בתיכון, לאחר שלמדו את תכונות הדמויות במישור, הם עוברים לבחינה של עצמים גיאומטריים מרחביים כמו מנסרות, כדורים, פירמידות, גלילים וקרוטים. במאמר זה, ניתן את התיאור השלם ביותר של פריזמה משולשת ישרה.
מהי פריזמה משולשת?
בוא נתחיל את המאמר בהגדרת הדמות, עליה נדון בהמשך. מנסרה מנקודת המבט של הגיאומטריה היא דמות במרחב שנוצרה על ידי שני n-gons זהים הממוקמים במישורים מקבילים, שאותן זוויות מחוברות בקטעי ישרים. מקטעים אלה נקראים צלעות לרוחב. יחד עם צלעות הבסיס, הם יוצרים משטח צד, המיוצג בדרך כלל על ידי מקביליות.
שני n-gons הם הבסיסים של הדמות. אם קצוות הצד מאונכים אליהם, אז הם מדברים על פריזמה ישרה. בהתאם לכך, אם מספר הצלעות n של המצולע בבסיסים הוא שלוש, אז נתון כזה נקרא פריזמה משולשת.
המנסרה הישרה המשולשת מוצגת למעלה באיור. נתון זה נקרא גם רגיל, שכן הבסיסים שלו הם משולשים שווי צלעות. אורך קצה הצד של הדמות, המצוין באות h באיור, נקרא גובהו.
האיור מראה שמנסרה בעלת בסיס משולש נוצרת מחמישה פרצופים, שניים מהם משולשים שווי צלעות, ושלושה מלבנים זהים. בנוסף לפנים, למנסרה שישה קודקודים בבסיסים ותשעה קצוות. המספרים של היסודות הנחשבים קשורים זה לזה על ידי משפט אוילר:
מספר הקצוות=מספר הקודקודים + מספר הצלעות - 2.
שטח של פריזמה משולשת ישרה
גילינו לעיל שהדמות המדוברת נוצרת מחמישה פנים משני סוגים (שני משולשים, שלושה מלבנים). כל הפרצופים הללו יוצרים את כל פני השטח של המנסרה. השטח הכולל שלהם הוא שטח הדמות. להלן פריזמה משולשת שנפתחת, אותה ניתן להשיג על ידי חיתוך תחילה של שני בסיסים מהדמות, ולאחר מכן חיתוך לאורך קצה אחד ופתיחת משטח הצד.
בוא ניתן נוסחאות לקביעת שטח הפנים של הסוויפ הזה. נתחיל עם הבסיסים של פריזמה משולשת ישרה. מכיוון שהם מייצגים משולשים, ניתן למצוא את השטח S3 של כל אחד מהם באופן הבא:
S3=1/2aha.
כאן a היא הצלע של המשולש, ha הוא הגובה שהורד מקודקוד המשולש לצד זה.
אם המשולש שווה צלעות (רגיל), אז הנוסחה של S3 תלויה רק בפרמטר אחד א. זה נראה כמו:
S3=√3/4a2.
ניתן לקבל את הביטוי הזה על ידי התחשבות במשולש ישר זווית שנוצר על ידי קטעים a, a/2, ha.
שטח הבסיסים So עבור נתון רגיל הוא פי שניים מהערך של S3:
So=2S3=√3/2a2.
באשר לשטח הפנים הרוחבי Sb, לא קשה לחשב אותו. כדי לעשות זאת, מספיק להכפיל בשלוש את שטח מלבן העצם שנוצר על ידי הצלעות a ו-h. הנוסחה המתאימה היא:
Sb=3ah.
לפיכך, שטחה של פריזמה רגילה עם בסיס משולש נמצא בנוסחה הבאה:
S=So+ Sb=√3/2a2+ 3 ah.
אם המנסרה ישרה אך לא סדירה, אז כדי לחשב את שטחה, יש להוסיף בנפרד את שטחי המלבנים שאינם שווים זה לזה.
קביעת נפח של דמות
הנפח של מנסרה מובן כמרחב המוגבל על ידי הצדדים שלה (הפנים). חישוב נפח של פריזמה משולשת ישרה הוא הרבה יותר קל מאשר חישוב שטח הפנים שלה. כדי לעשות זאת, זה מספיק כדי לדעת את שטח הבסיס ואת גובה הדמות. מכיוון שגובה h של דמות ישרה הוא אורך הקצה הרוחבי שלה, וכיצד לחשב את שטח הבסיס, נתנו בקודםנקודה, אז נשאר להכפיל את שני הערכים הללו זה לזה כדי להשיג את הנפח הרצוי. הנוסחה עבורו הופכת:
V=S3h.
שימו לב שהמכפלה של שטח של בסיס אחד והגובה ייתן נפח לא רק של פריזמה ישרה, אלא גם של דמות אלכסונית ואפילו של גליל.
פתרון בעיות
מנסרות משולשות זכוכית משמשות באופטיקה כדי לחקור את הספקטרום של קרינה אלקטרומגנטית עקב תופעת הפיזור. ידוע כי למנסרת זכוכית רגילה אורך צד בסיס של 10 ס"מ ואורך קצה של 15 ס"מ. מהו שטח פני הזכוכית שלה, ואיזה נפח היא מכילה?
כדי לקבוע את השטח, נשתמש בנוסחה הכתובה במאמר. יש לנו:
S=√3/2a2+ 3ah=√3/2102 + 3 1015=536.6 ס מ2.
כדי לקבוע את עוצמת הקול V, אנו משתמשים גם בנוסחה לעיל:
V=S3h=√3/4a2h=√3/410 215=649.5 ס מ3.
למרות שהקצוות של המנסרה הם באורך 10 ס"מ ו-15 ס"מ, נפח הדמות הוא 0.65 ליטר בלבד (קובייה עם דופן 10 ס"מ היא בעלת נפח של 1 ליטר).
