רצף המספרים והגבול שלו היו אחת הבעיות החשובות ביותר במתמטיקה לאורך ההיסטוריה של המדע הזה. ידע מתעדכן כל הזמן, ניסוח משפטים חדשים והוכחות - כל זה מאפשר לנו לשקול מושג זה מעמדות חדשות ומזוויות שונות.
רצף מספרים, בהתאם לאחת ההגדרות הנפוצות ביותר, הוא פונקציה מתמטית, שבסיסה הוא קבוצת המספרים הטבעיים המסודרים לפי תבנית כזו או אחרת.
פונקציה זו יכולה להיחשב מוגדרת אם החוק ידוע, לפיו ניתן להגדיר מספר ממשי בבירור לכל מספר טבעי.
ישנן מספר אפשרויות ליצירת רצפי מספרים.
ראשית, ניתן להגדיר את הפונקציה הזו במה שנקרא "מפורש", כאשר יש נוסחה מסוימת לפיה ניתן לקבוע כל אחד מהאיברים שלהעל ידי החלפה פשוטה של המספר הסידורי ברצף הנתון.
השיטה השנייה נקראת "חוזרת". מהותו נעוצה בעובדה שניתנים כמה איברים ראשונים של הרצף המספרי, וכן נוסחה רקורסיבית מיוחדת, שבעזרתה, בהכרת האיבר הקודם, ניתן למצוא את הבא.
לבסוף, הדרך הכללית ביותר לציון רצפים היא מה שמכונה "השיטה האנליטית", כאשר ללא קושי רב ניתן לא רק לזהות מונח זה או אחר תחת מספר סידורי מסוים, אלא גם, לדעת מספר מונחים עוקבים, מגיעים לנוסחה הכללית של פונקציות נתונות.
רצף המספרים יכול להיות פוחת או עולה. במקרה הראשון, כל מונח עוקב קטן מהקודם, ובמקרה השני, להיפך, הוא גדול יותר.
בהתחשב בנושא זה, אי אפשר שלא לגעת בנושא של גבולות הרצפים. הגבול של רצף הוא מספר כזה כאשר עבור כל ערך, כולל ערך אינפיניטסימלי, יש מספר סידורי שאחריו הסטייה של איברים עוקבים ברצף מנקודה נתונה בצורה מספרית הופכת פחותה מהערך שצוין במהלך היווצרות של פונקציה זו.
המושג של הגבול של רצף מספרי משמש באופן פעיל בעת ביצוע חישובים אינטגרלים ודיפרנציאליים מסוימים.
לרצפים מתמטיים יש סט שלם של די מענייניםנכסים.
ראשית, כל רצף מספרי הוא דוגמה לפונקציה מתמטית, לכן ניתן ליישם בבטחה את המאפיינים האופייניים לפונקציות על רצפים. הדוגמה הבולטת ביותר למאפיינים כאלה היא ההוראה על סדרות אריתמטיות הולכות וקטנות, המאוחדות על ידי מושג משותף אחד - רצפים מונוטוניים.
שנית, ישנה קבוצה די גדולה של רצפים שלא ניתן לסווג כעלייה או יורדת - אלו הם רצפים תקופתיים. במתמטיקה הן נחשבות לאותן פונקציות שבהן יש מה שנקרא אורך תקופה, כלומר מרגע מסוים (n), השוויון הבא מתחיל לפעול y =yn+T, כאשר T יהיה אורך התקופה.
