מידה מסוימת של הסתברות וסבירות, שכמובן יש לאמת ולאשר על ידי מחקר נוסף. דוגמה לאינדוקציה בלוגיקה תהיה ההצהרה:
בצורת באסטוניה, יבשה בלטביה, יבשה בליטא.
אסטוניה, לטביה וליטא הן המדינות הבלטיות. בצורת בכל המדינות הבלטיות.
מהדוגמה, אנו יכולים להסיק שלא ניתן להשיג מידע או אמת חדשים בשיטת האינדוקציה. כל מה שאתה יכול לסמוך עליו הוא איזו אמיתות אפשרית של המסקנות. יתרה מכך, אמיתות ההנחות אינה מבטיחה את אותן מסקנות. עם זאת, עובדה זו אינה אומרת שאינדוקציה צומחת בחצר האחורית של הדדוקציה: מספר עצום של הוראות וחוקים מדעיים מבוססים בשיטת האינדוקציה. מתמטיקה, ביולוגיה ומדעים אחרים יכולים לשמש דוגמה. הדבר נובע ברובו משיטת האינדוקציה המלאה, אך במקרים מסוימים חלקית ישימה גם.
העידן המכובד של האינדוקציה אפשר לו לחדור כמעט לכל תחומי הפעילות האנושית - זה מדע, כלכלה ומסקנות יומיומיות.
אינדוקציה בסביבה המדעית
שיטת האינדוקציה דורשת גישה קפדנית, שכן יותר מדי תלוי במספר הפרטים הנלמדים של השלם: ככל שהמספר הנחקר גדול יותר, כך התוצאה אמינה יותר. בהתבסס על תכונה זו, חוקים מדעיים המתקבלים על ידי אינדוקציה נבדקים במשך זמן רב ברמת הנחות הסתברותיות על מנת לבודד וללמוד כל אפשריאלמנטים מבניים, קשרים והשפעות.
במדע, המסקנה האינדוקטיבית מבוססת על מאפיינים משמעותיים, למעט הוראות אקראיות. עובדה זו חשובה בהקשר לפרטיו של הידע המדעי. זה נראה בבירור בדוגמאות של אינדוקציה במדע.
קיימים שני סוגי אינדוקציה בעולם המדעי (בקשר לדרך הלימוד):
- בחירה-אינדוקציה (או בחירה);
- אינדוקציה - אי הכללה (ביטול).
הסוג הראשון מאופיין בדגימה מתודית (בוחנת) של מחלקה (תת-מחלקות) מהאזורים השונים שלה.
דוגמה לסוג זה של אינדוקציה היא כדלקמן: כסף (או מלחי כסף) מטהר מים. המסקנה מבוססת על תצפיות ארוכות טווח (מעין מבחר של אישורים והפרכות - סלקציה).
הסוג השני של אינדוקציה מבוסס על מסקנות שמבססות קשרים סיבתיים ומוציאות מכלל נסיבות שאינן תואמות את תכונותיה, דהיינו, אוניברסליות, שמירה על הרצף הזמני, הכרח וחד-משמעות.
אינדוקציה ודדוקציה מנקודת המבט של הפילוסופיה
אם אתה מסתכל על הרטרוספקטיבה ההיסטורית, המונח "אינדוקציה" הוזכר לראשונה על ידי סוקרטס. אריסטו תיאר דוגמאות לאינדוקציה בפילוסופיה במילון טרמינולוגי משוער יותר, אך שאלת האינדוקציה הבלתי שלמה נותרה פתוחה. לאחר רדיפת הסילוגיזם האריסטוטלי, השיטה האינדוקטיבית החלה להיות מוכרת כפוריה והיחידה האפשרית במדעי הטבע. בייקון נחשב לאבי האינדוקציה כשיטה מיוחדת עצמאית, אבל הוא לא הצליח להיפרד,כפי שדרשו בני זמננו, אינדוקציה מהשיטה הדדוקטיבית.
פיתוח נוסף של האינדוקציה בוצע על ידי ג'יי מיל, שחשב את תיאוריית האינדוקציה מעמדה של ארבע שיטות עיקריות: הסכמה, הבדל, שאריות ושינויים מתאימים. אין זה מפתיע שכיום השיטות המפורטות, כאשר בוחנים לעומק, הן דדוקטיביות.
המודעות לכישלון התיאוריות של בייקון ומיל הובילה מדענים לחקור את הבסיס ההסתברותי של אינדוקציה. עם זאת, גם כאן היו כמה קיצוניות: נעשו ניסיונות לצמצם את האינדוקציה לתורת ההסתברות עם כל ההשלכות הנובעות מכך.
אינדוקציה זוכה להצבעת אמון ביישום מעשי בתחומי מקצוע מסוימים ובשל הדיוק המטרי של הבסיס האינדוקטיבי. דוגמה לאינדוקציה ודדוקציה בפילוסופיה יכולה להיחשב כחוק הכבידה האוניברסלית. במועד גילוי החוק, ניוטון הצליח לאמת אותו בדיוק של 4 אחוזים. וכאשר נבדק לאחר יותר ממאתיים שנה, הנכונות אושרה בדיוק של 0.0001 אחוז, למרות שהבדיקה בוצעה עם אותן הכללות אינדוקטיביות.
הפילוסופיה המודרנית מקדישה יותר תשומת לב לדדוקציה, המוכתבת על ידי רצון הגיוני להפיק ידע (או אמת) חדש ממה שכבר ידוע, מבלי להזדקק לניסיון, לאינטואיציה, אלא להשתמש בהיגיון "טהור". כאשר מתייחסים להנחות האמיתיות בשיטה הדדוקטיבית, בכל המקרים, הפלט הוא הצהרת אמת.
מאפיין חשוב זה לא אמור להאפיל על הערך של השיטה האינדוקטיבית. מאז האינדוקציה, בהסתמך על הישגי הניסיון,הופך גם לאמצעי לעיבודו (כולל הכללה ושיטתיות).
יישום אינדוקציה בכלכלה
אינדוקציה ודדוקציה שימשו זה מכבר כשיטות לחקר הכלכלה ולניבוי התפתחותה.
טווח השימוש בשיטת האינדוקציה רחב למדי: לימוד התגשמות מדדי תחזית (רווח, פחת וכו') והערכה כללית של מצב המיזם; יצירת מדיניות קידום ארגונית יעילה המבוססת על עובדות ומערכות היחסים ביניהן.
אותה שיטת אינדוקציה משמשת בתרשימים של Shewhart, כאשר בהנחה שתהליכים מחולקים למבוקרים ולא מנוהלים, נאמר שהמסגרת של התהליך המבוקר אינה פעילה.
יש לציין שחוקים מדעיים מוצדקים ומאושרים בשיטת האינדוקציה, ומכיוון שכלכלה היא מדע שמשתמש לעתים קרובות בניתוח מתמטי, תורת סיכונים ונתונים סטטיסטיים, אין זה מפתיע שהאינדוקציה נכללת ב- רשימה של שיטות עיקריות.
המצב הבא יכול לשמש דוגמה לאינדוקציה ודדוקציה בכלכלה. עלייה במחיר המזון (מסל הצרכנים) ומוצרים חיוניים דוחפת את הצרכן לחשוב על העלות הגבוהה המתהווה במדינה (אינדוקציה). יחד עם זאת, מעובדת העלות הגבוהה, באמצעות שיטות מתמטיות, ניתן לגזור אינדיקטורים של עליות מחירים עבור סחורות בודדות או קטגוריות של סחורות (ניכוי).
לרוב, אנשי הנהלה, מנהלים וכלכלנים מתייחסים לשיטת האינדוקציה. כדיניתן היה לחזות באמיתות מספקת את התפתחות המיזם, התנהגות השוק, השלכות התחרות, יש צורך בגישה אינדוקטיבית-דדוקטיבית לניתוח ועיבוד מידע.
דוגמה להמחשה של אינדוקציה בכלכלה הקשורה לשיפוטים שגויים:
-
הרווח של החברה ירד ב-30%;
מתחרה מרחיב את קו המוצרים;
שום דבר אחר לא השתנה;
- מדיניות הייצור של המתחרה גרמה לקיצוץ של 30% ברווח;
- מכאן הצורך ליישם את אותה מדיניות ייצור.
הדוגמה היא המחשה צבעונית לאופן שבו השימוש הלא מושכל בשיטת האינדוקציה תורם להרס המפעל.
דידוקציה ואינדוקציה בפסיכולוגיה
מכיוון שיש שיטה, אז, מבחינה לוגית, יש גם חשיבה מאורגנת כהלכה (להשתמש בשיטה). הפסיכולוגיה כמדע החוקר תהליכים נפשיים, היווצרותם, התפתחותם, מערכות יחסים, אינטראקציות, שמה לב לחשיבה "דדוקטיבית" כאחת מצורות הביטוי של דדוקציה ואינדוקציה. למרבה הצער, בדפי הפסיכולוגיה באינטרנט, אין כמעט הצדקה לשלמות השיטה הדדוקטיבית-אינדוקטיבית. למרות שפסיכולוגים מקצועיים נוטים יותר להיתקל בביטויים של אינדוקציה, או ליתר דיוק, מסקנות שגויות.
דוגמה לאינדוקציה בפסיכולוגיה, כהמחשה לשיפוטים שגויים, היא האמירה: אמי היא רמאית, לכן, כל הנשים הן רמאות.אתה יכול ללמוד עוד דוגמאות "שגויות" של אינדוקציה מהחיים:
- תלמיד אינו מסוגל לשום דבר אם הוא קיבל צמד במתמטיקה;
- הוא טיפש;
- הוא חכם;
- אני יכול לעשות הכל;
- ועוד שיפוטים ערכיים רבים המבוססים על הודעות אקראיות לחלוטין ולפעמים חסרות משמעות.
יש לציין: כאשר הכשל בשיפוטיו של אדם מגיע לכדי אבסורד, יש חזית עבודה לפסיכותרפיסט. דוגמה אחת לחניכה בפגישה עם מומחה:
"המטופל בטוח לחלוטין שהצבע האדום נושא רק סכנה עבורו בכל ביטוי. כתוצאה מכך, אדם הדיר את ערכת הצבעים הזו מחייו - עד כמה שניתן. בסביבה הביתית, קיימות הזדמנויות רבות לחיים נוחים. אתה יכול לסרב לכל הפריטים האדומים או להחליף אותם באנלוגים שנעשו בסכמת צבעים אחרת. אבל במקומות ציבוריים, בעבודה, בחנות - זה בלתי אפשרי. בהגיעו למצב של לחץ, המטופל חווה בכל פעם "גאות" של מצבים רגשיים שונים לחלוטין, שעלולים להיות מסוכנים עבור אחרים."
דוגמה זו של אינדוקציה, ובאופן לא מודע, נקראת "רעיונות קבועים". אם זה קורה לאדם בריא בנפשו, אפשר לדבר על חוסר ארגון של פעילות נפשית. ההתפתחות האלמנטרית של חשיבה דדוקטיבית יכולה להפוך לדרך להיפטר ממצבים אובססיביים. במקרים אחרים, פסיכיאטרים עובדים עם מטופלים כאלה.
הדוגמאות לעיל של אינדוקציה מצביעות על כך ש"התעלמות מהחוק לאמשחרר מהשלכות (שיפוטים שגויים)."
פסיכולוגים, העוסקים בנושא חשיבה דדוקטיבית, ערכו רשימה של המלצות שנועדו לעזור לאנשים לשלוט בשיטה זו.
הפריט הראשון הוא פתרון בעיות. כפי שניתן לראות, צורת האינדוקציה בה משתמשים במתמטיקה יכולה להיחשב "קלאסית", והשימוש בשיטה זו תורם ל"משמעת" של הנפש.
התנאי הבא להתפתחות החשיבה הדדוקטיבית הוא הרחבת אופקים (מי שחושב ברור, מציין בבירור). המלצה זו מפנה את ה"פגועים" אל אוצרות המדע והמידע (ספריות, אתרי אינטרנט, יוזמות חינוכיות, טיולים וכו').
דיוק היא ההמלצה הבאה. הרי נראה בבירור מדוגמאות של שימוש בשיטות אינדוקציה שהיא מבחינות רבות הערובה לאמיתות של אמירות.
הם לא עקפו את הגמישות של המוח, מה שמרמז על האפשרות להשתמש בדרכים וגישות שונות בפתרון הבעיה, כמו גם לקחת בחשבון את השונות של התפתחות האירועים.
וכמובן, התבוננות, שהיא המקור העיקרי לחוויה אמפירית.
יש להזכיר במיוחד את מה שמכונה "אינדוקציה פסיכולוגית". מונח זה, אם כי לעתים רחוקות, ניתן למצוא באינטרנט. כל המקורות אינם נותנים לפחות ניסוח קצר של ההגדרה של מונח זה, אלא מתייחסים ל"דוגמאות מהחיים", תוך הצגת הצעה או צורות מסוימות של מחלת נפש כסוג חדש של זירוז,אלו הם המצבים הקיצוניים של נפש האדם. מכל האמור לעיל, ברור שניסיון לגזור "מונח חדש" המבוסס על הנחות שווא (לעיתים קרובות לא נכונות) גוזר על הנסיין משפט שגוי (או נמהר).
יש לציין שההתייחסות לניסויים של 1960 (ללא ציון המקום, שמות הנסיינים, מדגם הנבדקים והכי חשוב מטרת הניסוי) נראית, בלשון המעטה., לא משכנע, והקביעה שהמוח קולט מידע עוקף את כל איברי התפיסה (הביטוי "מושפע" במקרה זה ישתלב בצורה יותר אורגנית), גורמת לחשוב על הפתיונות וחוסר הביקורתיות של כותב ההצהרה.
במקום מסקנה
מלכת המדעים - מתמטיקה, משתמשת ביודעין בכל הרזרבות האפשריות של שיטת האינדוקציה והדידוקציה. הדוגמאות השקולות מאפשרות לנו להסיק שהיישום השטחי והבלתי מיומן (ללא מחשבה, כמו שאומרים) של אפילו השיטות המדויקות והאמינות ביותר מוביל תמיד לתוצאות שגויות.
בתודעה ההמונית, שיטת הדדוקציה מזוהה עם שרלוק הולמס המפורסם, אשר בהבניות הלוגיות שלו מרבה להשתמש בדוגמאות של אינדוקציה, תוך שימוש בדדוקציה במצבים הכרחיים.
המאמר בחן דוגמאות ליישום של שיטות אלו במדעים ובתחומים שונים של חיי האדם.
