בעיות מתמטיות משמשות במדעים רבים. אלה כוללים לא רק פיזיקה, כימיה, הנדסה וכלכלה, אלא גם רפואה, אקולוגיה ודיסציפלינות אחרות. מושג אחד שחשוב לשלוט בו כדי למצוא פתרונות לדילמות חשובות הוא הנגזרת של פונקציה. המשמעות הפיזית של זה בכלל לא קשה להסביר כפי שהיא עשויה להיראות לחסרי ניסיון במהות הסוגיה. מספיק רק למצוא דוגמאות מתאימות לכך בחיים האמיתיים ובמצבים יומיומיים רגילים. למעשה, כל נהג מתמודד עם משימה דומה מדי יום כאשר הוא מסתכל על מד המהירות, וקובע את מהירות המכונית שלו ברגע מסוים של זמן קבוע. הרי בפרמטר זה טמונה מהות המשמעות הפיזית של הנגזרת.
איך למצוא מהירות
לקבוע את המהירות של אדם על הכביש, לדעת את המרחק שנסע וזמן הנסיעה, כל כיתה ה' יכול בקלות. לשם כך, הראשון מבין הערכים הנתונים חלקי השני. אבללא כל מתמטיקאי צעיר יודע שהוא מוצא כרגע את היחס בין המרווחים של פונקציה וטיעון. ואכן, אם נדמיין את התנועה בצורה של גרף, משרטט את הנתיב לאורך ציר ה-y, ואת הזמן לאורך האבססיס, זה יהיה בדיוק כך.
עם זאת, מהירותו של הולך רגל או כל חפץ אחר שאנו קובעים בקטע גדול של השביל, בהתחשב בתנועה אחידה, עשויה בהחלט להשתנות. יש הרבה צורות של תנועה בפיזיקה. זה יכול להתבצע לא רק עם האצה מתמדת, אלא להאט ולהגדיל באופן שרירותי. יש לציין שבמקרה זה הקו המתאר את התנועה כבר לא יהיה קו ישר. מבחינה גרפית, הוא יכול לקבל את התצורות המורכבות ביותר. אבל עבור כל אחת מהנקודות בגרף, אנחנו תמיד יכולים לצייר טנגנס המיוצג על ידי פונקציה לינארית.
כדי להבהיר את הפרמטר של שינוי תזוזה בהתאם לזמן, יש צורך לקצר את המקטעים הנמדדים. כאשר הם נעשים קטנים לאין שיעור, המהירות המחושבת תהיה מיידית. הניסיון הזה עוזר לנו להגדיר את הנגזרת. המשמעות הפיזית שלו גם נובעת לוגית מהנמקה כזו.
מבחינת גיאומטריה
ידוע שככל שמהירות הגוף גדולה יותר, כך גרף תלות התזוזה בזמן תלול יותר, ומכאן זווית הנטייה של המשיק לגרף בנקודה מסוימת. אינדיקטור לשינויים כאלה יכול להיות הטנגנס של הזווית בין ציר ה-x לישר המשיק. זה רק קובע את הערך של הנגזרת ומחושב לפי יחס האורכיםמול הרגל הסמוכה במשולש ישר זווית הנוצר מאונך שירד מנקודה כלשהי לציר ה-x.
זו המשמעות הגאומטרית של הנגזרת הראשונה. הפיזי מתגלה בכך שערכה של הרגל הנגדית במקרה שלנו הוא המרחק שעבר, והסמוך הוא הזמן. היחס שלהם הוא מהירות. ושוב אנו מגיעים למסקנה שהמהירות המיידית, שנקבעת כאשר שני הפערים נוטים לקטנים לאין שיעור, היא תמצית מושג הנגזרת, המעידה על משמעותו הפיזית. הנגזרת השנייה בדוגמה זו תהיה האצת הגוף, אשר בתורה מדגימה את קצב השינוי במהירות.
דוגמאות למציאת נגזרות בפיזיקה
הנגזרת היא אינדיקטור לקצב השינוי של כל פונקציה, גם כשאנחנו לא מדברים על תנועה במובן המילולי של המילה. כדי להדגים זאת בבירור, ניקח כמה דוגמאות קונקרטיות. נניח שעוצמת הזרם, בהתאם לזמן, משתנה לפי החוק הבא: I=0, 4t2. נדרש למצוא את הערך של הקצב שבו משתנה פרמטר זה בסוף השניה ה-8 של התהליך. שימו לב שהערך הרצוי עצמו, כפי שניתן לשפוט מהמשוואה, עולה כל הזמן.
כדי לפתור את זה, עליך למצוא את הנגזרת הראשונה, שהמשמעות הפיזית שלה נשקללה קודם לכן. כאן dI / dt=0.8t. לאחר מכן, אנו מוצאים את זה ב-t \u003d 8, נקבל שהקצב שבו הכוח הנוכחי משתנה הוא 6.4 A/c. כאן זה נחשב כךהזרם נמדד באמפר ובזמן, בהתאמה, בשניות.
הכל משתנה
העולם הסובב הגלוי, המורכב מחומר, עובר כל הזמן שינויים, תוך כדי תנועה של תהליכים שונים המתרחשים בו. ניתן להשתמש במגוון פרמטרים כדי לתאר אותם. אם הם מאוחדים על ידי תלות, אז הם כתובים מתמטית כפונקציה שמראה בבירור את השינויים שלהם. והיכן שיש תנועה (בכל צורה שהיא באה לידי ביטוי), קיימת גם נגזרת, שאת המשמעות הפיזית שלה אנו בוחנים כרגע.
בהזדמנות זו, הדוגמה הבאה. נניח שטמפרטורת הגוף משתנה בהתאם לחוק T=0, 2 t 2. אתה צריך למצוא את קצב החימום שלו בסוף השניה העשירית. הבעיה נפתרת באופן דומה לזו שתוארה במקרה הקודם. כלומר, נמצא את הנגזרת ונחליף לתוכה את הערך של t \u003d 10, נקבל T \u003d 0, 4 t \u003d 4. זה אומר שהתשובה הסופית היא 4 מעלות לשנייה, כלומר, תהליך החימום ושינוי הטמפרטורה, הנמדד במעלות, מתרחש בדיוק במהירות כזו.
פתרון בעיות מעשיות
כמובן, בחיים האמיתיים הכל הרבה יותר מסובך מאשר בבעיות תיאורטיות. בפועל, ערך הכמויות נקבע בדרך כלל במהלך הניסוי. במקרה זה, נעשה שימוש במכשירים שנותנים קריאות במהלך מדידות עם שגיאה מסוימת. לכן, בחישובים, יש להתמודד עם ערכים משוערים של הפרמטרים ולפנות לעיגול מספרים לא נוחים,כמו גם הקלות אחרות. לאחר שלקחנו זאת בחשבון, נמשיך שוב לבעיות במשמעות הפיזיקלית של הנגזרת, בהתחשב בכך שהן רק סוג של מודל מתמטי של התהליכים המורכבים ביותר המתרחשים בטבע.
התפרצות הגעש
בוא נדמיין שהר געש מתפרץ. כמה מסוכן הוא יכול להיות? כדי לענות על שאלה זו, יש לקחת בחשבון גורמים רבים. ננסה להכיל אחד מהם.
מפה של "המפלצת הלוהטת" נזרקות אבנים אנכית כלפי מעלה, עם מהירות התחלתית מרגע היציאה אל החוץ של 120 מ'/שניה. יש צורך לחשב מה הם יכולים להגיע לגובה המקסימלי.
כדי למצוא את הערך הרצוי, נרכיב משוואה לתלות של הגובה H, הנמדד במטרים, בערכים אחרים. אלה כוללים מהירות וזמן ראשוניים. ערך התאוצה נחשב ידוע ושווה בקירוב ל-10 מ' לשנייה2.
נגזרת חלקית
עכשיו בואו נבחן את המשמעות הפיזיקלית של הנגזרת של פונקציה מזווית קצת שונה, מכיוון שהמשוואה עצמה יכולה להכיל לא אחד, אלא כמה משתנים. לדוגמה, בבעיה הקודמת, התלות של גובה האבנים שנפלטו מפתח הר הגעש נקבעה לא רק לפי השינוי במאפייני הזמן, אלא גם לפי ערך המהירות ההתחלתית. האחרון נחשב לערך קבוע וקבוע. אבל במשימות אחרות עם תנאים אחרים לגמרי, הכל יכול להיות אחרת. אם הכמויות עליהן המתחםפונקציה, כמה, חישובים נעשים לפי הנוסחאות שלהלן.
יש לקבוע את המשמעות הפיזית של הנגזרת התכופה כמו במקרה הרגיל. זהו הקצב שבו הפונקציה משתנה בנקודה מסוימת ככל שהפרמטר של המשתנה גדל. זה מחושב בצורה כזו שכל שאר הרכיבים נלקחים כקבועים, רק אחד נחשב כמשתנה. ואז הכל קורה לפי הכללים הרגילים.
יועץ חיוני בנושאים רבים
בהבנת המשמעות הפיזית של הנגזרת, לא קשה לתת דוגמאות לפתרון בעיות סבוכות ומורכבות, שבהן ניתן למצוא את התשובה עם ידע כזה. אם יש לנו פונקציה שמתארת את צריכת הדלק בהתאם למהירות המכונית, נוכל לחשב באילו פרמטרים של האחרון צריכת הבנזין תהיה הנמוכה ביותר.
ברפואה, אתה יכול לחזות איך גוף האדם יגיב לתרופה שנקבעה על ידי רופא. נטילת התרופה משפיעה על מגוון פרמטרים פיזיולוגיים. אלה כוללים שינויים בלחץ הדם, קצב הלב, טמפרטורת הגוף ועוד. כולם תלויים במינון התרופה שנלקחה. חישובים אלו עוזרים לחזות את מהלך הטיפול, הן בביטויים חיוביים והן בתאונות בלתי רצויות שעלולות להשפיע אנושות על שינויים בגוף המטופל.
ללא ספק, חשוב להבין את המשמעות הפיזית של הנגזרת בטכניתנושאים, בפרט בהנדסת חשמל, אלקטרוניקה, תכנון ובנייה.
מרחק בלימה
בואו נשקול את הבעיה הבאה. כשהיא נעה במהירות קבועה, המכונית, שהתקרבה לגשר, נאלצה להאט 10 שניות לפני הכניסה, שכן הנהג הבחין בתמרור האוסר על תנועה במהירות של יותר מ-36 קמ ש. האם הנהג הפר את הכללים אם ניתן לתאר את מרחק הבלימה בנוסחה S=26t - t2?
בחישוב הנגזרת הראשונה, נמצא את הנוסחה למהירות, נקבל v=28 – 2t. לאחר מכן, החלף את הערך t=10 בביטוי שצוין.
מאחר שערך זה התבטא בשניות, המהירות היא 8 מטר לשנייה, כלומר 28.8 קמ ש. כך ניתן להבין שהנהג החל להאט בזמן ולא עבר על חוקי התנועה, ומכאן המגבלה המצוינת בתמרור המהירות.
זה מוכיח את חשיבות המשמעות הפיזית של הנגזרת. דוגמה לפתרון בעיה זו מדגימה את רוחב השימוש במושג זה בתחומי חיים שונים. כולל במצבים יומיומיים.
נגזרת בכלכלה
עד המאה ה-19, כלכלנים פעלו בעיקר על פי ממוצעים, בין אם זה היה פריון העבודה או מחיר התפוקה. אבל מנקודה מסוימת ואילך, הגבלת ערכים הפכה נחוצה יותר לביצוע תחזיות יעילות בתחום זה. אלה כוללים תועלת שולית, הכנסה או עלות. ההבנה הזו נתנה תנופה ליצירת כלי חדש לחלוטין במחקר כלכלי,שקיים והתפתח במשך יותר ממאה שנים.
כדי לבצע חישובים כאלה, כאשר מושגים כמו מינימום ומקסימום שולטים, פשוט יש צורך להבין את המשמעות הגיאומטרית והפיזיקלית של הנגזרת. בין יוצרי הבסיס התיאורטי של דיסציפלינות אלה, אפשר למנות כלכלנים אנגלים ואוסטרים בולטים כמו US Jevons, K. Menger ואחרים. כמובן, ערכים מגבילים בחישובים כלכליים אינם תמיד נוחים לשימוש. ולדוגמא, דוחות רבעוניים לא בהכרח מתאימים לתכנית הקיימת, אבל עדיין, היישום של תיאוריה כזו במקרים רבים שימושי ויעיל.
