אני חושב שאנחנו צריכים להתחיל עם ההיסטוריה של כלי מתמטי כה מפואר כמו משוואות דיפרנציאליות. כמו כל חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, את המשוואות הללו המציא ניוטון בסוף המאה ה-17. הוא החשיב את עצם הגילוי הזה שלו כל כך חשוב שהוא אפילו הצפין את המסר, שכיום אפשר לתרגם בערך כך: "כל חוקי הטבע מתוארים במשוואות דיפרנציאליות". זה אולי נראה כמו הגזמה, אבל זה נכון. ניתן לתאר כל חוק של פיזיקה, כימיה, ביולוגיה באמצעות המשוואות האלה.
המתמטיקאים אוילר ולגרנז' תרמו תרומה עצומה לפיתוח וליצירת תורת משוואות דיפרנציאליות. כבר במאה ה-18 הם גילו ופיתחו את מה שהם לומדים כיום בקורסים הבכירים באוניברסיטאות.
ציון דרך חדש בחקר משוואות דיפרנציאליות החל הודות להנרי פואנקרה. הוא יצר "תיאוריה איכותית של משוואות דיפרנציאליות", אשר בשילוב עם תורת הפונקציות של משתנה מורכב, תרמה תרומה משמעותית ליסוד הטופולוגיה - מדע המרחב ושלו.נכסים.
מהן משוואות דיפרנציאליות?
אנשים רבים מפחדים מביטוי אחד "משוואה דיפרנציאלית". עם זאת, במאמר זה נפרט את כל המהות של המנגנון המתמטי המאוד שימושי הזה, שלמעשה אינו מסובך כפי שהוא נראה מהשם. כדי להתחיל לדבר על משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, כדאי קודם כל להכיר את המושגים הבסיסיים הקשורים מטבעם להגדרה זו. ונתחיל עם ההפרש.
דיפרנציאל
רבים מכירים את המושג הזה מבית הספר. עם זאת, בואו נסתכל על זה מקרוב. דמיינו גרף של פונקציה. אנחנו יכולים להגדיל אותו עד כדי כך שכל אחד מהקטעים שלו יקבל צורה של קו ישר. עליו אנחנו לוקחים שתי נקודות שקרובות לאין ערוך זו לזו. ההבדל בין הקואורדינטות שלהם (x או y) יהיה ערך אינפיניטסימלי. זה נקרא דיפרנציאל והוא מסומן על ידי הסימנים dy (הפרש מ-y) ו-dx (הפרש מ-x). חשוב מאוד להבין שהדיפרנציאל אינו ערך סופי, וזו המשמעות והתפקיד העיקרי שלו.
ועכשיו עלינו לשקול את האלמנט הבא, שיועיל לנו בהסבר המושג של משוואה דיפרנציאלית. זו הנגזרת.
נגזרת
כולנו כנראה שמענו בבית הספר ואת הרעיון הזה. אומרים שהנגזרת היא קצב הצמיחה או הירידה של פונקציה. אולם, מהגדרה זוהרבה הופך לא ברור. בואו ננסה להסביר את הנגזרת במונחים של דיפרנציאלים. נחזור לקטע אינפיניטסימלי של פונקציה עם שתי נקודות שנמצאות במרחק מינימלי זו מזו. אבל אפילו למרחק הזה, הפונקציה מצליחה להשתנות בכמות מסוימת. וכדי לתאר את השינוי הזה, הם הגיעו עם נגזרת, שאפשר לכתוב אחרת כיחס של דיפרנציאלים: f(x)'=df/dx.
עכשיו כדאי לשקול את התכונות הבסיסיות של הנגזרת. יש רק שלושה מהם:
- ניתן לייצג את הנגזרת של הסכום או ההפרש כסכום או הפרש של נגזרות: (a+b)'=a'+b' ו-(a-b)'=a'-b'.
- התכונה השנייה קשורה לכפל. הנגזרת של מכפלה היא סכום המכפלה של פונקציה אחת והנגזרת של אחרת: (ab)'=a'b+ab'.
- ניתן לכתוב את הנגזרת של ההפרש בתור השוויון הבא: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
כל המאפיינים האלה יהיו שימושיים למציאת פתרונות למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון.
יש גם נגזרות חלקיות. נניח שיש לנו פונקציה z שתלויה במשתנים x ו-y. כדי לחשב את הנגזרת החלקית של פונקציה זו, נניח, ביחס ל-x, עלינו לקחת את המשתנה y כקבוע ופשוט להבדיל.
אינטגרל
מושג חשוב נוסף הוא האינטגרל. למעשה, זהו ההפך הישיר מהנגזרת. ישנם מספר סוגים של אינטגרלים, אך כדי לפתור את משוואות הדיפרנציאל הפשוטות ביותר, אנו זקוקים לאינטגרלים הבלתי מוגדרים הטריוויאליים ביותר.
אז מה זה אינטגרל? נניח שיש לנו תלות מסוימת fמ-x. אנחנו לוקחים ממנו את האינטגרל ומקבלים את הפונקציה F (x) (המכונה לרוב אנטי-נגזרת), שהנגזרת שלה שווה לפונקציה המקורית. כך F(x)'=f(x). מכאן גם נובע שהאינטגרל של הנגזרת שווה לפונקציה המקורית.
כשפותרים משוואות דיפרנציאליות, חשוב מאוד להבין את המשמעות והתפקוד של האינטגרל, שכן תצטרך לקחת אותן לעתים קרובות מאוד כדי למצוא את הפתרון.
משוואות שונות בהתאם לאופי שלהן. בסעיף הבא, נשקול את סוגי משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, ולאחר מכן נלמד כיצד לפתור אותן.
מחלקות של משוואות דיפרנציאליות
"Diffury" מחולקים לפי סדר הנגזרות המעורבות בהם. לפיכך, יש את הסדר הראשון, השני, השלישי ועוד. ניתן גם לחלק אותם למספר מחלקות: נגזרות רגילות וחלקיות.
במאמר זה נשקול משוואות דיפרנציאליות רגילות מהסדר הראשון. כמו כן, נדון בדוגמאות ובדרכים לפתור אותן בסעיפים הבאים. נשקול רק ODEs, כי אלו הם סוגי המשוואות הנפוצים ביותר. רגילים מחולקים לתת-מינים: עם משתנים הניתנים להפרדה, הומוגניים והטרוגניים. לאחר מכן, תלמד כיצד הם שונים זה מזה, ותלמד כיצד לפתור אותם.
בנוסף, ניתן לשלב את המשוואות הללו, כך שאחרי שנקבל מערכת של משוואות דיפרנציאליות מהסדר הראשון. נשקול גם מערכות כאלה ונלמד כיצד לפתור אותן.
למה אנחנו שוקלים רק את ההזמנה הראשונה? כי אתה צריך להתחיל עם אחד פשוט, ולתאר כל מה שקשור לדפרנציאלמשוואות, במאמר אחד זה פשוט בלתי אפשרי.
משוואות משתנות מופרדות
אלו אולי המשוואות הדיפרנציאליות הפשוטות ביותר מסדר ראשון. אלה כוללים דוגמאות שניתן לכתוב כך: y'=f(x)f(y). כדי לפתור את המשוואה הזו, אנו זקוקים לנוסחה לייצוג הנגזרת כיחס של דיפרנציאלים: y'=dy/dx. באמצעותו, נקבל את המשוואה הבאה: dy/dx=f(x)f(y). כעת נוכל לפנות לשיטה לפתרון דוגמאות סטנדרטיות: נחלק את המשתנים לחלקים, כלומר נעביר הכל עם המשתנה y לחלק בו נמצא dy, וכך נעשה עם המשתנה x. נקבל משוואה בצורה: dy/f(y)=f(x)dx, אשר נפתרת על ידי לקיחת האינטגרלים של שני החלקים. אל תשכח את הקבוע שיש להגדיר לאחר לקיחת האינטגרל.
הפתרון לכל "דיפרנס" הוא פונקציה של התלות של x ב-y (במקרה שלנו) או, אם יש תנאי מספרי, אז התשובה היא בצורת מספר. בואו ננתח את כל מהלך הפתרון באמצעות דוגמה ספציפית:
y'=2ysin(x)
הזז משתנים לכיוונים שונים:
dy/y=2sin(x)dx
עכשיו אנחנו לוקחים אינטגרלים. את כולם ניתן למצוא בטבלת אינטגרלים מיוחדת. ואנחנו מקבלים:
ln(y)=-2cos(x) + C
במידת הצורך, נוכל לבטא "y" כפונקציה של "x". כעת אנו יכולים לומר שמשוואת הדיפרנציאל שלנו נפתרת אם לא ניתן תנאי. ניתן לתת תנאי, למשל, y(n/2)=e. אז אנחנו פשוט מחליפים את הערך של המשתנים האלה בפתרון ולמצוא את הערך של הקבוע. בדוגמה שלנו, זה שווה ל-1.
משוואות דיפרנציאליות הומוגניות מסדר ראשון
עכשיו נעבור לחלק הקשה יותר. ניתן לכתוב משוואות דיפרנציאליות הומוגניות מהסדר הראשון בצורה כללית באופן הבא: y'=z(x, y). יש לציין שהפונקציה הנכונה של שני משתנים היא הומוגנית, ולא ניתן לחלק אותה לשתי תלות: z על x ו-z על y. הבדיקה האם המשוואה הומוגנית או לא היא די פשוטה: אנו מבצעים את ההחלפה x=kx ו-y=ky. כעת אנו מבטלים את כל הק. אם כל האותיות הללו מצטמצמות, אז המשוואה הומוגנית ותוכל להמשיך בבטחה לפתור אותה. במבט קדימה, נניח: העיקרון של פתרון הדוגמאות הללו הוא גם פשוט מאוד.
אנחנו צריכים לבצע החלפה: y=t(x)x, כאשר t היא פונקציה כלשהי שתלויה גם ב-x. אז נוכל לבטא את הנגזרת: y'=t'(x)x+t. מחליף את כל זה במשוואה המקורית שלנו ומפשט אותה, נקבל דוגמה עם משתנים ניתנים להפרדה t ו-x. אנחנו פותרים את זה ומקבלים את התלות t(x). כשקיבלנו את זה, אנחנו פשוט מחליפים את y=t(x)x בתחליף הקודם שלנו. אז נקבל את התלות של y ב-x.
כדי להבהיר את זה, בואו נסתכל על דוגמה: xy'=y-xey/x.
כאשר בודקים עם החלפה, הכל מצטמצם. אז המשוואה באמת הומוגנית. כעת נעשה החלפה נוספת שדיברנו עליה: y=t(x)x ו-y'=t'(x)x+t(x). לאחר הפישוט, נקבל את המשוואה הבאה: t'(x)x=-et. אנו פותרים את הדוגמה המתקבלת עם משתנים מופרדים ומקבלים: e-t=ln(Cx). אנחנו צריכים רק להחליף את t ב-y/x (אחרי הכל, אם y=tx, אז t=y/x), ונקבלתשובה: e-y/x=ln(xC).
משוואות דיפרנציאליות לינאריות מסדר ראשון
הגיע הזמן לעוד נושא גדול. ננתח משוואות דיפרנציאליות לא הומוגניות מהסדר הראשון. במה הם שונים מהשניים הקודמים? בוא נבין את זה. משוואות דיפרנציאליות לינאריות מהסדר הראשון בצורה כללית יכולות להיכתב באופן הבא: y' + g(x)y=z(x). כדאי להבהיר ש-z(x) ו-g(x) יכולים להיות קבועים.
ועכשיו דוגמה: y' - yx=x2.
ישנן שתי דרכים לפתור את זה, ואנחנו נטפל בשתיהן לפי הסדר. הראשון הוא שיטת הווריאציה של קבועים שרירותיים.
כדי לפתור את המשוואה בדרך זו, יש להשוות תחילה את הצד הימני לאפס ולפתור את המשוואה המתקבלת, שלאחר הזזת החלקים תקבל את הצורה:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
עכשיו עלינו להחליף את הקבוע C1 בפונקציה v(x) שעלינו למצוא.
y=vex2/2.
בואו נשנה את הנגזרת:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
והחליפו את הביטויים האלה במשוואה המקורית:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
אתה יכול לראות ששני מונחים מתבטלים בצד שמאל. אם בדוגמה כלשהי זה לא קרה, אז עשית משהו לא בסדר.המשך:
v'ex2/2 =x2.
עכשיו אנחנו פותרים את המשוואה הרגילה שבה עלינו להפריד בין המשתנים:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
כדי לחלץ את האינטגרל, עלינו ליישם כאן אינטגרציה לפי חלקים. עם זאת, זה לא הנושא של המאמר שלנו. אם אתה מעוניין, אתה יכול ללמוד כיצד לבצע פעולות כאלה בעצמך. זה לא קשה, ועם מספיק מיומנות ותשומת לב לא לוקח הרבה זמן.
בואו נפנה לשיטה השנייה לפתרון משוואות לא הומוגניות: שיטת ברנולי. איזו גישה מהירה וקלה יותר תלויה בך.
לכן, כשפותרים את המשוואה בשיטה זו, עלינו לבצע תחליף: y=kn. כאן k ו-n הם כמה פונקציות תלויות x. ואז הנגזרת תיראה כך: y'=k'n+kn'. החלף את שני ההחלפות במשוואה:
k'n+kn'+xkn=x2.
קבוצה:
k'n+k(n'+xn)=x2.
עכשיו אנחנו צריכים להשוות לאפס את מה שנמצא בסוגריים. כעת, אם תשלב את שתי המשוואות המתקבלות, תקבל מערכת של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון שאתה צריך לפתור:
n'+xn=0;
k'n=x2.
השוויון הראשון נפתר כמו משוואה רגילה. כדי לעשות זאת, עליך להפריד בין המשתנים:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
קח את האינטגרל וקבל: ln(n)=x2/2. לאחר מכן, אם נביע n:
n=ex2/2.
עכשיו אנחנו מחליפים את השוויון המתקבל במשוואה השנייה של המערכת:
k'ex2/2=x2.
ובשינוי, אנחנו מקבלים את אותו שוויון כמו בשיטה הראשונה:
dk=x2/ex2/2.
גם אנחנו לא ניכנס לשלבים נוספים. כדאי לומר שבהתחלה פתרון משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון גורם לקשיים משמעותיים. עם זאת, ככל שאתה צולל עמוק יותר לתוך הנושא, הוא מתחיל להשתפר יותר ויותר.
היכן משתמשים במשוואות דיפרנציאליות?
משוואות דיפרנציאליות נמצאות בשימוש פעיל מאוד בפיזיקה, מכיוון שכמעט כל החוקים הבסיסיים כתובים בצורה דיפרנציאלית, והנוסחאות שאנו רואים הן הפתרון של המשוואות הללו. בכימיה משתמשים בהם מאותה סיבה: חוקי יסוד נגזרים מהם. בביולוגיה, משוואות דיפרנציאליות משמשות למודל התנהגות של מערכות, כמו טורף-טרף. ניתן להשתמש בהם גם ליצירת מודלים של רבייה של, למשל, מושבה של מיקרואורגניזמים.
איך משוואות דיפרנציאליות יעזרו בחיים?
התשובה לשאלה זו פשוטה: אין מצב. אם אתה לא מדען או מהנדס, סביר להניח שהם לא יהיו שימושיים עבורך. עם זאת, להתפתחות כללית, לא מזיק לדעת מהי משוואה דיפרנציאלית וכיצד היא נפתרת. ואז השאלה של בן או בת "מהי משוואה דיפרנציאלית?" לא יבלבל אותך. ובכן, אם אתה מדען או מהנדס, אז אתה בעצמך מבין את החשיבות של נושא זה בכל מדע. אבל הדבר החשוב ביותר הוא שעכשיו השאלה "איך פותרים משוואת דיפרנציאלית מסדר ראשון?" אתה תמיד יכול לענות. מסכים, זה תמיד נחמדכשאתה מבין מה אנשים אפילו מפחדים להבין.
בעיות למידה עיקריות
הבעיה העיקרית בהבנת נושא זה היא המיומנות הגרועה של שילוב והבדלה של פונקציות. אם אתה גרוע בלקיחת נגזרות ואינטגרלים, אז כנראה שכדאי לך ללמוד יותר, לשלוט בשיטות שונות של אינטגרציה ובידול, ורק אז להתחיל ללמוד את החומר שתואר במאמר.
יש אנשים שמופתעים כשהם מגלים שניתן להעביר dx, כי קודם לכן (בבית הספר) נאמר שהשבר dy/dx אינו ניתן לחלוקה. כאן אתה צריך לקרוא את הספרות על הנגזרת ולהבין שזהו היחס בין הכמויות האינפיניטסימליות שניתן לתמרן בעת פתרון משוואות.
רבים לא מבינים מיד שהפתרון של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון הוא לעתים קרובות פונקציה או אינטגרל שאי אפשר לקחת, והאשליה זו גורמת להם הרבה צרות.
מה עוד אפשר ללמוד כדי להבין טוב יותר?
מומלץ להתחיל להתעמקות נוספת בעולם החשבון הדיפרנציאלי עם ספרי לימוד מיוחדים, למשל, בחשבון לתלמידי התמחויות שאינן מתמטיות. לאחר מכן תוכל לעבור לספרות מיוחדת יותר.
יש לומר שבנוסף למשוואות דיפרנציאליות יש גם משוואות אינטגרליות, כך שתמיד יהיה לך למה לשאוף ולמה ללמוד.
מסקנה
אנחנו מקווים שאחרי הקריאהמאמר זה נתן לך מושג מהן משוואות דיפרנציאליות וכיצד לפתור אותן בצורה נכונה.
בכל מקרה, מתמטיקה איכשהו תועיל לנו בחיים. זה מפתח היגיון ותשומת לב, שבלעדיו כל אדם הוא כמו בלי ידיים.
