כל תלמיד תיכון יודע על דמויות מרחביות כמו כדור, גליל, חרוט, פירמידה ומנסרה. ממאמר זה תלמדו על מהי פריזמה משולשת ובאילו תכונות היא מאופיינת.
איזה נתון נשקול במאמר?
המנסרה המשולשת היא הנציגה הפשוטה ביותר של מחלקת המנסרות, שיש לה פחות צלעות, קודקודים וקצוות מכל דמות מרחבית דומה אחרת. פריזמה זו נוצרת על ידי שני משולשים, שיכולים להיות להם צורה שרירותית, אך חייבים בהכרח להיות שווים זה לזה ולהיות במישורים מקבילים במרחב, ושלוש מקביליות, שאינן שוות זו לזו במקרה הכללי. למען הבהירות, הדמות המתוארת מוצגת להלן.
איך אני יכול להשיג פריזמה משולשת? זה מאוד פשוט: כדאי לקחת משולש ולהעביר אותו לוקטור כלשהו במרחב. לאחר מכן חבר את הקודקודים הזהים של שני המשולשים עם קטעים. אז אנחנו מקבלים את המסגרת של הדמות. אם כעת אנו מדמיינים שהמסגרת הזו מגבילה את הצדדים המוצקים, אז נקבלדמות תלת מימדית מתוארת.
מאילו אלמנטים מורכבת הפריזמה הנחקרת?
פריזמה משולשת היא רב-הדרון, כלומר, היא נוצרת מכמה פנים או צלעות מצטלבות. צוין למעלה שיש לו חמש צלעות כאלה (שתיים משולשות ושלושה מרובעות). צלעות משולשות נקראות בסיסים, בעוד מקביליות הן פני צד.
כמו לכל פולידרון, למנסרה הנחקרת יש קודקודים. שלא כמו פירמידה, הקודקודים של כל פריזמה שווים. לדמות המשולשת יש שישה מהם. כולם שייכים לשני הבסיסים. שני קצוות בסיס וקצה צד אחד מצטלבים בכל קודקוד.
אם נוסיף את מספר הקודקודים למספר הצלעות של הדמות, ואז נחסר את המספר 2 מהערך המתקבל, נקבל את התשובה לשאלה כמה קצוות יש לפריזמה הנידונה. יש תשעה מהם: שישה מגבילים את הבסיסים, והשלושה הנותרים מפרידים את המקביליות זו מזו.
סוגי צורות
התיאור המפורט מספיק של פריזמה משולשת שניתן בפסקאות הקודמות מתאים למספר סוגים של דמויות. שקול את הסיווג שלהם.
הפריזמה הנלמדת יכולה להיות נוטה וישרה. ההבדל ביניהם טמון בסוג פני הצד. בפריזמה ישרה הם מלבנים, ובנוטה הם מקבילים כלליים. מוצגות להלן שתי מנסרות עם בסיסים משולשים, אחת ישרה ואחת אלכסונית.
בניגוד למנסרה נוטה, למנסרה ישרה יש את כל הזוויות הדו-הדרליות בין הבסיסים לביןהצדדים הם 90°. מה המשמעות של העובדה האחרונה? שגובהה של פריזמה משולשת, כלומר המרחק בין בסיסיה, באיור ישר שווה לאורך כל קצה צד. עבור דמות אלכסונית, הגובה תמיד קטן מאורך כל אחד מהקצוות הצדדיים שלו.
פריזמה עם בסיס משולש יכולה להיות לא סדירה ונכונה. אם הבסיסים שלו הם משולשים עם צלעות שוות, והדמות עצמה ישרה, אז זה נקרא רגיל. למנסרה רגילה יש סימטריה גבוהה למדי, כולל מישורי השתקפות וצירי סיבוב. עבור פריזמה רגילה, נוסחאות לחישוב הנפח שלה ושטח הפנים של הפנים יינתנו להלן. אז, לפי הסדר.
שטח של פריזמה משולשת
לפני שנמשיך להשיג את הנוסחה המתאימה, בואו נפרוש את הפריזמה הנכונה.
ברור שניתן לחשב את שטחה של דמות על ידי הוספת שלושה שטחים של מלבנים זהים ושני שטחים של משולשים שווים עם אותן צלעות. נסמן את גובה המנסרה באות ח, ואת צלע הבסיס המשולש שלה - באות א'. ואז עבור שטח המשולש S3 יש לנו:
S3=√3/4a2
ביטוי זה מתקבל על ידי הכפלת גובה המשולש בבסיס שלו ולאחר מכן חלוקת התוצאה ב-2.
עבור שטח המלבן S4נקבל:
S4=ah
הוספת השטחים של כל הצדדים, נקבל את שטח הפנים הכולל של הדמות:
S=2 S3+ 3S4=√3/2a2+ 3ah
כאן האיבר הראשון משקף את שטח הבסיסים, והשני הוא שטח המשטח הרוחבי של המנסרה המשולשת.
זכור שנוסחה זו תקפה רק עבור נתון רגיל. במקרה של פריזמה משופעת לא נכונה, חישוב השטח צריך להיעשות בשלבים: תחילה קבע את שטח הבסיסים, ולאחר מכן - משטח הצד. האחרון יהיה שווה למכפלת קצה הצד והיקף החתך בניצב לפניות הצד.
נפח הדמות
ניתן לחשב את הנפח של פריזמה משולשת באמצעות הנוסחה המשותפת לכל הדמויות במחלקה זו. זה נראה כמו:
V=So h
במקרה של פריזמה משולשת רגילה, נוסחה זו תלבש את הצורה הספציפית הבאה:
V=√3/4a2 h
אם המנסרה לא סדירה, אבל ישרה, אז במקום שטח הבסיס, יש להחליף את השטח המתאים במשולש. אם המנסרה נוטה, אז בנוסף לקביעת שטח הבסיס, יש לחשב גם את גובהה. ככלל, נעשה שימוש בנוסחאות טריגונומטריות לכך, אם ידועות הזוויות הדו-הדרליות בין הצלעות והבסיסים.
