דמויות גיאומטריות בחלל הן מושא לימוד הסטריאומטריה, שאת הקורס עוברים תלמידי בית ספר בתיכון. מאמר זה מוקדש לפוליהדרון מושלם כמו פריזמה. הבה נבחן ביתר פירוט את המאפיינים של פריזמה וניתן את הנוסחאות המשמשות לתיאורן כמותית.
מהי פריזמה?
כולם מדמיינים איך נראית קופסה או קובייה. שתי הדמויות הן פריזמות. עם זאת, מעמד הפריזמות הוא הרבה יותר מגוון. בגיאומטריה ניתנת לדמות זו ההגדרה הבאה: פריזמה היא כל פוליידרון במרחב, שנוצר משתי צלעות מצולעות מקבילות וזהות ומספר מקביליות. פנים מקבילות זהות של דמות נקראים הבסיסים שלה (עליון ותחתון). מקביליות הן פני הצד של הדמות, המחברים את צידי הבסיס זה עם זה.
אם הבסיס מיוצג על ידי n-גון, כאשר n הוא מספר שלם, אז הדמות תהיה מורכבת מ-2+n פרצופים, 2n קודקודים ו-3n קצוות. פרצופים וקצוות מתייחסיםאחד משני סוגים: או שהם שייכים למשטח הרוחבי, או לבסיסים. לגבי הקודקודים, כולם שווים ושייכים לבסיסי המנסרה.
סוגי דמויות של הכיתה הנלמדת
למידת המאפיינים של פריזמה, עליך לרשום את הסוגים האפשריים של הדמות הזו:
- קמור וקעור. ההבדל ביניהם טמון בצורת הבסיס המצולע. אם הוא קעור, אז זה יהיה גם דמות תלת מימדית, ולהיפך.
- ישר ואלכסוני. עבור פריזמה ישרה, פני הצד הם מלבנים או ריבועים. בדמות אלכסונית, פני הצד הם מקביליות מסוג כללי או מעוינים.
- לא נכון ונכון. כדי שהדמות נלמדת תהיה נכונה, עליה להיות ישרה ובעלת בסיס נכון. דוגמה לאחרונים הם דמויות שטוחות כגון משולש שווה צלעות או ריבוע.
שם הפריזמה נוצר תוך התחשבות בסיווג הרשום. לדוגמה, המקבילה או הקוביה ישרת הזווית שהוזכרו לעיל נקראת פריזמה מרובעת רגילה. מנסרות רגילות, בשל הסימטריה הגבוהה שלהן, נוחות ללימוד. התכונות שלהם באות לידי ביטוי בצורה של נוסחאות מתמטיות ספציפיות.
אזור פריזמה
כאשר בוחנים תכונה כזו של פריזמה כשטח שלה, הם מתכוונים לשטח הכולל של כל פניה. הכי קל לדמיין את הערך הזה אם תפרש את הדמות, כלומר תרחיב את כל הפנים למישור אחד. למטה עלהאיור מציג דוגמה של סוויפ של שתי מנסרות.
עבור פריזמה שרירותית, ניתן לכתוב את הנוסחה עבור שטח הסוויפה שלה בצורה כללית באופן הבא:
S=2So+ bPsr.
בוא נסביר את הסימון. הערך So הוא השטח של בסיס אחד, b הוא אורך קצה הצד, Psr הוא היקף החתך, אשר מאונך למקביליות הצלעות של הדמות.
הנוסחה הכתובה משמשת לעתים קרובות כדי לקבוע את האזורים של מנסרות משופעות. במקרה של פריזמה רגילה, הביטוי עבור S יקבל צורה ספציפית:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
האיבר הראשון בביטוי מייצג את שטח שני הבסיסים של פריזמה רגילה, האיבר השני הוא שטח מלבני הצלע. כאן a הוא אורך הצלע של n-גון רגיל. שימו לב שאורך קצה הצד b עבור פריזמה רגילה הוא גם גובהו h, ולכן בנוסחה ניתן להחליף את b ב-h.
איך לחשב נפח של דמות?
Prism הוא פוליידרון פשוט יחסית עם סימטריה גבוהה. לכן, כדי לקבוע את נפחו, יש נוסחה פשוטה מאוד. זה נראה כך:
V=Soh.
חישוב שטח הבסיס והגובה יכול להיות מסובך כשמסתכלים על צורה אלכסונית לא סדירה. בעיה זו נפתרת באמצעות ניתוח גיאומטרי רציף הכולל מידע על הזוויות הדו-הדרליות בין מקביליות הצלעות והבסיס.
אם המנסרה נכונה אזהנוסחה של V הופכת קונקרטית למדי:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
כפי שאתה יכול לראות, השטח S ונפח V עבור פריזמה רגילה נקבעים באופן ייחודי אם שניים מהפרמטרים הליניאריים שלה ידועים.
מנסרה רגילה משולשת
בואו נסיים את המאמר בהתחשב בתכונות של פריזמה משולשת רגילה. הוא נוצר על ידי חמישה פרצופים, שלושה מהם מלבנים (ריבועים), ושניים הם משולשים שווי צלעות. למנסרה שישה קודקודים ותשעה קצוות. עבור פריזמה זו, נוסחאות הנפח ושטח הפנים נכתבות להלן:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
מלבד המאפיינים האלה, כדאי גם לתת נוסחה לאפוטם של בסיס הדמות, שהוא הגובה ha של משולש שווה צלעות:
ha=√3/2a.
צלעות המנסרה הן מלבנים זהים. אורכי האלכסונים ד הם:
d=√(a2+ h2).
לידע על התכונות הגיאומטריות של פריזמה משולשת יש עניין לא רק תיאורטי אלא גם מעשי. העובדה היא שהדמות הזו, העשויה מזכוכית אופטית, משמשת לחקר ספקטרום הקרינה של גופים.
עובר דרך פריזמת זכוכית, האור מתפרק למספר צבעים מרכיבים כתוצאה מתופעת הפיזור, מה שיוצר תנאים לחקר ההרכב הספקטרלי של שטף אלקטרומגנטי.
