פריזמה היא רב-הדרון או פולידרון, הנלמד בקורס בית-הספר של גיאומטריה מוצקה. אחד המאפיינים החשובים של הפולידרון הזה הוא נפחו. הבה נבחן במאמר כיצד ניתן לחשב את הערך הזה, וניתן גם את הנוסחאות לנפח המנסרות - מרובע רגיל ומשושה.
פריזמה בסטריאומטריה
נתון זה מובנה כפולידרון, המורכב משני מצולעים זהים הממוקמים במישורים מקבילים, וממספר מקביליות. עבור סוגים מסוימים של מנסרות, מקביליות יכולות לייצג מרובעים או ריבועים מלבניים. להלן דוגמה של מה שנקרא פריזמה מחומשת.
כדי לבנות דמות כמו באיור למעלה, צריך לקחת מחומש ולבצע העברה מקבילה שלו למרחק מסוים במרחב. חיבור הצדדים של שני מחומשים באמצעות מקביליות, נקבל את הפריזמה הרצויה.
כל פריזמה מורכבת מפרצופים, קודקודים וקצוות. קודקודי המנסרהשלא כמו הפירמידה, הם שווים, כל אחד מהם מתייחס לאחד משני הבסיסים. הפנים והקצוות הם משני סוגים: אלה השייכים לבסיסים ואלה השייכים לצדדים.
פריזמות הן מכמה סוגים (נכונות, אלכסוניות, קמורות, ישרות, קעורות). הבה נבחן בהמשך המאמר באיזו נוסחה מחושב נפח הפריזמה, תוך התחשבות בצורת הדמות.
ביטוי כללי לקביעת עוצמת הקול של פריזמה
ללא קשר לאיזה סוג שייכת הדמות הנחקרת, בין אם היא ישרה או אלכסונית, סדירה או לא סדירה, ישנו ביטוי אוניברסלי המאפשר לקבוע את עוצמת הקול שלה. נפחה של דמות מרחבית הוא שטח החלל התחום בין פניה. הנוסחה הכללית לנפח של פריזמה היא:
V=So × h.
כאן So מייצג את שטח הבסיס. צריך לזכור שאנחנו מדברים על בסיס אחד, ולא על שניים. ערך h הוא הגובה. גובה הדמות הנחקרת מובן כמרחק בין הבסיסים הזהים שלה. אם המרחק הזה עולה בקנה אחד עם אורכי הצלעות הצדדיות, אז מדברים על פריזמה ישרה. באיור ישר, כל הצדדים הם מלבנים.
לכן, אם פריזמה היא אלכסונית ויש לה מצולע בסיס לא סדיר, אז חישוב הנפח שלה הופך מסובך יותר. אם הנתון ישר, חישוב הנפח מצטמצם רק לקביעת השטח של הבסיס So.
קביעת עוצמת הקול של דמות רגילה
רגיל היא כל פריזמה שהיא ישרה ובעלת בסיס מצולע עם צלעות וזוויות שוות זו לזו. לדוגמה, מצולעים רגילים כאלה הם ריבוע ומשולש שווה צלעות. יחד עם זאת, מעוין אינו דמות קבועה, שכן לא כל הזוויות שלו שוות.
הנוסחה לנפח של פריזמה רגילה נובעת באופן חד משמעי מהביטוי הכללי ל-V, שנכתב בפסקה הקודמת של המאמר. לפני שתמשיך לכתוב את הנוסחה המתאימה, יש צורך לקבוע את השטח של הבסיס הנכון. מבלי להיכנס לפרטים מתמטיים, אנו מציגים את הנוסחה לקביעת השטח המצוין. הוא אוניברסלי עבור כל n-gon רגיל ויש לו את הצורה הבאה:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
כפי שניתן לראות מהביטוי, השטח Sn הוא פונקציה של שני פרמטרים. מספר n שלם יכול לקחת ערכים מ-3 עד אינסוף. הערך a הוא אורך הצלע של ה-n-gon.
כדי לחשב נפח של דמות, יש צורך רק להכפיל את השטח S בגובה h או באורך של קצה הצד b (h=b). כתוצאה מכך, אנו מגיעים לנוסחת העבודה הבאה:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
שימו לב שכדי לקבוע את נפחה של מנסרה מסוג שרירותי, עליכם לדעת מספר כמויות (אורכי צלעות הבסיס, גובה, זוויות דו-הדרליות של הדמות), אך כדי לחשב את הערך V של פריזמה רגילה, עלינו לדעת רק שני פרמטרים ליניאריים, לדוגמה, a ו-h.
נפח של פריזמה רגילה מרובעת
פריזמה מרובעת נקראת מקבילית. אם כל פניו שווים והם ריבועים, אז דמות כזו תהיה קובייה. כל תלמיד יודע שנפחה של מקבילית או קוביה מלבנית נקבע על ידי הכפלת שלושת הצלעות השונות שלה (אורך, גובה ורוחב). עובדה זו נובעת מביטוי הכרך הכללי הכתוב לדמות רגילה:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
כאן הקוטנגנט של 45° שווה ל-1. שימו לב שהשוויון בין הגובה h ואורך הצלע של הבסיס a מוביל אוטומטית לנוסחה לנפח של קובייה.
נפח של פריזמה רגילה משושה
כעת יישם את התיאוריה שלעיל כדי לקבוע את נפחה של דמות בעלת בסיס משושה. כדי לעשות זאת, אתה רק צריך להחליף את הערך n=6 בנוסחה:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
ניתן לקבל את הביטוי הכתוב באופן עצמאי מבלי להשתמש בנוסחה האוניברסלית עבור S. כדי לעשות זאת, אתה צריך לחלק את המשושה הרגיל לשישה משולשים שווי צלעות. הצד של כל אחד מהם יהיה שווה ל-a. השטח של משולש אחד מתאים ל:
S3=√3/4 × a2.
כפל ערך זה במספר המשולשים (6) ובגובה, נקבל את הנוסחה לעיל עבור הנפח.
