לימוד תורת ההסתברות מתחיל בפתרון בעיות של חיבור וכפל הסתברויות. כדאי להזכיר מיד שכאשר שולט בתחום הידע הזה, תלמיד עלול להיתקל בבעיה: אם ניתן לייצג תהליכים פיזיקליים או כימיים בצורה חזותית ולהבין אותם באופן אמפירי, אזי רמת ההפשטה המתמטית גבוהה מאוד, וההבנה כאן באה רק עם ניסיון.
עם זאת, המשחק שווה את הנר, מכיוון שהנוסחאות - שנחשבו במאמר זה והן מורכבות יותר - משמשות היום בכל מקום ועשויות להיות שימושיות בעבודה.
מקור
למרבה הפלא, הדחף לפיתוח קטע זה במתמטיקה היה … הימורים. ואכן, קוביות, הטלת מטבע, פוקר, רולטה הן דוגמאות אופייניות המשתמשות בחיבור ובכפל של הסתברויות. בדוגמה של משימות בכל ספר לימוד, ניתן לראות זאת בבירור. אנשים היו מעוניינים ללמוד כיצד להגדיל את סיכויי הזכייה, ואני חייב לומר, חלקם הצליחו בכך.
לדוגמה, כבר במאה ה-21, אדם אחד, שאת שמו לא נחשוף,השתמש בידע הזה שנצבר במשך מאות שנים כדי ממש "לנקות" את הקזינו, וזכה בכמה עשרות מיליוני דולרים ברולטה.
עם זאת, למרות ההתעניינות המוגברת בנושא, רק במאה ה-20 פותחה מסגרת תיאורטית שהפכה את ה-"theorver" למרכיב מן המניין במתמטיקה. כיום, כמעט בכל מדע, ניתן למצוא חישובים בשיטות הסתברותיות.
Applicability
נקודה חשובה בעת שימוש בנוסחאות של חיבור וכפל הסתברויות, הסתברות מותנית היא הסיפוק של משפט הגבול המרכזי. אחרת, למרות שהתלמיד לא יממש את זה, כל החישובים, לא משנה כמה הם סבירים, יהיו שגויים.
כן, הלומד בעל המוטיבציה הגבוהה מתפתה להשתמש בידע חדש בכל הזדמנות. אבל במקרה זה, יש להאט מעט ולתאר בקפדנות את היקף התחולה.
תורת ההסתברות עוסקת באירועים אקראיים, שבמונחים אמפיריים הם תוצאות של ניסויים: אנחנו יכולים להטיל קוביה בעלת שש צדדים, לשלוף קלף מחפיסה, לחזות את מספר החלקים הפגומים באצווה. עם זאת, בכמה שאלות זה בלתי אפשרי באופן קטגורי להשתמש בנוסחאות מחלק זה של מתמטיקה. נדון בתכונות של התחשבות בהסתברויות של מאורע, משפטי החיבור והכפל של אירועים בסוף המאמר, אך לעת עתה נפנה לדוגמאות.
מושגים בסיסיים
אירוע אקראי פירושו תהליך או תוצאה שעשויים להופיע או לא להופיעכתוצאה מהניסוי. לדוגמה, אנחנו זורקים כריך - הוא יכול ליפול חמאה למעלה או חמאה למטה. כל אחת משתי התוצאות תהיה אקראית, ואיננו יודעים מראש איזו מהן תתרחש.
כשלומדים חיבור וכפל הסתברויות, אנחנו צריכים שני מושגים נוספים.
אירועים משותפים הם אותם אירועים, שהתרחשות של אחד מהם אינה שוללת את התרחשותו של השני. נניח ששני אנשים יורים במטרה בו זמנית. אם אחד מהם יורה ירייה מוצלחת, זה לא ישפיע על יכולתו של השני לפגוע או להחטיא.
אירועים כאלה לא יהיו עקביים, שהתרחשותם בלתי אפשרית בו-זמנית. לדוגמה, על ידי שליפת כדור אחד בלבד מהקופסה, אינך יכול לקבל גם כחול וגם אדום בבת אחת.
Designation
מושג ההסתברות מסומן באות הבירה הלטינית P. לאחר מכן בסוגריים מופיעים ארגומנטים המציינים אירועים מסוימים.
בנוסחאות של משפט החיבור, הסתברות מותנית, משפט הכפל, תראה ביטויים בסוגריים, למשל: A+B, AB או A|B. הם יחושבו בדרכים שונות, כעת נפנה אליהם.
Addition
בואו נשקול מקרים שבהם נעשה שימוש בנוסחאות חיבור וכפל.
עבור אירועים לא תואמים, נוסחת החיבור הפשוטה ביותר רלוונטית: ההסתברות של כל אחת מהתוצאות האקראיות תהיה שווה לסכום ההסתברויות של כל אחת מהתוצאות הללו.
נניח שיש קופסה עם 2 בלונים כחולים, 3 אדומים ו-5 צהובים. יש 10 פריטים בסך הכל בקופסה. מה אחוז האמיתות של האמירה שנצייר כדור כחול או אדום? זה יהיה שווה ל-2/10 + 3/10, כלומר חמישים אחוז.
במקרה של אירועים לא תואמים, הנוסחה הופכת מסובכת יותר, מכיוון שמתווסף מונח נוסף. נחזור אליו בפסקה אחת, לאחר שנבחן נוסחה נוספת.
כפל
הוספה והכפלה של הסתברויות של אירועים בלתי תלויים משמשים במקרים שונים. אם, לפי מצב הניסוי, נסתפק באחת משתי התוצאות האפשריות, נחשב את הסכום; אם ברצוננו להשיג שתי תוצאות מסוימות בזו אחר זו, נשתמש בנוסחה אחרת.
לחזור לדוגמא מהסעיף הקודם, אנו רוצים לצייר תחילה את הכדור הכחול ולאחר מכן את האדום. המספר הראשון שאנו מכירים הוא 2/10. מה קורה לאחר מכן? נותרו 9 כדורים, יש עדיין אותו מספר של אדומים - שלוש חתיכות. לפי החישובים מקבלים 3/9 או 1/3. אבל מה לעשות עם שני מספרים עכשיו? התשובה הנכונה היא להכפיל כדי לקבל 2/30.
אירועים משותפים
עכשיו אנחנו יכולים לחזור על נוסחת הסכום לאירועים משותפים. למה אנחנו סוטים מהנושא? כדי ללמוד כיצד מכפילים הסתברויות. עכשיו הידע הזה יהיה שימושי.
אנחנו כבר יודעים מה יהיו שני האיברים הראשונים (זהה כמו בנוסחת החיבור שנחשבה קודם לכן), עכשיו אנחנו צריכים להחסירמכפלת ההסתברויות שזה עתה למדנו לחשב. לבהירות, אנו כותבים את הנוסחה: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). מסתבר שגם חיבור וגם הכפל של הסתברויות משמשים בביטוי אחד.
בוא נגיד שעלינו לפתור אחת משתי הבעיות כדי לקבל אשראי. אנחנו יכולים לפתור את הראשון בהסתברות של 0.3, והשני - 0.6. פתרון: 0.3 + 0.6 - 0.18=0.72. שימו לב שפשוט סיכום המספרים כאן לא יספיק.
הסתברות מותנית
לבסוף, יש את המושג של הסתברות מותנית, שהטיעונים שלו מצוינים בסוגריים ומופרדים בפס אנכי. הערך P(A|B) נכתב כך: "הסתברות לאירוע A נתון אירוע B".
בוא נסתכל על דוגמה: חבר נותן לך מכשיר כלשהו, זה יהיה טלפון. זה יכול להיות שבור (20%) או טוב (80%). אתה מסוגל לתקן כל מכשיר שנופל לידיים שלך בסבירות של 0.4 או שאתה לא מסוגל לעשות את זה (0.6). לבסוף, אם המכשיר תקין, תוכל להגיע לאדם הנכון בסבירות של 0.7.
קל לראות איך עובדת הסתברות מותנית במקרה הזה: אתה לא יכול לעבור לאדם אם הטלפון מקולקל, ואם הוא טוב, אתה לא צריך לתקן את זה. לפיכך, על מנת לקבל תוצאות כלשהן ב"רמה השנייה", אתה צריך לדעת איזה אירוע בוצע באירוע הראשון.
חישובים
בואו נשקול דוגמאות לפתרון בעיות בחיבור והכפלה של הסתברויות, תוך שימוש בנתונים מהפסקה הקודמת.
ראשית, בוא נמצא את ההסתברות שאתהלתקן את המכשיר שניתן לך. כדי לעשות זאת, ראשית, זה חייב להיות פגום, ושנית, אתה חייב להתמודד עם התיקון. זוהי בעיית כפל טיפוסית: נקבל 0.20.4=0.08.
מה ההסתברות שתגיע מיד לאדם הנכון? קל יותר מפשוט: 0.80.7=0.56. במקרה זה, גילית שהטלפון עובד והתקשרת בהצלחה.
לבסוף, שקול את התרחיש הזה: קיבלת טלפון שבור, תיקנת אותו, ואז חייגת את המספר, והאדם מהצד השני ענה לטלפון. כאן, הכפל של שלושה מרכיבים כבר נדרש: 0, 20, 40, 7=0, 056.
ומה אם יש לך שני טלפונים לא עובדים בבת אחת? מה הסיכוי שתתקן לפחות אחד מהם? זוהי בעיה של חיבור וכפל הסתברויות, שכן משתמשים באירועים משותפים. פתרון: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
שימוש זהיר
כפי שהוזכר בתחילת המאמר, השימוש בתורת ההסתברות צריך להיות מכוון ומודע.
ככל שסדרת הניסויים גדולה יותר, כך הערך החזוי התיאורטי מתקרב לזה המעשי. למשל, אנחנו זורקים מטבע. תיאורטית, בידיעה על קיומן של נוסחאות לחיבור והכפלה של הסתברויות, נוכל לחזות כמה פעמים ייפלו ראשים וזנבות אם נבצע את הניסוי 10 פעמים. עשינו ניסוי ובמקרה, היחס בין הצלעות שנפלו היה 3 ל-7. אבל אם עורכים סדרה של 100, 1000 ניסיונות או יותר, מתברר שגרף ההתפלגות מתקרב יותר ויותר לזה התיאורטי: 44 עד 56, 482 ל 518 וכן הלאה.
עכשיו דמיינו שהניסוי הזה מתבצע לא עם מטבע, אלא עם ייצור של חומר כימי חדש כלשהו, שאת ההסתברות שלו איננו יודעים. היינו מבצעים 10 ניסויים, ואם לא נקבל תוצאה מוצלחת, נוכל להכליל: "לא ניתן להשיג את החומר". אבל מי יודע, אם עשינו את הניסיון האחד-עשר, האם היינו מגיעים למטרה או לא?
אז אם אתה הולך אל הלא נודע, התחום הלא נחקר, ייתכן שתיאוריית ההסתברות לא תחול. כל ניסיון עוקב במקרה זה עשוי להצליח והכללות כמו "X לא קיים" או "X בלתי אפשרי" יהיו מוקדמות.
מילה סיום
לכן בדקנו שני סוגים של חיבור, כפל והסתברויות מותנות. עם מחקר נוסף של תחום זה, יש צורך ללמוד להבחין במצבים כאשר משתמשים בכל נוסחה ספציפית. בנוסף, עליך להבין האם שיטות הסתברותיות ישימות בדרך כלל לפתרון הבעיה שלך.
אם תתאמן, לאחר זמן מה תתחיל לבצע את כל הפעולות הנדרשות אך ורק בראש שלך. למי שאוהב משחקי קלפים, מיומנות זו יכולה להיחשבבעל ערך רב - אתה תגדיל משמעותית את סיכויי הזכייה שלך, רק על ידי חישוב ההסתברות של קלף מסוים או חליפה מסוימת. עם זאת, ניתן ליישם את הידע הנרכש בקלות בתחומי פעילות אחרים.
