מכניקת הקוונטים עוסקת באובייקטים של עולם המיקרו, עם המרכיבים היסודיים ביותר של החומר. התנהגותם נקבעת על פי חוקי הסתברות, המתבטאים בצורה של דואליות גופנית-גלית – דואליזם. בנוסף, תפקיד חשוב בתיאורם ממלא כמות כה בסיסית כמו הפעולה הפיזית. היחידה הטבעית שקובעת את סולם הקוונטיזציה עבור כמות זו היא הקבוע של פלאנק. היא גם שולטת באחד העקרונות הפיזיקליים הבסיסיים - יחס אי הוודאות. אי השוויון הפשוט לכאורה הזה משקף את הגבול הטבעי שאליו הטבע יכול לענות על חלק מהשאלות שלנו בו זמנית.
דרישות מוקדמות לגזירת קשר אי הוודאות
הפרשנות ההסתברותית לאופי הגל של חלקיקים, שהוכנסה למדע על ידי מ. יליד 1926, ציינה בבירור שרעיונות קלאסיים לגבי תנועה אינם ניתנים ליישום על תופעות בסולם של אטומים ואלקטרונים. במקביל, כמה היבטים של המטריצההמכניקה, שנוצרה על ידי וו. הייזנברג כשיטה לתיאור מתמטי של עצמים קוונטיים, דרשה את הבהרת המשמעות הפיזית שלהם. לכן, שיטה זו פועלת עם קבוצות נפרדות של ניתנים לצפייה, המיוצגים כטבלאות מיוחדות - מטריצות, ולכפל שלהן יש תכונה של אי-קומוטטיביות, במילים אחרות, A×B ≠ B×A.
כפי שמיושם על עולם המיקרו-חלקיקים, ניתן לפרש זאת כך: התוצאה של פעולות למדידת פרמטרים A ו-B תלויה בסדר ביצוען. בנוסף, אי שוויון פירושו שלא ניתן למדוד את הפרמטרים הללו בו זמנית. הייזנברג חקר את שאלת הקשר בין מדידה למצב של אובייקט מיקרו, והקים ניסוי מחשבתי כדי להשיג את גבול הדיוק של מדידה בו-זמנית של פרמטרים של חלקיקים כמו מומנטום ומיקום (משתנים כאלה נקראים מצומדים קנוניים).
ניסוח עקרון אי הוודאות
התוצאה של מאמציו של הייזנברג הייתה המסקנה ב-1927 של המגבלה הבאה על הישימות של מושגים קלאסיים על אובייקטים קוונטיים: עם דיוק הולך וגובר בקביעת הקואורדינטה, הדיוק שבו ניתן לדעת את התנע פוחת. גם ההיפך נכון. מבחינה מתמטית, מגבלה זו התבטאה ביחס אי הוודאות: Δx∙Δp ≈ h. כאן x הוא הקואורדינטה, p הוא התנע, ו-h הוא הקבוע של פלאנק. הייזנברג חידד מאוחר יותר את הקשר: Δx∙Δp ≧ h. המכפלה של "דלתות" - מתפשטות בערך הקואורדינטה והתנע - בעל מימד הפעולה לא יכול להיות פחות מה"קטן ביותרחלק" מכמות זו הוא הקבוע של פלאנק. ככלל, קבוע פלאנק המופחת ħ=h/2π משמש בנוסחאות.
היחס לעיל הוא כללי. יש לקחת בחשבון שהוא תקף רק עבור כל זוג קואורדינטות - רכיב (השלכה) של הדחף על הציר המתאים:
- Δx∙Δpx ≧ ħ.
- Δy∙Δpy ≧ ħ.
- Δz∙Δpz ≧ ħ.
ניתן לבטא בקצרה את יחס אי-הוודאות של הייזנברג באופן הבא: ככל שאזור המרחב שבו חלקיק נע קטן יותר, כך התנע שלו יותר לא בטוח.
ניסוי מחשבתי עם מיקרוסקופ גמא
כהמחשה לעיקרון שגילה, הייזנברג חשב על מכשיר דמיוני המאפשר למדוד את המיקום והמהירות (ודרכו את התנע) של אלקטרון בצורה מדויקת באופן שרירותי על ידי פיזור פוטון עליו: אחרי הכל, כל מדידה מצטמצמת לפעולה של אינטראקציה בין חלקיקים, בלי זה חלקיק שלא ניתן לזיהוי כלל.
כדי להגביר את הדיוק במדידת הקואורדינטות יש צורך בפוטון באורך גל קצר יותר, מה שאומר שיהיה לו תנע גדול שחלק ניכר ממנו יועבר לאלקטרון בזמן הפיזור. לא ניתן לקבוע חלק זה, שכן הפוטון מפוזר על החלקיק בצורה אקראית (למרות שהתנע הוא כמות וקטורית). אם הפוטון מאופיין במומנטום קטן, אז יש לו אורך גל גדול, לכן, קואורדינטת האלקטרון תימדד בשגיאה משמעותית.
הטבע הבסיסי של קשר אי הוודאות
במכניקת הקוונטים, הקבוע של פלאנק, כפי שצוין לעיל, ממלא תפקיד מיוחד. הקבוע הבסיסי הזה כלול כמעט בכל המשוואות של ענף הפיזיקה הזה. נוכחותו בנוסחת יחס אי הוודאות של הייזנברג, ראשית, מצביעה על המידה שבה אי הוודאות הללו באות לידי ביטוי, ושנית, היא מצביעה על כך שתופעה זו אינה קשורה לחוסר השלמות של אמצעי ושיטות המדידה, אלא עם תכונות החומר. עצמו והוא אוניברסלי.
זה אולי נראה שבמציאות לחלקיק עדיין יש ערכים ספציפיים של מהירות וקואורדינטות בו-זמנית, ופעולת המדידה מציגה הפרעה בלתי ניתנת להסרה בהקמתם. עם זאת, זה לא. תנועתו של חלקיק קוונטי קשורה להתפשטות של גל, שהמשרעת שלו (ליתר דיוק, ריבוע הערך המוחלט שלו) מציינת את ההסתברות להיות בנקודה מסוימת. המשמעות היא שלאובייקט קוונטי אין מסלול במובן הקלאסי. אנו יכולים לומר שיש לו קבוצה של מסלולים, וכולם, לפי ההסתברויות שלהם, מתבצעים בזמן תנועה (הדבר מאושר, למשל, על ידי ניסויים על הפרעות גלי אלקטרונים).
היעדר מסלול קלאסי שווה ערך להיעדר מצבים כאלה בחלקיק שבו התנע והקואורדינטות יתאפיינו בערכים מדויקים בו-זמנית. אכן, אין משמעות לדבר על "האורך".גל בנקודה מסוימת", ומכיוון שהתנע קשור לאורך הגל על ידי היחס של דה ברולי p=h/λ, לחלקיק עם תנע מסוים אין קואורדינטה מסוימת. בהתאם לכך, אם למיקרו-אובייקט יש קואורדינטה מדויקת, המומנטום הופך לבלתי מוגדר לחלוטין.
אי ודאות ופעולה בעולמות המיקרו והמאקרו
הפעולה הפיזית של חלקיק מתבטאת במונחים של השלב של גל ההסתברות עם מקדם ħ=h/2π. כתוצאה מכך, הפעולה, כשלב השולט על משרעת הגל, קשורה לכל המסלולים האפשריים, ואי הוודאות ההסתברותית ביחס לפרמטרים היוצרים את המסלול בלתי ניתנת להסרה ביסודה.
הפעולה פרופורציונלית למיקום ולמומנטום. ערך זה יכול להיות מיוצג גם כהבדל בין האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית, המשולבת לאורך זמן. בקיצור, פעולה היא מדד לאופן שבו משתנה התנועה של חלקיק לאורך זמן, והיא תלויה, בין השאר, במסה שלו.
אם הפעולה חורגת משמעותית מהקבוע של פלאנק, הסביר ביותר הוא המסלול שנקבע על ידי משרעת הסתברות כזו, התואמת לפעולה הקטנה ביותר. יחס אי הוודאות של הייזנברג מבטא בקצרה את אותו הדבר אם הוא משתנה כדי לקחת בחשבון שהתנע שווה למכפלת המסה m ומהירות v: Δx∙Δvx ≧ ħ/m. מיד מתברר שעם עלייה במסה של האובייקט, אי הוודאות הופכות פחות ופחות, וכאשר מתארים את התנועה של גופים מקרוסקופיים, המכניקה הקלאסית ישימה למדי.
אנרגיה וזמן
עקרון אי הוודאות תקף גם עבור כמויות מצומדות אחרות המייצגות את המאפיינים הדינמיים של חלקיקים. אלה, במיוחד, הם אנרגיה וזמן. הם גם, כפי שכבר צוין, קובעים את הפעולה.
ליחס אי הוודאות אנרגיה-זמן יש את הצורה ΔE∙Δt ≧ ħ והוא מראה כיצד הדיוק של ערך אנרגיית החלקיקים ΔE ומרווח הזמן Δt שעליו יש להעריך אנרגיה זו קשורים. לפיכך, לא ניתן לטעון שלחלקיק יכולה להיות אנרגיה מוגדרת בקפדנות ברגע מדויק כלשהו בזמן. ככל שהתקופה Δt נשקול קצרה יותר, כך אנרגיית החלקיקים תתנוד יותר.
אלקטרון באטום
ניתן להעריך, באמצעות יחס אי הוודאות, את רוחב רמת האנרגיה, למשל, של אטום מימן, כלומר את התפשטות ערכי אנרגיית האלקטרונים בו. במצב הקרקע, כאשר האלקטרון נמצא ברמה הנמוכה ביותר, האטום יכול להתקיים ללא הגבלה, במילים אחרות, Δt→∞ ובהתאם, ΔE מקבל ערך אפס. במצב הנרגש, האטום נשאר רק למשך זמן סופי בסדר גודל של 10-8 s, כלומר יש לו אי ודאות אנרגטית ΔE=ħ/Δt ≈ (1, 05 ∙10- 34 J∙s)/(10-8 s) ≈ 10-26 J, שזה בערך 7∙10 -8 eV. התוצאה של זה היא חוסר הוודאות של התדירות של הפוטון הנפלט Δν=ΔE/ħ, שמתבטא בנוכחות של כמה קווים ספקטרלייםטשטוש ומה שנקרא רוחב טבעי.
נוכל גם על ידי חישובים פשוטים, תוך שימוש ביחס אי הוודאות, להעריך הן את רוחב הפיזור של הקואורדינטות של אלקטרון העובר דרך חור במכשול, והן את הממדים המינימליים של אטום, ואת הערך של רמת האנרגיה הנמוכה ביותר שלו. היחס שנגזר על ידי W. Heisenberg עוזר בפתרון בעיות רבות.
הבנה פילוסופית של עקרון אי הוודאות
הנוכחות של אי ודאויות מתפרשת לעתים קרובות בטעות כעדות לכאוס מוחלט ששורר לכאורה במיקרוקוסמוס. אבל היחס שלהם אומר לנו משהו אחר לגמרי: אם תמיד מדברים בזוגות, נראה שהם מטילים הגבלה טבעית לחלוטין זה על זה.
היחס, המקשר הדדי בין אי הוודאות של פרמטרים דינמיים, הוא תוצאה טבעית של הטבע הכפול - גל גופי - של החומר. לכן, הוא שימש בסיס לרעיון שהעלה נ' בוהר במטרה לפרש את הפורמליזם של מכניקת הקוונטים - עקרון ההשלמה. אנו יכולים להשיג את כל המידע על התנהגותם של עצמים קוונטיים רק באמצעות מכשירים מקרוסקופיים, ואנו נאלצים בהכרח להשתמש במנגנון המושגי שפותח במסגרת הפיזיקה הקלאסית. לפיכך, יש לנו הזדמנות לחקור את תכונות הגל של אובייקטים כאלה, או את הגופיים, אך לעולם לא את שניהם בו-זמנית. מכוח נסיבות אלו, עלינו לראותם לא כסותרים, אלא כמשלימים זה את זה. נוסחה פשוטה ליחס אי הוודאותמצביע לנו על הגבולות שלידם יש צורך לכלול את עקרון ההשלמה לתיאור הולם של המציאות המכאנית הקוונטית.
