המנסרה המחומשת בפתרון בעיות בגיאומטריה נפוצה הרבה פחות ממנסרות כמו משולש, מרובע או משושה. עם זאת, כדאי לסקור את המאפיינים הבסיסיים של צורה זו, כמו גם ללמוד כיצד לצייר אותה.
מהי פריזמה מחומשת?
זוהי דמות תלת מימדית, שבסיסיה מחומשים, והצדדים מקבילים. אם כל אחת מהמקביליות הללו מאונך לבסיסים המקבילים, אז פריזמה כזו נקראת מלבנית. המשטח הרוחבי של פריזמה מחומשת מלבנית מורכב מחמישה מלבנים. יתרה מכך, הצלע הסמוכה לבסיס של כל אחד מהם שווה לאורך המתאים של הצלע של המחומש.
אם המחומש רגיל, כלומר כל צלעותיו וזוויותיו שוות זו לזו, אזי מנסרה מלבנית כזו נקראת רגילה. בהמשך המאמר נשקול את המאפיינים של דמות מסוימת זו.
אלמנטים פריזמה
עבורה, כמו לכל פריזמה,האלמנטים הבאים אופייניים:
- פנים או צדדים הם חלקים של מישורים שקושרים דמות בחלל;
- tops - נקודות חיתוך של שלוש צדדים;
- צלעות - קטעים של ההצטלבות של שני הצדדים של הדמות.
המספרים של כל הרכיבים בעלי השם קשורים זה לזה על ידי השוויון הבא:
מספר הקצוות=מספר הקודקודים + מספר הפנים - 2
ביטוי זה נקרא נוסחת אוילר עבור הפולידרון.
במנסרה מחומשת, מספר הצלעות הוא שבע (שני בסיסים + חמישה מלבנים). מספר הפסגות הוא 10 (חמש לכל בסיס). מספר הקצוות במקרה זה יהיה:
מספר צלעות=10 + 7 - 2=15
עשרה קצוות שייכים לבסיסי המנסרה, וחמישה קצוות נוצרים על ידי מלבנים.
איך לצייר פריזמה מחומשת?
התשובה לשאלה זו תלויה במשימה הספציפית. אם יש צורך לצייר פריזמה שרירותית, אז יש לצייר כל מחומש. לאחר מכן, צייר חמישה מקטעים מקבילים באורך שווה מכל קודקוד של המחומש. לאחר מכן, חבר את הקצוות העליונים של המקטעים. התוצאה היא פריזמה שרירותית מחומשת.
אם יש צורך לצייר פריזמה רגילה, אז כל המורכבות של המשימה מסתכמת בהשגת מחומש רגיל. ישנן מספר דרכים לצייר מצולע זה. כאן נשקול רק שתי דרכים.
הדרך הראשונה היא לצייר עיגול עם מצפן. ואז נמשך קוטר שרירותיעיגול וחמש זוויות נספרים ממנו באמצעות מד זווית ב-72o(572o=360o). כאשר סופרים כל זווית, נוצר חריץ על המעגל. כדי לבנות מלבן, נותר לחבר את החריצים המסומנים עם קטעים ישרים.
השיטה השנייה כוללת שימוש רק במצפן ובסרגל. זה קצת מורכב בהשוואה לקודם. להלן סרטון המסביר בפירוט כל שלב בבנייה זו.
שים לב שקל לצייר מחומש אם מחברים את קצוות הכוכב. אם אין צורך לצייר מחומש רגיל בדיוק, אז אתה יכול להשתמש בשיטת הכוכבים המצוירים ביד.
ברגע שהפנטגון מצויר, צייר חמישה קטעים מקבילים זהים מכל אחד מהקודקודים שלו וחבר את הקודקודים שלהם. התוצאה היא פריזמה מחומשת.
אזור צורה
עכשיו שקול כיצד למצוא את השטח של פריזמה מחומשת. האיור שלהלן מציג את התפתחותו. ניתן לראות שהשטח הנדרש נוצר על ידי שני מחומשים זהים וחמישה מלבנים שווים זה לזה.
השטח של כל פני הדמות מבוטא בנוסחה:
S=2So+ 5Sp
כאן המדדים o ו-p מתכוונים לבסיס ולמלבן, בהתאמה. נסמן את אורך צלע המחומש כ-a, ואת גובה הדמות כ-h. ואז עבור המלבן נכתוב:
Sp=ah
כדי לחשב את השטח של מחומש,השתמש בנוסחה האוניברסלית:
S=n/4a2ctg(pi/n)
כאשר n הוא מספר הצלעות של המצולע. החלפת n=5, נקבל:
S5=5/4a2ctg(pi/5) ≈ 1, 72a 2
הדיוק של השוויון המתקבל הוא 3 מקומות עשרוניים, וזה מספיק כדי לפתור כל בעיה.
עכשיו נותר למצוא את סכום השטחים שהתקבלו של הבסיס ומשטח הצד. יש לנו:
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a h
יש לזכור שהנוסחה המתקבלת תקפה רק עבור פריזמה מלבנית. במקרה של דמות אלכסונית, שטח פני השטח הצדדיים שלה נמצא על סמך הידע של היקף החתך, שעליו להיות מאונך לכל המקביליות.
נפח הדמות
הנוסחה לחישוב נפח של פריזמה מחומשת אינה שונה מביטוי דומה לכל פריזמה או גליל אחרים. נפח הדמות שווה למכפלת גובהה ושטח הבסיס:
V=Soh
אם המנסרה המדוברת היא מלבנית, אז הגובה שלה הוא אורך הקצה שנוצר על ידי המלבנים. השטח של מחומש רגיל חושב לעיל בדיוק גבוה. החלף ערך זה בנוסחה לנפח וקבל את הביטוי הדרוש למנסרה מחומשת רגילה:
V=1, 72a2h
לפיכך, חישוב נפח ושטח פניםפריזמה מחומשת רגילה אפשרית אם צד הבסיס וגובה הדמות ידועים.
