אם לשפוט לפי הפופולריות של הבקשה "משפט פרמה - הוכחה קצרה", הבעיה המתמטית הזו באמת מעניינת רבים. משפט זה נאמר לראשונה על ידי פייר דה פרמה בשנת 1637 על קצה עותק של אריתמטיקה, שם הוא טען שיש לו פתרון גדול מכדי להתאים בקצה.
ההוכחה המוצלחת הראשונה פורסמה ב-1995 - היא הייתה ההוכחה המלאה למשפט פרמה מאת אנדרו ווילס. זה תואר כ"התקדמות מדהימה" והוביל את ווילס לקבל את פרס אבל ב-2016. למרות שתוארה בקצרה יחסית, ההוכחה למשפט פרמה הוכיחה גם הרבה ממשפט המודולריות ופתחה גישות חדשות למספר רב של בעיות אחרות ושיטות יעילות להרמת מודולריות. הישגים אלה קידמו את המתמטיקה 100 שנים אל העתיד. ההוכחה למשפט הקטן של פרמה היום לאזה משהו יוצא דופן.
הבעיה הבלתי פתורה עוררה את התפתחות תורת המספרים האלגברית במאה ה-19 ואת החיפוש אחר הוכחה למשפט המודולריות במאה ה-20. זהו אחד המשפטים הבולטים בהיסטוריה של המתמטיקה, ועד להוכחת החלוקה המלאה של המשפט האחרון של פרמה, הוא היה בספר השיאים של גינס בתור "הבעיה המתמטית הקשה ביותר", שאחד ממאפייניה הוא ש יש לו את המספר הגדול ביותר של הוכחות לא מוצלחות.
רקע היסטורי
משוואה פיתגורית x2 + y2=z2 יש מספר אינסופי של חיובי פתרונות מספרים שלמים עבור x, y ו-z. פתרונות אלו ידועים בשם שילוש פיתגורס. בסביבות 1637, פרמה כתב בשולי הספר שלמשוואה הכללית יותר a + b =cאין פתרונות במספרים טבעיים אם n הוא מספר שלם הגדול מ-2. למרות שפרמה עצמו טען שיש לו פתרון לבעיה שלו, הוא לא השאיר פרטים על הוכחתה. ההוכחה היסודית למשפט פרמה, שנטען על ידי יוצרו, הייתה דווקא המצאתו המתפארת. ספרו של המתמטיקאי הצרפתי הגדול התגלה 30 שנה לאחר מותו. משוואה זו, שנקראת המשפט האחרון של פרמה, נותרה בלתי פתורה במתמטיקה במשך שלוש וחצי מאות שנים.
המשפט הפך בסופו של דבר לאחת הבעיות הבלתי פתורות הבולטות ביותר במתמטיקה. ניסיונות להוכיח זאת גרמו להתפתחות משמעותית של תורת המספרים, ועם הקטעזמן, המשפט האחרון של פרמה נודע כבעיה בלתי פתורה במתמטיקה.
קיצור היסטוריה של עדויות
אם n=4, כפי שהוכיח פרמה עצמו, די להוכיח את המשפט למדדים n שהם מספרים ראשוניים. במהלך שתי המאות הבאות (1637-1839) ההשערה הוכחה רק לראשוניים 3, 5 ו-7, למרות שסופי ז'רמן עדכנה והוכיחה גישה החלה על כל מעמד הראשוניים. באמצע המאה ה-19, ארנסט קאמר הרחיב זאת והוכיח את המשפט עבור כל הראשוניים הרגילים, לפיו נותחו ראשוניים לא סדירים בנפרד. בהתבסס על עבודתו של קאמר ושימוש במחקר מחשבים מתוחכם, מתמטיקאים אחרים הצליחו להרחיב את פתרון המשפט, במטרה לכסות את כל המעריכים העיקריים עד ארבעה מיליון, אך ההוכחה לכל המעריכים עדיין לא הייתה זמינה (כלומר שמתמטיקאים נחשב בדרך כלל כפתרון המשפט לבלתי אפשרי, קשה ביותר או בלתי ניתן להשגה עם הידע הנוכחי).
העבודה של שימורה וטניאמה
בשנת 1955, המתמטיקאים היפניים גורו שימורה ויוטקה טאניאמה חשדו שיש קשר בין עקומות אליפטיות וצורות מודולריות, שני ענפים שונים מאוד של מתמטיקה. ידוע בזמנו בתור השערת טניאמה-שימורה-וייל ו(בסופו של דבר) כמשפט המודולריות, הוא התקיים בפני עצמו, ללא קשר ברור למשפט האחרון של פרמה. זה עצמו נתפס באופן נרחב כמשפט מתמטי חשוב, אבל זה נחשב (כמו המשפט של פרמה) בלתי אפשרי להוכחה. בזהבמקביל, ההוכחה למשפט האחרון של פרמה (על ידי חלוקה ויישום נוסחאות מתמטיות מורכבות) בוצעה רק כעבור חצי מאה.
בשנת 1984, גרהרד פריי הבחין בקשר ברור בין שתי הבעיות הללו שלא היו קשורות בעבר ולא פתורות. אישור מלא לכך ששני המשפטים קשורים זה לזה פורסם ב-1986 על ידי קן ריבט, שהתבסס על הוכחה חלקית של ז'אן-פייר סרה, שהוכיח את כל החלקים מלבד אחד, המכונה "השערת האפסילון". במילים פשוטות, עבודות אלה של פריי, סרה וריבה הראו שאם ניתן היה להוכיח את משפט המודולריות, לפחות עבור מחלקה חצי יציבה של עקומות אליפטיות, אזי ההוכחה למשפט האחרון של פרמה תתגלה במוקדם או במאוחר גם כן. כל פתרון שיכול לסתור את המשפט האחרון של פרמה יכול לשמש גם כדי לסתור את משפט המודולריות. לכן, אם משפט המודולריות התברר כנכון, אז בהגדרה לא יכול להיות פתרון שסותר את המשפט האחרון של פרמה, כלומר היה צריך להוכיח אותו בהקדם.
למרות ששני המשפטים היו בעיות קשות במתמטיקה, שנחשבו בלתי פתירות, עבודתם של שני היפנים הייתה ההצעה הראשונה כיצד ניתן להרחיב ולהוכיח את המשפט האחרון של פרמה עבור כל המספרים, לא רק עבור חלקם. חשובה לחוקרים שבחרו בנושא המחקר הייתה העובדה שבניגוד למשפט האחרון של פרמה, משפט המודולריות היה התחום הפעיל העיקרי של המחקר, שעבורופותחו ראיות, ולא רק מוזרות היסטורית, כך שניתן היה להצדיק את הזמן שהושקע בעבודתה מנקודת מבט מקצועית. עם זאת, ההסכמה הכללית הייתה שפתרון השערת Taniyama-Shimura התברר כלא הולם.
משפט החווה האחרון: ההוכחה של וילס
לאחר שנודע שריבט הוכיחה שהתיאוריה של פריי נכונה, המתמטיקאי האנגלי אנדרו ויילס, שהתעניין במשפט האחרון של פרמה מאז ילדותו ויש לו ניסיון בעבודה עם עקומות אליפטיות ותחומים סמוכים, החליט לנסות להוכיח את תניאמה-שימורה השערה כדרך להוכיח את המשפט האחרון של פרמה. ב-1993, שש שנים לאחר שהכריז על מטרתו, בעודו עובד בחשאי על בעיית פתרון המשפט, הצליח ווילס להוכיח השערה קשורה, שבתורה תעזור לו להוכיח את המשפט האחרון של פרמה. המסמך של ויילס היה עצום בגודלו ובהיקף.
פגם התגלה בחלק אחד של המאמר המקורי שלו במהלך סקירת עמיתים והצריך שנה נוספת של שיתוף פעולה עם ריצ'רד טיילור כדי לפתור במשותף את המשפט. כתוצאה מכך, ההוכחה הסופית של ווילס למשפט האחרון של פרמה לא איחרה לבוא. ב-1995 הוא פורסם בקנה מידה קטן בהרבה מעבודתו המתמטית הקודמת של ווילס, מה שממחיש שהוא לא טעה במסקנותיו הקודמות לגבי האפשרות להוכיח את המשפט. הישגו של ווילס זכה לפרסום נרחב בעיתונות הפופולרית וזכה לפופולריות בספרים ובתוכניות טלוויזיה. החלקים הנותרים של השערת Taniyama-Shimura-Weil, אשר הוכחו כעת והידוע כמשפט המודולריות, הוכחו לאחר מכן על ידי מתמטיקאים אחרים שבנו על עבודתו של ווילס בין 1996 ל-2001. על הישגו, ווילס זכה לכבוד וקיבל פרסים רבים, כולל פרס אבל לשנת 2016.
הוכחה של וילס למשפט האחרון של פרמה היא מקרה מיוחד של פתרון משפט המודולריות עבור עקומות אליפטיות. עם זאת, זהו המקרה המפורסם ביותר של פעולה מתמטית בקנה מידה כה גדול. לצד פתרון משפט ריבה השיג המתמטיקאי הבריטי גם הוכחה למשפט האחרון של פרמה. המשפט האחרון ומשפט המודולריות של פרמה נחשבו כמעט באופן אוניברסלי בלתי ניתנים להוכחה על ידי מתמטיקאים מודרניים, אבל אנדרו ווילס הצליח להוכיח לעולם המדעי שאפילו מבקרים יכולים לטעות.
וויילס הכריז לראשונה על תגליתו ביום רביעי 23 ביוני 1993 בהרצאה בקיימברידג' שכותרתה "צורות מודולריות, עקומות אליפטיות וייצוגים גלואה". אולם בספטמבר 1993 נמצא כי ישנה טעות בחישוביו. שנה לאחר מכן, ב-19 בספטמבר 1994, במה שהוא יכנה "הרגע החשוב ביותר בחיי העבודה שלו", נתקל ויילס בתגלית שאפשרה לו לתקן את הפתרון לבעיה עד לנקודה שבה יוכל לספק את המתמטי. קהילה.
תיאור העבודה
הוכחה למשפט פרמה מאת אנדרו ווילס משתמש בשיטות רבות מגיאומטריה אלגברית ותורת המספרים ויש לה השלכות רבות באלהתחומי המתמטיקה. הוא גם משתמש במבנים הסטנדרטיים של הגיאומטריה האלגברית המודרנית, כגון קטגוריית הסכמות ותיאוריית איוואסאווה, כמו גם שיטות אחרות של המאה ה-20 שלא היו זמינות לפייר דה פרמה.
שני המאמרים המכילים את הראיות הם באורך 129 עמודים ונכתבו במהלך שבע שנים. ג'ון קוטס תיאר את הגילוי הזה כאחד ההישגים הגדולים ביותר של תורת המספרים, וג'ון קונווי כינה אותו ההישג המתמטי העיקרי של המאה ה-20. ויילס, על מנת להוכיח את המשפט האחרון של פרמה על ידי הוכחת משפט המודולריות למקרה המיוחד של עקומות אליפטיות למחצה, פיתח שיטות עוצמתיות להרמת מודולריות ופתח גישות חדשות למספר רב של בעיות אחרות. על פתרון המשפט האחרון של פרמה, הוא זכה לתואר אבירות וקיבל פרסים נוספים. כאשר נודע כי ווילס זכה בפרס אבל, האקדמיה הנורבגית למדעים תיארה את הישגו כ"הוכחה מענגת ואלמנטרית למשפט האחרון של פרמה."
איך זה היה
אחד האנשים שסקרו את כתב היד המקורי של ווילס עם הפתרון למשפט היה ניק כץ. במהלך סקירתו, הוא שאל את הבריטי מספר שאלות הבהרה שהובילו את ווילס להודות שברור שעבודתו מכילה פער. בחלק קריטי אחד של ההוכחה, נפלה שגיאה שנתנה אומדן לסדר של קבוצה מסוימת: מערכת אוילר ששימשה להרחבת שיטת Kolyvagin ו-Flach לא הייתה שלמה. אולם הטעות לא הפכה את עבודתו לחסרת תועלת - כל יצירה של ווילס הייתה משמעותית וחדשנית מאוד בפני עצמה, וכך גם רבותפיתוחים ושיטות שיצר במהלך עבודתו והשפיעו רק על חלק אחד של כתב היד. עם זאת, לעבודה מקורית זו, שפורסמה ב-1993, לא הייתה ממש הוכחה למשפט האחרון של פרמה.
וויילס בילה כמעט שנה בניסיון לגלות מחדש פתרון למשפט, תחילה לבד ולאחר מכן בשיתוף פעולה עם תלמידו לשעבר ריצ'רד טיילור, אך נראה היה שהכל היה לשווא. עד סוף 1993 נפוצו שמועות שההוכחה של ויילס נכשלה בבדיקה, אך לא נודע עד כמה זה היה חמור. מתמטיקאים החלו להפעיל לחץ על ווילס לחשוף את פרטי עבודתו, בין אם היא בוצעה ובין אם לאו, כך שהקהילה הרחבה יותר של מתמטיקאים תוכל לחקור ולהשתמש בכל מה שהוא הצליח להשיג. במקום לתקן במהירות את הטעות שלו, ווילס גילה רק היבטים קשים נוספים בהוכחת המשפט האחרון של פרמה, ולבסוף הבין כמה זה קשה.
וויילס מצהיר שבבוקר ה-19 בספטמבר 1994 הוא עמד על סף ויתור וויתור, וכמעט השלים עם כישלון. הוא היה מוכן לפרסם את עבודתו הלא גמורה כדי שאחרים יוכלו לבנות עליה ולמצוא היכן טעה. המתמטיקאי האנגלי החליט לתת לעצמו הזדמנות אחרונה וניתח את המשפט בפעם האחרונה כדי לנסות להבין את הסיבות העיקריות לכך שהגישה שלו לא עבדה, כשלפתע הבין שגישת Kolyvagin-Flac לא תעבוד עד שהואיכלול גם את התיאוריה של Iwasawa בתהליך ההוכחה, מה שיגרום לה לעבוד.
ב-6 באוקטובר, וילס ביקש משלושה עמיתים (כולל פלטינס) לסקור את עבודתו החדשה, וב-24 באוקטובר 1994 הוא הגיש שני כתבי יד - "עקומות אליפטיות מודולריות והמשפט האחרון של פרמה" ו"מאפיינים תיאורטיים של ring of some Hecke algebras", שאת השניה שבה ווילס כתב יחד עם טיילור והוכיחה שהתקיימו תנאים מסוימים כדי להצדיק את הצעד המתוקן במאמר הראשי.
שני המאמרים הללו נסקרו ולבסוף פורסמו כמהדורת טקסט מלאה ב-Annals of Mathematics מאי 1995. החישובים החדשים של אנדרו נותחו בהרחבה ובסופו של דבר התקבלו על ידי הקהילה המדעית. במאמרים אלה נקבע משפט המודולריות של עקומות אליפטיות יציבות למחצה - הצעד האחרון לקראת הוכחת המשפט האחרון של פרמה, 358 שנים לאחר יצירתו.
היסטוריה של הבעיה הגדולה
פתרון המשפט הזה נחשב לבעיה הגדולה ביותר במתמטיקה במשך מאות שנים. ב-1816 וב-1850 הציעה האקדמיה הצרפתית למדעים פרס עבור הוכחה כללית למשפט האחרון של פרמה. בשנת 1857 העניקה האקדמיה 3,000 פרנק ומדליית זהב לקאמר על מחקרו על מספרים אידיאליים, למרות שהוא לא הגיש בקשה לפרס. פרס נוסף הוצע לו בשנת 1883 על ידי האקדמיה של בריסל.
Wolfskel Prize
בשנת 1908, התעשיין הגרמני והמתמטיקאי החובב פול וולפסקל הוריש 100,000 סימני זהב (כמות גדולה לאותה תקופה)האקדמיה למדעים של גטינגן, כך שהכסף הזה יהפוך לפרס עבור ההוכחה המלאה למשפט האחרון של פרמה. ב-27 ביוני 1908 פרסמה האקדמיה תשעה כללי פרס. בין היתר, כללים אלו חייבו את פרסום ההוכחה בכתב עת בעל ביקורת עמיתים. הפרס היה אמור להיות מוענק רק שנתיים לאחר הפרסום. התחרות הייתה אמורה להסתיים ב-13 בספטמבר 2007 - כמאה שנה לאחר תחילתה. ב-27 ביוני 1997 קיבל וילס את כספי הפרסים של וולפסל ולאחר מכן 50,000 דולר נוספים. במרץ 2016 הוא קיבל 600,000 אירו מהממשלה הנורבגית כחלק מפרס אבל עבור "הוכחה מדהימה למשפט האחרון של פרמה בעזרת השערת המודולריות של עקומות אליפטיות יציבות למחצה, ופותחת עידן חדש בתורת המספרים". זה היה הניצחון העולמי של האנגלי הצנוע.
לפני ההוכחה של ווילס, משפט פרמה, כפי שהוזכר קודם לכן, נחשב בלתי פתיר לחלוטין במשך מאות שנים. לוועדת וולפסקל הוצגו אלפי ראיות שגויות בזמנים שונים, בהיקף של כ-10 רגל (3 מטרים) של התכתבות. רק בשנה הראשונה לקיומו של הפרס (1907-1908) הוגשו 621 בקשות שהתיימרו לפתור את המשפט, אם כי עד שנות ה-70 ירד מספרן לכ-3-4 בקשות בחודש. לדברי פ. שליכט, מבקר וולפסל, רוב העדויות התבססו על שיטות יסוד הנלמדות בבתי ספר והוצגו לעתים קרובות כ"אנשים עם רקע טכני אך קריירות לא מוצלחות". לפי ההיסטוריון של המתמטיקה הווארד אווס, האחרוןהמשפט של פרמה קבע סוג של שיא - זה המשפט עם המספר הגדול ביותר של הוכחות שגויות.
זרי הדפנה של החווה הגיעו ליפנים
כפי שהוזכר קודם לכן, בסביבות 1955, המתמטיקאים היפניים גורו שימורה ויוטאקה טאניאמה גילו קשר אפשרי בין שני ענפים שונים לכאורה של המתמטיקה - עקומות אליפטיות וצורות מודולריות. משפט המודולריות שנוצר (שנודע אז בתור השערת Taniyama-Shimura) קובע שכל עקומה אליפטית היא מודולרית, כלומר ניתן לשייך אותה לצורה מודולרית ייחודית.
התיאוריה נדחתה בתחילה כבלתי סבירה או ספקולטיבית ביותר, אך נלקחה ברצינות רבה יותר כאשר תיאורטיקן המספרים אנדרה וייל מצא ראיות התומכות במסקנות היפניות. כתוצאה מכך, ההשערה כונתה לעתים קרובות כהשערת Taniyama-Shimura-Weil. היא הפכה לחלק מתוכנית Langlands, שהיא רשימה של השערות חשובות שצריך להוכיח בעתיד.
גם לאחר בדיקה רצינית, ההשערה הוכרה על ידי מתמטיקאים מודרניים כקשה ביותר, או אולי בלתי נגישה להוכחה. עכשיו המשפט המסוים הזה מחכה לאנדרו ווילס שלו, שיכול להפתיע את כל העולם עם הפתרון שלו.
משפט פרמה: ההוכחה של פרלמן
למרות המיתוס הפופולרי, למתמטיקאי הרוסי גריגורי פרלמן, על כל גאונותו, אין שום קשר למשפט פרמה. מה שעם זאת לא גורע ממנו בשום אופן.תרומות רבות לקהילה המדעית.
