Georg Kantor (התמונה ניתנת בהמשך המאמר) הוא מתמטיקאי גרמני שיצר את תורת הקבוצות והציג את המושג של מספרים טרנססופיים, גדולים לאין שיעור, אך שונים זה מזה. הוא גם הגדיר מספרים סידוריים וקרדינליים ויצר את החשבון שלהם.
Georg Kantor: ביוגרפיה קצרה
נולד בסנט פטרסבורג ב-1845-03-03. אביו היה דני מהדת הפרוטסטנטית, גיאורג-ולדמר קנטור, שעסק במסחר, כולל בבורסה. אמו מריה בם הייתה קתולית ובאה ממשפחה של מוזיקאים בולטים. כשאביו של גאורג חלה ב-1856, עברה המשפחה תחילה לוויסבאדן ולאחר מכן לפרנקפורט בחיפוש אחר אקלים מתון יותר. כשרונותיו המתמטיים של הנער הופיעו עוד לפני יום הולדתו ה-15 בעת שלמד בבתי ספר פרטיים ובהתעמלות בדרמשטאדט ובויסבאדן. בסופו של דבר, גאורג קנטור שכנע את אביו בכוונתו הנחרצת להיות מתמטיקאי, לא מהנדס.
לאחר לימוד קצר באוניברסיטת ציריך, בשנת 1863 עבר קנטור לאוניברסיטת ברלין כדי ללמוד פיזיקה, פילוסופיה ומתמטיקה. הנה אותולימד:
- קרל תיאודור ויירשטראס, שההתמחות שלו בניתוח השפיעה כנראה הכי הרבה על גיאורג;
- ארנסט אדוארד קאמר, שלימד חשבון גבוה יותר;
- לאופולד קרונקר, תורת המספרים שהתנגד מאוחר יותר לקנטור.
לאחר שבילה סמסטר אחד באוניברסיטת גטינגן ב-1866, בשנה שלאחר מכן כתב גיאורג את עבודת הדוקטורט שלו שכותרתה "במתמטיקה אמנות לשאול שאלות חשובה יותר מפתרון בעיות", הנוגעת לבעיה שהיתה לקרל פרידריך גאוס. נותר בלתי פתור ב-Disquisitiones Arithmeticae (1801). לאחר שלימד זמן קצר בבית הספר לבנות בברלין, החל קנטור לעבוד באוניברסיטת האלי, שם שהה עד סוף ימיו, תחילה כמורה, משנת 1872 כפרופסור עוזר, ומ-1879 כפרופסור.
Research
בתחילת סדרה של 10 מאמרים מ-1869 עד 1873, גיאורג קנטור שקל את תורת המספרים. העבודה שיקפה את התשוקה שלו לנושא, את מחקריו על גאוס ואת השפעתו של קרונקר. לפי הצעתו של היינריך אדוארד היינה, עמיתו של קנטור בהאלה, שזיהה את כישרונו המתמטי, הוא פנה לתורת הסדרות הטריגונומטריות, שבה הרחיב את מושג המספרים הממשיים.
בהתבסס על העבודה על הפונקציה של משתנה מורכב של המתמטיקאי הגרמני ברנהרד רימן ב-1854, ב-1870 קנטור הראה שניתן לייצג פונקציה כזו רק בדרך אחת - על ידי סדרות טריגונומטריות. שיקול של קבוצה של מספרים (נקודות) כילא יסתור דעה כזו, הוביל אותו, ראשית, בשנת 1872 להגדרת המספרים האי-רציונליים במונחים של רצפים מתכנסים של מספרים רציונליים (שברים של מספרים שלמים) ובהמשך לתחילת העבודה על מפעל חייו, תורת הקבוצות והמושג של מספרים טרנססופיים.
תורת הקבוצות
ג'ורג' קנטור, שמקורו של תורת הקבוצות שלו בהתכתבות עם המתמטיקאי של המכון הטכני של בראונשווייג ריצ'רד דדקינד, היה חבר שלו מאז ילדותו. הם הגיעו למסקנה שקבוצות, בין אם סופיות או אינסופיות, הן אוספים של אלמנטים (למשל מספרים, {0, ±1, ±2…}) שיש להם תכונה מסוימת תוך שמירה על האינדיבידואליות שלהם. אבל כשגיאורג קנטור השתמש בהתכתבות של אחד לאחד (לדוגמה, {A, B, C} עד {1, 2, 3}) כדי ללמוד את המאפיינים שלהם, הוא הבין מהר מאוד שהם שונים במידת החברות שלהם, אפילו אם הם היו קבוצות אינסופיות., כלומר קבוצות, שחלק או תת-קבוצה שלהן כולל אובייקטים רבים כמו עצמם. השיטה שלו נתנה במהרה תוצאות מדהימות.
בשנת 1873, גיאורג קנטור (מתמטיקאי) הראה שמספרים רציונליים, אף על פי שהם אינסופיים, ניתנים לספירה מכיוון שניתן להציב אותם בהתכתבות אחד לאחד עם מספרים טבעיים (כלומר 1, 2, 3 וכו'). ד.). הוא הראה שקבוצת המספרים הממשיים, המורכבת מאי-רציונליים ורציונליים, היא אינסופית ואי אפשר לספור. באופן פרדוקסלי יותר, קנטור הוכיח שקבוצת כל המספרים האלגבריים מכילה אלמנטים רבים כמוכמה הם קבוצת כל המספרים השלמים, ושמספרים טרנסצנדנטליים, שאינם אלגבריים, שהם תת-קבוצה של מספרים אי-רציונליים, אינם ניתנים לספירה, ולכן, מספרם גדול ממספרים שלמים, ויש להתייחס אליהם כאינסופי.
מתנגדים ותומכים
אבל מאמרו של קנטור, שבו הציג לראשונה את התוצאות הללו, לא פורסם ב-Krell, שכן אחד המבקרים, קרונקר, התנגד בתוקף. אבל לאחר התערבותו של דדקינד, הוא פורסם ב-1874 תחת הכותרת "על המאפיינים האופייניים של כל המספרים האלגבריים האמיתיים."
מדע וחיים פרטיים
באותה שנה, בזמן בירח הדבש שלו עם אשתו וולי גוטמן באינטרלאקן, שוויץ, פגש קנטור את דדקיינד, שדיבר בחיוב על התיאוריה החדשה שלו. משכורתו של ג'ורג' הייתה קטנה, אך מכספו של אביו, שנפטר ב-1863, הוא בנה בית לאשתו ולחמשת ילדיו. רבים ממאמריו פורסמו בשוודיה בכתב העת החדש Acta Mathematica, שנערך ונוסד על ידי ג'סטה מיטג-לפלר, שהייתה בין הראשונים לזהות את כישרונו של המתמטיקאי הגרמני.
חיבור למטאפיזיקה
התיאוריה של קנטור הפכה לנושא מחקר חדש לחלוטין הנוגע למתמטיקה של האינסוף (למשל סדרות 1, 2, 3 וכו', וקבוצות מורכבות יותר), אשר הייתה תלויה במידה רבה בהתכתבות של אחד לאחד. פיתוח שיטות בימוי חדשות של קנטורשאלות הנוגעות להמשכיות ואינסוף, העניקו למחקר שלו אופי מעורפל.
כאשר טען שמספרים אינסופיים באמת קיימים, הוא פנה לפילוסופיה עתיקה וימי הביניים לגבי אינסוף ממשי ופוטנציאלי, כמו גם לחינוך הדתי המוקדם שהוריו העניקו לו. בשנת 1883, בספרו יסודות תורת הקבוצות הכללית, שילב קנטור את הרעיון שלו עם המטאפיזיקה של אפלטון.
Kronecker, שטען שרק מספרים שלמים "קיימים" ("אלוהים ברא את המספרים השלמים, השאר הוא מעשה האדם"), במשך שנים רבות דחה בתוקף את נימוקיו ומנע את מינויו באוניברסיטת ברלין.
מספרים טרנססופיים
בשנים 1895-97. גיאורג קנטור גיבש במלואו את רעיון ההמשכיות והאינסוף שלו, כולל מספרים סידוריים וקרדינליים אינסופיים, ביצירתו המפורסמת ביותר, שפורסמה כתרומות להקמת תורת המספרים הטרנססופיים (1915). חיבור זה מכיל את המושג שלו, שאליו הוא הובל על ידי הדגמה שניתן לשים קבוצה אינסופית בהתכתבות של אחד על אחד עם אחת מתת-הקבוצות שלו.
תחת המספר הקרדינל הכי פחות טרנססופי, הוא התכוון לקרדינליות של כל קבוצה שניתן להכניס בהתכתבות אחד לאחד עם מספרים טבעיים. קנטור קרא לזה aleph-null. קבוצות טרנססופיות גדולות מסומנות אלף-אחד, אלף-שני וכו'. הוא פיתח עוד את האריתמטיקה של מספרים טרנססופיים, שהייתה אנלוגית לאריתמטיקה סופית. אז הואהעשיר את מושג האינסוף.
ההתנגדות שעמד בפניו והזמן שלקח עד שרעיונותיו התקבלו במלואם נובעים מהקושי להעריך מחדש את השאלה העתיקה מהו מספר. קנטור הראה שלקבוצת הנקודות על קו יש קרדינליות גבוהה יותר מאלף-אפס. זה הוביל לבעיה הידועה של השערת הרצף - אין מספרים קרדינליים בין האלף-אפס לחזקת הנקודות על הקו. בעיה זו במחצית הראשונה והשנייה של המאה ה-20 עוררה עניין רב ונחקרה על ידי מתמטיקאים רבים, ביניהם קורט גדל ופול כהן.
דיכאון
הביוגרפיה של גאורג קנטור מאז 1884 הייתה בצל של מחלת הנפש שלו, אבל הוא המשיך לעבוד באופן פעיל. בשנת 1897 הוא עזר לקיים את הקונגרס המתמטי הבינלאומי הראשון בציריך. חלקית בגלל שהתנגד לו קרונקר, הוא סימפטי לעתים קרובות למתמטיקאים צעירים שאפתנים וביקש למצוא דרך להציל אותם מהטרדות של מורים שחשו מאוימים מרעיונות חדשים.
הכרה
בתחילת המאה, עבודתו הוכרה במלואה כבסיס לתיאוריית הפונקציות, לניתוח ולטופולוגיה. בנוסף, ספריו של החזן גיאורג שימשו דחף להמשך הפיתוח של האסכולות האינטואיציוניות והפורמליסטיות של היסודות הלוגיים של המתמטיקה. זה שינה באופן משמעותי את שיטת ההוראה ולעתים קרובות קשור ל"מתמטיקה החדשה".
בשנת 1911, קנטור היה בין המוזמניםחגיגת 500 שנה לאוניברסיטת סנט אנדרוס בסקוטלנד. הוא נסע לשם בתקווה לפגוש את ברטרנד ראסל, שבעבודתו שפורסם לאחרונה Principia Mathematica, התייחס שוב ושוב למתמטיקאי הגרמני, אך זה לא קרה. האוניברסיטה העניקה לקנטור תואר כבוד, אך עקב מחלה הוא לא הצליח לקבל את הפרס באופן אישי.
קנטור פרש ב-1913, חי בעוני ורעב במהלך מלחמת העולם הראשונה. חגיגות לכבוד יום הולדתו ה-70 בשנת 1915 בוטלו עקב המלחמה, אך בביתו התקיים טקס קטן. הוא נפטר ב-1918-06-01 בהאלה, בבית חולים פסיכיאטרי, שם בילה את שנות חייו האחרונות.
Georg Kantor: ביוגרפיה. משפחה
9 באוגוסט 1874, מתמטיקאי גרמני התחתן עם וולי גוטמן. לזוג נולדו 4 בנים ו-2 בנות. הילד האחרון נולד בשנת 1886 בבית חדש שנרכש על ידי קנטור. הירושה של אביו סייעה לו לפרנס את משפחתו. בריאותו של קנטור הושפעה מאוד ממותו של בנו הצעיר ב-1899, ומאז הדיכאון לא עזב אותו.
