אם התנועה הליניארית של גופים מתוארת במכניקה הקלאסית באמצעות חוקי ניוטון, אזי המאפיינים של תנועת מערכות מכניות לאורך מסלולים מעגליים מחושבים באמצעות ביטוי מיוחד, הנקרא משוואת המומנטים. על איזה רגעים אנחנו מדברים ומה המשמעות של המשוואה הזו? שאלות אלו ואחרות נחשפות במאמר.
רגע של כוח
כולם מודעים היטב לכוח הניוטוני, שפועל על הגוף, מוביל להענקת האצה לו. כאשר כוח כזה מופעל על עצם המקובע על ציר סיבוב מסוים, אז מאפיין זה נקרא בדרך כלל מומנט הכוח. ניתן לכתוב את משוואת הכוח באופן הבא:
M¯=L¯F¯
התמונה שמסבירה את הביטוי הזה מוצגת למטה.
כאן ניתן לראות שהכוח F¯ מופנה לווקטור L¯ בזווית Φ. ההנחה היא שהווקטור L¯ עצמו מכוון מציר הסיבוב (מסומן על ידי החץ) לנקודת היישוםF¯.
הנוסחה שלעיל היא מכפלה של שני וקטורים, כך ש- M¯ הוא גם כיווני. לאן יופנה רגע הכוח M¯? ניתן לקבוע זאת על ידי כלל יד ימין (ארבע אצבעות מכוונות לאורך המסלול מקצה הווקטור L¯ לסוף F¯, והאגודל השמאלי מציין את הכיוון של M¯).
באיור שלמעלה, הביטוי של רגע הכוח בצורה סקלרית יקבל את הצורה:
M=LFsin(Φ)
אם תסתכלו היטב באיור, תוכלו לראות ש-Lsin(Φ)=d, אז יש לנו את הנוסחה:
M=dF
הערך של d הוא מאפיין חשוב בחישוב מומנט הכוח, מכיוון שהוא משקף את האפקטיביות של ה-F המופעל על המערכת. ערך זה נקרא מנוף הכוח.
המשמעות הפיזית של M טמונה ביכולת של הכוח לסובב את המערכת. כל אחד יכול להרגיש את היכולת הזו אם הם פותחים את הדלת בידית, דוחפים אותה ליד הצירים, או אם הם מנסים לשחרר את האום עם מפתח קצר וארוך.
שיווי המשקל של המערכת
המושג של מומנט כוח שימושי מאוד כאשר בוחנים את שיווי המשקל של מערכת המופעלת על ידי כוחות מרובים ויש לה ציר או נקודת סיבוב. במקרים כאלה, החל את הנוסחה:
∑iMi¯=0
כלומר, המערכת תהיה בשיווי משקל אם סכום כל מומנטי הכוחות המופעלים עליה הוא אפס. שימו לב שבנוסחה זו יש סימן וקטור על הרגע, כלומר, כשפותרים, אין לשכוח לקחת בחשבון את הסימן של זהכמיות. הכלל המקובל הוא שהכוח הפועל המסובב את המערכת נגד כיוון השעון יוצר Mi¯.
חיובי
דוגמה בולטת לבעיות מסוג זה הן בעיות באיזון המנופים של ארכימדס.
רגע של מומנטום
זהו מאפיין חשוב נוסף של תנועה מעגלית. בפיזיקה הוא מתואר כתוצר של המומנטום והמנוף. משוואת המומנטום נראית כך:
T¯=r¯p¯
כאן p¯ הוא וקטור המומנטום, r¯ הוא הווקטור המחבר את נקודת החומר המסתובבת עם הציר.
האיור למטה ממחיש את הביטוי הזה.
כאן ω היא המהירות הזוויתית, שתופיע בהמשך משוואת הרגע. שים לב שכיוון הווקטור T¯ נמצא לפי אותו כלל כמו M¯. באיור שלמעלה, T¯ בכיוון יעלה בקנה אחד עם וקטור המהירות הזוויתית ω¯.
המשמעות הפיזית של T¯ זהה למאפיינים של p¯ במקרה של תנועה ליניארית, כלומר תנע זוויתי מתאר את כמות התנועה הסיבובית (אנרגיה קינטית מאוחסנת).
רגע של אינרציה
המאפיין החשוב השלישי, שבלעדיו אי אפשר לנסח את משוואת התנועה של עצם מסתובב, הוא מומנט האינרציה. הוא מופיע בפיזיקה כתוצאה מתמורות מתמטיות של הנוסחה לתנע הזוויתי של נקודה חומרית. בוא נראה לך איך זה נעשה.
בוא נדמיין את הערךT¯ כדלקמן:
T¯=r¯mv¯, כאשר p¯=mv¯
באמצעות הקשר בין מהירויות זוויתיות וליניאריות, נוכל לשכתב את הביטוי הזה באופן הבא:
T¯=r¯mr¯ω¯, כאשר v¯=r¯ω¯
כתוב את הביטוי האחרון באופן הבא:
T¯=r2mω¯
הערך r2m הוא מומנט האינרציה I עבור נקודת מסה m המבצעת תנועה מעגלית סביב ציר במרחק r ממנה. מקרה מיוחד זה מאפשר לנו להציג את המשוואה הכללית של מומנט האינרציה עבור גוף בעל צורה שרירותית:
I=∫m (r2dm)
I היא כמות תוספת, שמשמעותה טמונה באינרציה של המערכת המסתובבת. ככל שה-I גדול יותר, כך קשה יותר לסובב את הגוף, ונדרש מאמץ ניכר כדי לעצור אותו.
משוואת רגע
שקלנו שלוש כמויות, ששמה מתחיל במילה "רגע". זה נעשה בכוונה, מכיוון שכולם מחוברים בביטוי אחד, הנקרא משוואת 3 הרגעים. בוא נוציא את זה.
שקול את הביטוי לתנע הזוויתי T¯:
T¯=Iω¯
מצא כיצד הערך של T¯ משתנה בזמן, יש לנו:
dT¯/dt=Idω¯/dt
בהינתן שהנגזרת של המהירות הזוויתית שווה לזו של המהירות הליניארית חלקי r, ובהרחבת הערך של I, נגיע לביטוי:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, כאשר a¯=dv¯/dt הוא תאוצה לינארית.
שים לב שהמכפלה של מסה ותאוצה אינו אלא הכוח החיצוני הפועל F¯. כתוצאה מכך, אנו מקבלים:
dT¯/dt=rF¯=M¯
הגענו למסקנה מעניינת: השינוי במומנטום הזוויתי שווה לרגע של הכוח החיצוני הפועל. ביטוי זה כתוב בדרך כלל בצורה מעט שונה:
M¯=Iα¯, כאשר α¯=dω¯/dt - תאוצה זוויתית.
השוויון הזה נקרא משוואת הרגעים. זה מאפשר לך לחשב כל מאפיין של גוף מסתובב, לדעת את הפרמטרים של המערכת ואת גודל ההשפעה החיצונית עליה.
חוק שימור T¯
המסקנה שהתקבלה בפסקה הקודמת מצביעה על כך שאם מומנט הכוחות החיצוני שווה לאפס, אז התנע הזוויתי לא ישתנה. במקרה זה, נכתוב את הביטוי:
T¯=const. או I1ω1¯=I2ω2 ¯
נוסחה זו נקראת חוק השימור של T¯. כלומר, כל שינוי בתוך המערכת אינו משנה את התנע הזוויתי הכולל.
עובדה זו משמשת מחליקים אומנותיים ובלרינות במהלך ההופעות שלהם. הוא משמש גם אם יש צורך לסובב לוויין מלאכותי שנע בחלל סביב צירו.
