סטטיסטיקה מתמטית היא מתודולוגיה המאפשרת לך לקבל החלטות מושכלות מול תנאים לא ברורים. חקר השיטות לאיסוף ושיטתיות של נתונים, עיבוד התוצאות הסופיות של ניסויים וניסויים באקראיות המונית וגילוי כל דפוס הוא מה שעושה ענף זה של המתמטיקה. שקול את המושגים הבסיסיים של סטטיסטיקה מתמטית.
הבדל עם תורת ההסתברות
שיטות של סטטיסטיקה מתמטית מצטלבות באופן הדוק עם תורת ההסתברות. שני ענפי המתמטיקה עוסקים בחקר תופעות אקראיות רבות. שתי הדיסציפלינות מחוברות במשפטי גבול. עם זאת, יש הבדל גדול בין המדעים הללו. אם תורת ההסתברות קובעת את המאפיינים של תהליך בעולם האמיתי על בסיס מודל מתמטי, אז סטטיסטיקה מתמטית עושה את ההיפך - היא קובעת את תכונות המודל למבוסס על מידע שנצפה.
צעדים
היישום של סטטיסטיקה מתמטית יכול להתבצע רק ביחס לאירועים או תהליכים אקראיים, או ליתר דיוק, לנתונים המתקבלים מהתבוננות בהם. וזה קורה בכמה שלבים. ראשית, נתוני הניסויים והניסויים עוברים עיבוד מסוים. הם מסודרים לצורך בהירות וקלות ניתוח. לאחר מכן מתבצעת אומדן מדויק או משוער של הפרמטרים הנדרשים של התהליך האקראי שנצפה. הם יכולים להיות:
- הערכת ההסתברות לאירוע (ההסתברות שלו אינה ידועה בתחילה);
- לומד את ההתנהגות של פונקציית הפצה בלתי מוגדרת;
- expectation estimate;
- הערכת שונות
- etc.
השלב השלישי הוא אימות כל השערות שהוגדרו לפני הניתוח, כלומר קבלת תשובה לשאלה כיצד תוצאות הניסויים מתאימות לחישובים התיאורטיים. למעשה, זהו השלב העיקרי של סטטיסטיקה מתמטית. דוגמה היא לשקול אם ההתנהגות של תהליך אקראי שנצפה היא בתוך ההתפלגות הנורמלית.
Population
המושגים הבסיסיים של סטטיסטיקה מתמטית כוללים אוכלוסיות כלליות ומדגמיות. דיסציפלינה זו עוסקת בחקר קבוצה של אובייקטים מסוימים ביחס למאפיין כלשהו. דוגמה לכך היא עבודתו של נהג מונית.שקול את המשתנים האקראיים הבאים:
- טעינה או מספר לקוחות: ליום, לפני ארוחת צהריים, אחרי ארוחת צהריים, …;
- זמן נסיעה ממוצע;
- מספר היישומים הנכנסים או ההצמדה שלהם למחוזות העיר ועוד הרבה יותר.
כדאי גם לציין שאפשר ללמוד קבוצה של תהליכים אקראיים דומים, שיהיו גם משתנה אקראי שניתן לצפות בו.
לכן, בשיטות של סטטיסטיקה מתמטית, כל מערך האובייקטים הנחקר או התוצאות של תצפיות שונות המתבצעות באותם תנאים על אובייקט נתון נקרא האוכלוסייה הכללית. במילים אחרות, מבחינה מתמטית קפדנית יותר, זהו משתנה אקראי המוגדר במרחב של אירועים יסודיים, עם מחלקה של תת-קבוצות מסומנת בו, שלרכיבים שלהם יש הסתברות ידועה.
אוכלוסיה לדוגמא
יש מקרים שבהם זה בלתי אפשרי או לא מעשי מסיבה כלשהי (עלות, זמן) לערוך מחקר מתמשך כדי ללמוד כל אובייקט. למשל, לפתוח כל צנצנת ריבה אטומה כדי לבדוק את איכותה היא החלטה מפוקפקת, וניסיון להעריך את מסלולה של כל מולקולת אוויר במטר מעוקב הוא בלתי אפשרי. במקרים כאלה, נעשה שימוש בשיטת התצפית הסלקטיבית: מספר מסוים של עצמים נבחר (בדרך כלל באופן אקראי) מהאוכלוסייה הכללית, והם נתונים לניתוח שלהם.
המושגים האלה עשויים להיראות מסובכים בהתחלה. לכן, כדי להבין את הנושא במלואו, אתה צריך ללמוד את ספר הלימוד של V. E. Gmurman "תורת ההסתברות וסטטיסטיקה מתמטית". לפיכך, קבוצת דגימה או דגימה היא סדרה של אובייקטים שנבחרו באקראי מתוך הסט הכללי. במונחים מתמטיים קפדניים, זהו רצף של משתנים אקראיים בלתי תלויים בחלוקה אחידה, שלכל אחד מהם ההתפלגות עולה בקנה אחד עם זו המצוינת עבור המשתנה המקרי הכללי.
מושגים בסיסיים
בואו נשקול בקצרה מספר מושגים בסיסיים אחרים של סטטיסטיקה מתמטית. מספר העצמים באוכלוסייה הכללית או במדגם נקרא נפח. ערכי המדגם המתקבלים במהלך הניסוי נקראים מימוש המדגם. כדי שאומדן של כלל האוכלוסייה המבוסס על מדגם יהיה מהימן, חשוב שיהיה מדגם מייצג או מייצג כביכול. המשמעות היא שהמדגם חייב לייצג את האוכלוסייה במלואה. ניתן להשיג זאת רק אם לכל מרכיבי האוכלוסייה יש הסתברות שווה להיות במדגם.
דוגמאות מבחינות בין החזרה לבין אי-החזרה. במקרה הראשון, בתוכן המדגם, הרכיב החוזר מוחזר לסט הכללי, במקרה השני, לא. בדרך כלל, בפועל, נעשה שימוש בדגימה ללא תחליפים. כמו כן, יש לציין כי גודל האוכלוסייה הכללית תמיד עולה באופן משמעותי על גודל המדגם. קיימיםאפשרויות רבות לתהליך הדגימה:
- פשוט - פריטים נבחרים באקראי אחד בכל פעם;
- typed - האוכלוסיה הכללית מחולקת לסוגים, ומתבצעת בחירה מכל אחד; דוגמה לכך היא סקר של תושבים: גברים ונשים בנפרד;
- מכני - לדוגמה, בחר כל רכיב 10;
- סידורי - הבחירה נעשית בסדרה של אלמנטים.
התפלגות סטטיסטית
לפי גמורמן, תורת ההסתברות וסטטיסטיקה מתמטית הם דיסציפלינות חשובות ביותר בעולם המדעי, במיוחד בחלקו המעשי. שקול את ההתפלגות הסטטיסטית של המדגם.
נניח שיש לנו קבוצה של תלמידים שנבחנו במתמטיקה. כתוצאה מכך, יש לנו קבוצה של אומדנים: 5, 3, 1, 4, 3, 4, 2, 5, 4, 4, 5 - זה החומר הסטטיסטי העיקרי שלנו.
קודם כל, עלינו למיין אותו, או לבצע פעולת דירוג: 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5 - וכך לקבל סדרה וריאציונית. מספר החזרות של כל אחת מההערכות נקרא תדירות ההערכה, והיחס שלהן לגודל המדגם נקרא התדירות היחסית. בואו נעשה טבלה של ההתפלגות הסטטיסטית של המדגם, או סתם סדרה סטטיסטית:
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1 | 1 | 2 | 4 | 3 |
או
| ai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | 1/11 | 1/11 | 2/11 | 4/11 | 3/11 |
בוא נעשה משתנה אקראי שעליו נערוך סדרה של ניסויים ונראה איזה ערך לוקח למשתנה הזה. נניח שהיא לקחה את הערך a1 - m1 פעמים; a2 - m2 פעמים וכו'. הגודל של מדגם זה יהיה m1 + … + mk=m. הסט ai, שבו i משתנה מ-1 ל-k, היא סדרה סטטיסטית.
הפצת מרווחים
בספר של VE Gmurman "תורת ההסתברות וסטטיסטיקה מתמטית" מוצגת גם סדרת סטטיסטית מרווחים. הקומפילציה שלו אפשרית כאשר הערך של התכונה הנחקרת הוא רציף במרווח מסוים, ומספר הערכים גדול. קחו בחשבון קבוצת תלמידים, או ליתר דיוק, גובהם: 163, 180, 185, 172, 161, 171, 189, 157, 165, 174, 180, 181, 175, 182, 167, 159, 171, 173 179, 160, 180, 166, 178, 156, 180, 189, 173, 174, 175 - 30 תלמידים בסך הכל. ברור שגובהו של אדם הוא ערך מתמשך. עלינו להגדיר את שלב המרווחים. לשם כך, נעשה שימוש בנוסחת Sturges.
| h= | max - min | = | 190 - 156 | = | 33 | = | 5, 59 |
| 1+log2m | 1+log230 | 5, 9 |
לפיכך, ניתן לקחת את הערך של 6 כגודל המרווח. כמו כן יש לומר שהערך 1+log2m הוא הנוסחה עבורקביעת מספר המרווחים (כמובן, עם עיגול). כך לפי הנוסחאות מתקבלים 6 מרווחים שלכל אחד מהם גודל 6. והערך הראשון של המרווח ההתחלתי יהיה המספר שנקבע בנוסחה: min - h / 2=156 - 6/2=153. בואו נעשה טבלה שתכיל מרווחים ומספר התלמידים שהצמיחה שלהם נפלה בתוך מרווח מסוים.
| H | [153; 159) | [159; 165) | [165; 171) | [171; 177) | [177; 183) | [183; 189) |
| P | 2 | 5 | 3 | 9 | 8 | 3 |
| P | 0, 06 | 0, 17 | 0, 1 | 0, 3 | 0, 27 | 0, 1 |
כמובן, זה לא הכל, כי יש הרבה יותר נוסחאות בסטטיסטיקה מתמטית. שקלנו רק כמה מושגים בסיסיים.
לוח הזמנים להפצה
המושגים הבסיסיים של סטטיסטיקה מתמטית כוללים גם ייצוג גרפי של ההתפלגות, המובחן בבהירות. ישנם שני סוגים של גרפים: מצולע והיסטוגרמה. הראשון משמש לסדרה סטטיסטית נפרדת. ולהפצה רציפה, בהתאמה, השני.
