כל תלמיד שמע על קונוס עגול ומדמיין איך נראית הדמות התלת מימדית הזו. מאמר זה מגדיר את התפתחותו של חרוט, מספק נוסחאות המתארות את מאפייניו ומתאר כיצד לבנות אותו באמצעות מצפן, מד זווית ומידון.
חרוט עגול בגיאומטריה
בוא ניתן הגדרה גיאומטרית של הדמות הזו. חרוט עגול הוא משטח שנוצר על ידי קטעי קו ישרים המחברים בין כל נקודות של מעגל מסוים עם נקודה אחת במרחב. אסור שהנקודה הבודדת הזו תהיה שייכת למישור שבו נמצא המעגל. אם ניקח עיגול במקום עיגול, אז השיטה הזו מובילה גם לקונוס.
המעגל נקרא בסיס הדמות, היקפו הוא הכיוון. הקטעים המחברים את הנקודה עם הכיוון נקראים מחוללים או מחוללים, והנקודה שבה הם מצטלבים היא קודקוד החרוט.
חרוט עגול יכול להיות ישר ואלכסוני. שני הנתונים מוצגים באיור למטה.
ההבדל ביניהם הוא כזה: אם הניצב מראש החרוט נופל בדיוק למרכז המעגל, אז החרוט יהיה ישר. עבורו, הניצב, הנקרא גובה הדמות, הוא חלק מהציר שלו. במקרה של חרוט אלכסוני, הגובה והציר יוצרים זווית חדה.
בשל הפשטות והסימטריה של הדמות, נשקול עוד את המאפיינים של חרוט ימני בלבד עם בסיס עגול.
קבלת צורה באמצעות סיבוב
לפני שתמשיך לשקול את התפתחות פני השטח של חרוט, כדאי לדעת כיצד ניתן להשיג דמות מרחבית זו באמצעות סיבוב.
נניח שיש לנו משולש ישר זווית עם הצלעות a, b, c. השתיים הראשונות מהן הן רגליים, c הוא התחתון. נניח משולש על רגל א' ונתחיל לסובב אותו סביב רגל ב'. התחתון c יתאר אז משטח חרוטי. טכניקת חרוט פשוטה זו מוצגת בתרשים שלהלן.
ברור, רגל a תהיה הרדיוס של בסיס הדמות, רגל b תהיה גובהה, והתחתון c תואם את הגנרטריקס של חרוט ימני עגול.
צפייה בפיתוח הקונוס
כפי שאפשר לנחש, החרוט נוצר משני סוגים של משטחים. אחד מהם הוא עיגול בסיס שטוח. נניח שיש לו רדיוס r. המשטח השני הוא לרוחב ונקרא חרוטי. תן למחולל שלו להיות שווה ל-g.
אם יש לנו חרוט נייר, אז נוכל לקחת מספריים ולחתוך ממנו את הבסיס. לאחר מכן, יש לחתוך את המשטח החרוטלאורך כל גנרטריקס ולפרוס אותו במטוס. בדרך זו, השגנו פיתוח של פני השטח הרוחביים של החרוט. שני המשטחים, יחד עם החרוט המקורי, מוצגים בתרשים שלהלן.
מעגל הבסיס מתואר בצד ימין למטה. המשטח הקוני הפרוש מוצג במרכז. מסתבר שהיא מתאימה לאיזשהו מגזר מעגלי של המעגל, שרדיוס שלו שווה לאורכה של הגנרטריקס g.
זווית ושטח
כעת נקבל נוסחאות שבאמצעות הפרמטרים הידועים g ו-r, מאפשרות לנו לחשב את השטח והזווית של החרוט.
כמובן שלקשת המגזר המעגלי המוצג למעלה באיור יש אורך השווה להיקף הבסיס, כלומר:
l=2pir.
אם כל המעגל ברדיוס g היה בנוי, אז אורכו יהיה:
L=2pig.
מכיוון שהאורך L מתאים ל-2pi רדיאנים, אזי ניתן לקבוע את הזווית עליה נשענת הקשת l מהפרופורציה המתאימה:
L==>2pi;
l==> φ.
אז הזווית הלא ידועה φ תהיה שווה ל:
φ=2pil/L.
תחליף את הביטויים לאורכים l ו-L, נגיע לנוסחה לזווית ההתפתחות של המשטח הרוחבי של החרוט:
φ=2pir/g.
הזווית φ כאן מבוטאת ברדיאנים.
כדי לקבוע את השטח Sbשל מגזר מעגלי, נשתמש בערך המצוי של φ. אנחנו עושים פרופורציה אחת נוספת, רק עבור האזורים. יש לנו:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
מהיכן לבטא Sb, ולאחר מכן להחליף את הערך של הזווית φ. אנחנו מקבלים:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
לשטח של משטח חרוטי, השגנו נוסחה קומפקטית למדי. הערך של Sb שווה למכפלה של שלושה גורמים: pi, רדיוס הדמות והגנרטריקס שלה.
אז השטח של כל פני הדמות של הדמות יהיה שווה לסכום של Sb ו-So (עגול שטח בסיס). אנו מקבלים את הנוסחה:
S=Sb+ So=pir(g + r).
בניית סוויפ של קונוס על נייר
כדי להשלים משימה זו תזדקק לפיסת נייר, עיפרון, מד זווית, סרגל ומצפן.
קודם כל, בואו נצייר משולש ישר זווית עם צלעות 3 ס"מ, 4 ס"מ ו-5 ס"מ. סיבוב שלו סביב הרגל של 3 ס"מ ייתן את החרוט הרצוי. הדמות כוללת r=3 ס"מ, h=4 ס"מ, g=5 ס"מ.
בניית סוויפ תתחיל בציור עיגול עם רדיוס r עם מצפן. אורכו יהיה שווה ל-6pi ס"מ. כעת לידו נצייר עיגול נוסף, אך עם רדיוס g. אורכו יתאים ל-10פי ס"מ. עכשיו אנחנו צריכים לחתוך מגזר עגול מעיגול גדול. הזווית שלו φ היא:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
עכשיו מניחים את הזווית הזו בצד עם מד זווית על עיגול עם רדיוס g ומציירים שני רדיוסים שיגבילו את המגזר המעגלי.
אזלפיכך, בנינו פיתוח של החרוט עם הפרמטרים שצוינו של רדיוס, גובה וגנרטריקס.
דוגמה לפתרון בעיה גיאומטרית
נתון קונוס ישר עגול. ידוע שזווית ההטפה הצדדית שלו היא 120o. יש צורך למצוא את הרדיוס והגנרטריקס של דמות זו, אם ידוע שגובה h של החרוט הוא 10 ס מ.
המשימה לא קשה אם נזכור שחרוט עגול הוא דמות סיבוב של משולש ישר זווית. מהמשולש הזה יש קשר חד משמעי בין גובה, רדיוס וגנרטריקס. בוא נכתוב את הנוסחה המתאימה:
g2=h2+ r2.
הביטוי השני לשימוש בעת פתרון הוא הנוסחה לזווית φ:
φ=2pir/g.
לכן, יש לנו שתי משוואות המתייחסות לשתי כמויות לא ידועות (r ו-g).
הבע את g מהנוסחה השנייה והחלף את התוצאה בראשונה, נקבל:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
זווית φ=120o ברדיאנים הוא 2pi/3. נחליף את הערך הזה, נקבל את הנוסחאות הסופיות עבור r ו-g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
נותר להחליף את ערך הגובה ולקבל את התשובה לשאלת הבעיה: r ≈ 3.54 ס"מ, g ≈ 10.61 ס"מ.
