שיטת גאוס עבור בובות: דוגמאות לפתרונות

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 05:26

במאמר זה, השיטה נחשבת כדרך לפתור מערכות של משוואות לינאריות (SLAE). השיטה היא אנליטית, כלומר, היא מאפשרת לכתוב אלגוריתם פתרון כללי, ולאחר מכן להחליף שם ערכים מדוגמאות ספציפיות. בניגוד לשיטת המטריצה או הנוסחאות של קריימר, כאשר פותרים מערכת משוואות לינאריות בשיטת גאוס, ניתן לעבוד גם עם אלו שיש להם אינסוף פתרונות. או שאין לך את זה בכלל.

מה זה אומר לפתור בשיטת גאוס?

ראשית, עלינו לרשום את מערכת המשוואות שלנו כמטריצה. זה נראה כמו זה. המערכת נלקחה:

מקדמים כתובים בצורה של טבלה, ומימין בעמודה נפרדת - איברים חופשיים. העמודה עם חברים חופשיים מופרדת מטעמי נוחות על ידי פס אנכי. מטריצה הכוללת עמודה זו נקראת מורחבת.

לאחר מכן, יש להקטין את המטריצה הראשית עם מקדמים לצורת המשולש העליונה. זוהי הנקודה העיקרית של פתרון המערכת בשיטת גאוס. במילים פשוטות, לאחר מניפולציות מסוימות, המטריצה צריכה להיראות כך, כך שיש רק אפסים בחלק השמאלי התחתון שלה:

אז, אם תכתוב שוב את המטריצה החדשה כמערכת משוואות, תבחין שהשורה האחרונה כבר מכילה את הערך של אחד השורשים, שאחר כך מוחלף במשוואה שלמעלה, נמצא שורש אחר, וכן הלאה.

זהו תיאור של הפתרון הגאוסי במונחים כלליים ביותר. ומה קורה אם פתאום למערכת אין פתרון? או שיש אינסוף מהם? כדי לענות על שאלות אלו ועוד רבות נוספות, יש לשקול בנפרד את כל האלמנטים המשמשים בפתרון בשיטת גאוס.

מטריצות, המאפיינים שלהם

אין משמעות נסתרת במטריצה. זוהי רק דרך נוחה להקליט נתונים עבור פעולות מאוחרות יותר. אפילו תלמידי בית ספר לא צריכים לפחד מהם.

המטריקס תמיד מלבנית כי היא נוחה יותר. גם בשיטת גאוס, שבה הכל מסתכם בבניית מטריצה משולשת, מופיע מלבן בערך, רק עם אפסים במקום שבו אין מספרים. ניתן להשמיט אפסים, אך הם משתמעים.

למטריקס יש גודל. ה"רוחב" שלו הוא מספר השורות (מ'), ה"אורך" שלו הוא מספר העמודות (n). אז גודל המטריצה A (בדרך כלל משתמשים באותיות לטיניות גדולות לייעודן) יסומן כ-A_m×n. אם m=n, אז המטריצה הזו היא מרובעת, וm=n - הסדר שלו. בהתאם לכך, כל רכיב של מטריצה A יכול להיות מסומן במספר השורה והעמודה שלו: a_xy; x - מספר שורה, שנה [1, m], y - מספר עמודה, שנה [1, n].

בשיטת גאוס, מטריצות אינן עיקר הפתרון. באופן עקרוני, ניתן לבצע את כל הפעולות ישירות עם המשוואות עצמן, אולם הסימון יהיה הרבה יותר מסורבל, ויהיה הרבה יותר קל להתבלבל בו.

Qualifier

למטריקס יש גם דטרמיננטה. זוהי תכונה חשובה מאוד. לגלות את המשמעות שלו עכשיו זה לא שווה את זה, אתה יכול פשוט להראות איך זה מחושב, ואז להגיד אילו תכונות של המטריצה היא קובעת. הדרך הקלה ביותר למצוא את הקובע היא באמצעות אלכסונים. אלכסונים דמיוניים מצוירים במטריצה; האלמנטים הממוקמים על כל אחד מהם מוכפלים, ולאחר מכן מוסיפים את התוצרים המתקבלים: אלכסונים עם שיפוע ימינה - עם סימן "פלוס", עם שיפוע משמאל - עם סימן "מינוס".

חשוב מאוד לשים לב שניתן לחשב את הקובע רק עבור מטריצה מרובעת. עבור מטריצה מלבנית, אתה יכול לעשות את הפעולות הבאות: לבחור את הקטן ביותר מבין מספר השורות ומספר העמודות (תנו לזה להיות k), ולאחר מכן לסמן באקראי k עמודות ו-k שורות במטריצה. האלמנטים הממוקמים בצומת של העמודות והשורות שנבחרו יהוו מטריצה מרובעת חדשה. אם הקובע של מטריצה כזו הוא מספר שאינו אפס, הוא ייקרא הקטין הבסיסי של המטריצה המלבנית המקורית.

לפניאיך להתחיל לפתור מערכת משוואות בשיטת גאוס, לא יזיק לחשב את הקובע. אם יתברר שהוא אפס, אז נוכל לומר מיד שלמטריקס יש מספר אינסופי של פתרונות, או שאין כאלה בכלל. במקרה כזה עצוב, אתה צריך ללכת רחוק יותר ולברר את דרגת המטריצה.

סיווג מערכות

יש דבר כזה דרגה של מטריצה. זהו הסדר המקסימלי של הקובע הלא-אפס שלו (לזכור את הבסיס מינור, אנו יכולים לומר שדרגת המטריצה היא הסדר של הבסיס מינור).

כמו שהדברים מתנהלים בדרגה, ניתן לחלק את SLOW ל:

• ג'וינט. עבור מערכות משותפות, הדרגה של המטריצה הראשית (המורכבת רק ממקדמים) עולה בקנה אחד עם הדרגה של המורחבת (עם עמודה של מונחים חופשיים). למערכות כאלה יש פתרון, אבל לא בהכרח אחד, לכן, מערכות משותפות מחולקות בנוסף ל:
• - ברור - בעל פתרון ייחודי. במערכות מסוימות, דרגת המטריצה ומספר הלא ידועים שווים (או מספר העמודות, שזה אותו הדבר);
• - בלתי מוגדר - עם מספר אינסופי של פתרונות. דרגת המטריצות במערכות כאלה קטנה ממספר הלא ידועים.
• לא תואם. עבור מערכות כאלה, הדרגות של המטריצות הראשיות והמטריצות המורחבות אינן תואמות. למערכות לא תואמות אין פתרון.

שיטת גאוס טובה מכיוון שהיא מאפשרת לקבל הוכחה חד משמעית לחוסר העקביות של המערכת (מבלי לחשב את הקובעים של מטריצות גדולות) או פתרון כללי למערכת עם מספר אינסופי של פתרונות.

טרנספורמציות יסוד

לפניאיך להמשיך ישירות לפתרון של המערכת, אתה יכול לעשות את זה פחות מסורבל ויותר נוח לחישובים. זה מושג באמצעות טרנספורמציות אלמנטריות - כאלה שהיישום שלהן לא משנה את התשובה הסופית בשום צורה. יש לציין שחלק מהטרנספורמציות היסודיות לעיל תקפות רק עבור מטריצות, שמקורן היה בדיוק ה-SLAE. הנה רשימה של התמורות אלה:

1. שנה מחרוזות. ברור שאם נשנה את סדר המשוואות ברשומת המערכת, אז זה לא ישפיע על הפתרון בשום צורה. לכן, אפשר גם להחליף שורות במטריצה של מערכת זו, בלי לשכוח כמובן את עמודת החברים החופשיים.
2. כפל כל הרכיבים של מחרוזת בגורם כלשהו. שימושי מאוד! בעזרתו תוכלו לצמצם מספרים גדולים במטריצה או להסיר אפסים. מערך הפתרונות, כרגיל, לא ישתנה, ויהיה נוח יותר לבצע פעולות נוספות. העיקר שהמקדם לא יהיה שווה לאפס.
3. מחק שורות עם מקדמים פרופורציונליים. זה נובע חלקית מהפסקה הקודמת. אם לשתי שורות או יותר במטריצה יש מקדמים פרופורציונליים, אז כאשר מכפילים / מחלקים אחת מהשורות במקדם המידתיות, מתקבלות שתי שורות (או, שוב, יותר) זהות לחלוטין, וניתן להסיר את השורות הנוספות, ולהשאיר רק אחד.
4. מחק את שורת האפס. אם במהלך הטרנספורמציות מתקבלת מחרוזת במקום שבו כל האלמנטים, כולל האיבר החופשי, הם אפס, אז מחרוזת כזו יכולה להיקרא אפס ולזרוק אותה מתוך המטריצה.
5. הוספה לאלמנטים של שורה אחת של אלמנטים של אחר (לפיעמודות מתאימות) כפול מקדם כלשהו. השינוי המעורפל והחשוב מכולם. כדאי להתעכב על זה ביתר פירוט.

הוספת מחרוזת כפולה בפקטור

לנוחות ההבנה, כדאי לפרק את התהליך הזה צעד אחר צעד. שתי שורות נלקחו מהמטריצה:

a₁₁ a₁₂ … a_1n | b1

a₂₁ a₂₂ … a_2n | b₂

נניח שאתה צריך להוסיף את הראשון כפול במקדם "-2" לשני.

a'₂₁ =a₂₁ + -2×a₁₁

a'₂₂ =a₂₂ + -2×a₁₂

a'_2n =a_2n + -2×a_1n

ואז השורה השנייה במטריצה מוחלפת בשורה חדשה, בעוד שהראשונה נשארת ללא שינוי.

a₁₁ a₁₂ … a_1n | b1

a'₂₁ a'₂₂ … a'_2n | b₂

יש לשים לב שניתן לבחור את מקדם הכפל באופן שכתוצאה מהוספת שתי מחרוזות, אחד המרכיבים של המחרוזת החדשה שווה לאפס. לכן, אפשר לקבל משוואה במערכת, שבה תהיה אחת פחות לא ידועה. ואם מקבלים שתי משוואות כאלה, אז אפשר לעשות את הפעולה שוב ולקבל משוואה שכבר תכיל שניים פחות לא ידועים. ואם בכל פעם נפנה לאפס מקדם אחד עבור כל השורות הנמוכות מהמקורי, אז נוכל, כמו שלבים, לרדת לתחתית המטריצה ולקבל משוואה עם אחד לא ידוע. זה נקראלפתור את המערכת בשיטת גאוס.

באופן כללי

שתהיה מערכת. יש לו m משוואות ו-n שורשים לא ידועים. אתה יכול לכתוב את זה כך:

המטריצה הראשית מורכבת מהמקדמים של המערכת. עמודה של חברים בחינם מתווספת למטריצה המורחבת ומופרדת בפס מטעמי נוחות.

הבא:

• השורה הראשונה של המטריצה מוכפלת במקדם k=(-a₂₁/a₁₁);
• השורה הראשונה ששונתה והשורה השנייה של המטריצה מתווספות;
• במקום השורה השנייה, תוצאת ההוספה מהפסקה הקודמת מוכנסת לתוך המטריצה;
• עכשיו המקדם הראשון בשורה השנייה החדשה הוא ₁₁ × (-a₂₁/a_{11) + a}21 _=-a21 _{+ a}21_=0.

כעת מתבצעת אותה סדרה של טרנספורמציות, רק השורה הראשונה והשלישית מעורבות. בהתאם לכך, בכל שלב באלגוריתם, האלמנט a₂₁ מוחלף ב-a₃₁. ואז הכל חוזר על עצמו למשך ₄₁, … a_m1. התוצאה היא מטריצה שבה האלמנט הראשון בשורות [2, m] שווה לאפס. כעת עליך לשכוח משורה מספר אחת ולבצע את אותו אלגוריתם החל מהשורה השנייה:

• k מקדם=(-a₃₂/a₂₂);
• השורה השנייה ששונתה מתווספת לשורה "הנוכחית";
• תוצאת התוספת מוחלפת בשורות השלישית, הרביעית וכן הלאה, בעוד שהראשון והשני נשארים ללא שינוי;
• בשורות [3, m] של המטריצה, שני האלמנטים הראשונים כבר שווים לאפס.

יש לחזור על האלגוריתם עד להופעת מקדם k=(-a_{m, m-1}/a_mm). המשמעות היא שהאלגוריתם הופעל לאחרונה רק עבור המשוואה התחתונה. כעת המטריצה נראית כמו משולש, או בעלת צורה מדורגת. השורה התחתונה מכילה את המשוואה a_mn × x =b_m. המקדם והמונח החופשי ידועים, והשורש מבוטא דרכם: x =b_m/a_mn. השורש שנוצר מוחלף בשורה העליונה כדי למצוא x_n-1=(b_m-1 - a_{m-1, n×(b}m_/amn_))÷am-1, n-1_{. וכן הלאה באנלוגיה: בכל שורה הבאה יש שורש חדש, ולאחר שהגענו ל"ראש" של המערכת, אפשר למצוא קבוצה של פתרונות [x}1_{, … x ]. זה יהיה היחיד.}

כשאין פתרונות

אם באחת משורות המטריצה כל האלמנטים, מלבד האיבר החופשי, שווים לאפס, אז המשוואה המתאימה לשורה זו נראית כמו 0=b. אין לזה פתרון. ומכיוון שמשוואה כזו כלולה במערכת, אז קבוצת הפתרונות של המערכת כולה ריקה, כלומר היא מנוונת.

כשיש מספר אינסופי של פתרונות

ייתכן שיתברר שבמטריקס המשולש המופחת אין שורות עם אלמנט אחד - מקדם המשוואה, ואחד - איבר חופשי. יש רק מחרוזות שכאשר הן נכתבות מחדש, ייראו כמו משוואה עם שני משתנים או יותר. המשמעות היא שלמערכת יש אינסוף פתרונות. במקרה זה, ניתן לתת את התשובה בצורה של פתרון כללי. איך עושים את זה?

הכלמשתנים במטריצה מחולקים לבסיס וחופשי. בסיסי - אלו העומדים "בקצה" השורות במטריצה המדורגת. השאר בחינם. בפתרון הכללי, המשתנים הבסיסיים נכתבים במונחים של החופשיים.

לנוחות, המטריצה נכתבת לראשונה בחזרה למערכת של משוואות. ואז באחרון שבהם, שבו נשאר בדיוק רק משתנה בסיסי אחד, הוא נשאר בצד אחד, וכל השאר מועבר לצד השני. זה נעשה עבור כל משוואה עם משתנה בסיסי אחד. לאחר מכן, בשאר המשוואות, היכן שניתן, במקום המשתנה הבסיסי, הביטוי המתקבל עבורו מוחלף. אם התוצאה היא שוב ביטוי המכיל רק משתנה בסיסי אחד, היא באה לידי ביטוי משם שוב, וכן הלאה, עד שכל משתנה בסיסי נכתב כביטוי עם משתנים חופשיים. זהו הפתרון הכללי של SLAE.

תוכל גם למצוא את הפתרון הבסיסי של המערכת - תן למשתנים החופשיים כל ערך, ולאחר מכן חשב את הערכים של המשתנים הבסיסיים למקרה הספציפי הזה. יש אינסוף פתרונות מיוחדים.

פתרון עם דוגמאות ספציפיות

הנה מערכת של משוואות.

לנוחות, עדיף ליצור את המטריצה שלו מיד

ידוע שכאשר פותרים בשיטת גאוס, המשוואה התואמת לשורה הראשונה תישאר ללא שינוי בתום ההמרות. לכן, זה יהיה רווחי יותר אם האלמנט השמאלי העליון של המטריצה הוא הקטן ביותר - ואז האלמנטים הראשוניםשאר השורות לאחר הפעולות יהפכו לאפס. זה אומר שבמטריקס המהודר יהיה מועיל לשים את השורה השנייה במקום הראשונה.

לאחר מכן, עליך לשנות את השורה השנייה והשלישית כך שהרכיבים הראשונים יהפכו לאפס. לשם כך, הוסף אותם לראשון, כפול מקדם:

שורה שנייה: k=(-a₂₁/a₁₁)=(-3/1)=-3

a'₂₁ =a₂₁ + k×a₁₁=3 + (-3)×1=0

a'₂₂ =a₂₂ + k×a₁₂ =-1 + (- 3)×2=-7

a'₂₃ =a₂₃ + k×a₁₃ =1+ (-3))×4=-11

b'₂ =b₂ + k×b₁=12+ (-3)×12=-24

שורה שלישית: k=(-a₃₁/a₁₁)=(- 5/1)=-5

a'₃₁ =a_{31+ k×a}11_{=5 + (-5)×1=0}

a'₃₂ =a_{32+ k×a}12 _{=1 + (-5)×2=-9}

a'₃₃ =a₃₃ + k×a₁₃ =2 + (-5)×4=-18

b'₃=b₃ + k×b₁=3+ (-5)×12=-57

עכשיו, כדי לא להתבלבל, אתה צריך לכתוב מטריצה עם תוצאות ביניים של טרנספורמציות.

ברור שניתן להפוך מטריצה כזו לקריאה יותר בעזרת פעולות מסוימות. לדוגמה, אתה יכול להסיר את כל ה"מינוסים" מהשורה השנייה על ידי הכפלת כל רכיב ב-"-1".

כדאי גם לציין שבשורה השלישית כל האלמנטים הם כפולות של שלוש. אז את / ה יכול / החותכים את המחרוזת במספר זה, מכפילים כל רכיב ב-"-1/3" (מינוס - בו-זמנית כדי להסיר ערכים שליליים).

נראה הרבה יותר נחמד. עכשיו אנחנו צריכים להשאיר לבד את השורה הראשונה ולעבוד עם השני והשלישי. המשימה היא להוסיף את השורה השנייה לשורה השלישית, מוכפל בגורם כזה שהאלמנט a₃₂ הופך לאפס.

k=(-a₃₂/a₂₂)=(-3/7)=-3/7 (אם במהלך כמה טרנספורמציות בתשובה התברר כלא שלם, מומלץ להשאיר אותו "כמות שהוא", בצורה של שבר רגיל, ורק לאחר מכן, כאשר התשובות מתקבלות, להחליט אם לעגל ולהמיר לצורה אחרת של סימון)

a'₃₂=a₃₂ + k×a₂₂=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0

a'₃₃=a₃₃ + k×a₂₃=6+ (-3 /7)×11=-9/7

b'₃ =b₃ + k×b₂=19+ (-3 /7)×24=-61/7

המטריקס נכתב שוב עם ערכים חדשים.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

כפי שאתה יכול לראות, למטריצה המתקבלת כבר יש צורה מדורגת. לכן, טרנספורמציות נוספות של המערכת בשיטת גאוס אינן נדרשות. מה שניתן לעשות כאן הוא להסיר את המקדם הכולל "-1/7" מהשורה השלישית.

עכשיו כולםנֶחְמָד. הנקודה קטנה - כתוב שוב את המטריצה בצורה של מערכת משוואות וחשב את השורשים

x + 2y + 4z=12 (1)

7y + 11z=24 (2)

9z=61 (3)

האלגוריתם שלפיו יימצאו כעת השורשים נקרא מהלך הפוך בשיטת גאוס. משוואה (3) מכילה את הערך z:

z=61/9

לאחר מכן, חזור למשוואה השנייה:

y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9

והמשוואה הראשונה מאפשרת לך למצוא את x:

x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3

יש לנו את הזכות לקרוא למערכת כזו משותפת, ואפילו מוגדרת, כלומר בעלת פתרון ייחודי. התשובה כתובה בצורה הבאה:

x₁=-2/3, y=-65/9, z=61/9.

דוגמה למערכת בלתי מוגדרת

הגרסה של פתרון מערכת מסוימת בשיטת גאוס נותחה, כעת יש לשקול את המקרה אם המערכת היא בלתי מוגדרת, כלומר, ניתן למצוא עבורה אינסוף פתרונות.

x₁ + x₂ + x₃ + x _{4+ x}5_{=7 (1)}

3x₁ + 2x₂ + x₃ + x ₄ - 3x₅=-2 (2)

x₂ + 2x₃ + 2x₄ + 6x ₅ =23 (3)

5x₁ + 4x₂ + 3x₃ + 3x ₄ - x₅=12 (4)

עצם צורת המערכת כבר מדאיגה, כי מספר הלא ידועים הוא n=5, ודרגת מטריצת המערכת כבר פחותה בדיוק ממספר זה, כי מספר השורות הוא m=4, כלומר, הסדר הגדול ביותר של הקובע הריבועי הוא 4. אז,יש אינסוף פתרונות, ועלינו לחפש את צורתו הכללית. שיטת גאוס עבור משוואות לינאריות מאפשרת לך לעשות זאת.

תחילה, כרגיל, המטריצה המוגדלת מתבצעת.

שורה שנייה: מקדם k=(-a₂₁/a₁₁)=-3. בשורה השלישית, האלמנט הראשון נמצא לפני הטרנספורמציות, אז אתה לא צריך לגעת בכלום, אתה צריך להשאיר אותו כמו שהוא. שורה רביעית: k=(-a₄₁/a₁₁)=-5

כפל את הרכיבים של השורה הראשונה בכל אחד מהמקדמים שלהם בתורו והוספתם לשורות הנדרשות, נקבל מטריצה בצורה הבאה:

כפי שאתה יכול לראות, השורה השנייה, השלישית והרביעית מורכבות מאלמנטים פרופורציונליים זה לזה. השני והרביעי זהים בדרך כלל, כך שניתן להסיר אחד מהם מיד, ואת השאר להכפיל במקדם "-1" ולקבל שורה מספר 3. ושוב, השאר אחד משני קווים זהים.

התוצאה היא מטריצה כזו. המערכת עדיין לא נרשמה, יש צורך כאן לקבוע את המשתנים הבסיסיים - עומדים על המקדמים a₁₁=1 ו-a₂₂=1, ובחינם - כל השאר.

יש רק משתנה בסיסי אחד במשוואה השנייה - x₂. לפיכך, ניתן לבטא אותו משם, לכתוב דרך המשתנים x₃, x₄, x₅, אשר הם בחינם.

החלף את הביטוי המתקבל במשוואה הראשונה.

התבררה משוואה שבההמשתנה הבסיסי היחיד הוא x₁. בואו נעשה איתו אותו דבר כמו עם x₂.

כל המשתנים הבסיסיים, מהם יש שניים, מבוטאים במונחים של שלושה חופשיים, כעת ניתן לכתוב את התשובה בצורה כללית.

אתה יכול גם לציין אחד מהפתרונות המיוחדים של המערכת. במקרים כאלה, ככלל, אפסים נבחרים כערכים עבור משתנים חופשיים. אז התשובה תהיה:

-16, 23, 0, 0, 0.

דוגמה למערכת לא עקבית

פתרון של מערכות משוואות לא עקביות בשיטת גאוס הוא המהיר ביותר. הוא מסתיים ברגע שבאחד השלבים מתקבלת משוואה שאין לה פתרון. כלומר, השלב עם חישוב השורשים, שהוא די ארוך ועגום, נעלם. המערכת הבאה בבחינה:

x + y - z=0 (1)

2x - y - z=-2 (2)

4x + y - 3z=5 (3)

כרגיל, המטריצה מורכבת:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

ומצומצם לצורה מדורגת:

k₁ =-2k₂ =-4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

לאחר ההמרה הראשונה, השורה השלישית מכילה משוואה בצורה

0=7, אין פתרון. לכן, המערכתאינו עקבי, והתשובה היא הסט הריק.

יתרונות וחסרונות השיטה

אם תבחר באיזו שיטה לפתור SLAE על נייר בעט, אז השיטה שנחשבה במאמר זה נראית הכי אטרקטיבית. בטרנספורמציות יסודיות, הרבה יותר קשה להתבלבל ממה שקורה אם אתה צריך לחפש באופן ידני את הקובע או מטריצה הפוכה מסובכת. עם זאת, אם אתה משתמש בתוכנות לעבודה עם נתונים מסוג זה, למשל, גיליונות אלקטרוניים, אז מסתבר שתוכנות כאלה כבר מכילות אלגוריתמים לחישוב הפרמטרים העיקריים של מטריצות - הדטרמיננטה, המינורות, המטריצות ההפוכות והטרנספוזיות וכן הלאה.. ואם אתה בטוח שהמכונה תחשב את הערכים האלה בעצמה ולא תעשה טעות, כדאי יותר להשתמש בשיטת המטריצה או בנוסחאות של קריימר, כי היישום שלהם מתחיל ונגמר בחישוב של דטרמיננטים ומטריצות הפוכות.

Application

מכיוון שהפתרון הגאוסי הוא אלגוריתם, והמטריצה היא למעשה מערך דו-ממדי, ניתן להשתמש בו בתכנות. אבל מכיוון שהמאמר מציב את עצמו כמדריך "לבובות", יש לומר שהמקום הקל ביותר להכניס את השיטה אליו הוא גיליונות אלקטרוניים, למשל, אקסל. שוב, כל SLAE שהוזן בטבלה בצורה של מטריצה ייחשב על ידי Excel כמערך דו מימדי. ולפעולות איתם, יש הרבה פקודות נחמדות: חיבור (אפשר להוסיף רק מטריצות באותו גודל!), כפל במספר, כפל מטריצה (גם עםהגבלות מסוימות), מציאת המטריצות ההפוכות והמתומרות, והכי חשוב, חישוב הקובע. אם משימה שגוזלת זמן זו מוחלפת בפקודה בודדת, הרבה יותר מהיר לקבוע את הדרגה של מטריצה, ולכן, לבסס את התאימות או חוסר העקביות שלה.