לעתים קרובות בחיים אנו עומדים בפני הצורך להעריך את הסיכויים להתרחשות אירוע. האם כדאי לקנות כרטיס לוטו או לא, מה יהיה מינו של הילד השלישי במשפחה, האם מחר יהיה מזג האוויר בהיר או שירד שוב גשם - יש אינספור דוגמאות כאלה. במקרה הפשוט ביותר, עליך לחלק את מספר התוצאות הטובות במספר הכולל של האירועים. אם יש 10 כרטיסים זוכים בהגרלה, ויש 50 בסך הכל, אז הסיכוי לקבל פרס הוא 10/50=0.2, כלומר 20 מול 100. אבל מה אם יש כמה אירועים, והם קרובים קָשׁוּר? במקרה זה, לא נתעניין עוד בהסתברות פשוטה אלא מותנית. מהו ערך זה וכיצד ניתן לחשב אותו - על כך נדון במאמר שלנו.
קונספט
הסתברות מותנית היא הסיכוי להתרחשות אירוע מסוים, בהינתן שאירוע קשור אחר כבר התרחש. שקול דוגמה פשוטה עםלזרוק מטבע. אם עדיין לא הייתה תיקו, אז הסיכוי לקבל ראשים או זנבות יהיה זהה. אבל אם חמש פעמים ברציפות המטבע היה מונח עם הסמל למעלה, אז הסכימו לצפות ל-6, 7, ואף יותר מכך, החזרה העשירית על תוצאה כזו תהיה לא הגיונית. עם כל כותרת חוזרת, הסיכוי להופעת זנבות גדל ובמוקדם או במאוחר הוא ייפול.
נוסחת הסתברות מותנית
בואו נבין כיצד ערך זה מחושב. הבה נסמן את האירוע הראשון כ-B, ואת השני כ-A. אם הסיכויים להתרחשות של B שונים מאפס, אזי השוויון הבא יהיה תקף:
P (A|B)=P (AB) / P (B), כאשר:
- P (A|B) - הסתברות מותנית לתוצאה A;
- P (AB) - ההסתברות להתרחשות משותפת של אירועים A ו-B;
- P (B) – הסתברות לאירוע B.
להפוך מעט את היחס הזה, נקבל P (AB)=P (A|B)P (B). ואם ניישם את שיטת האינדוקציה, אז נוכל לגזור את נוסחת המוצר ולהשתמש בה למספר שרירותי של אירועים:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
תרגול
כדי להקל להבין כיצד מחושבת ההסתברות המותנית של אירוע, הבה נסתכל על כמה דוגמאות. נניח שיש אגרטל המכיל 8 שוקולדים ו-7 מנטה. הם באותו גודל ואקראי.שניים מהם נשלפים ברצף. מה הסיכוי ששניהם יהיו שוקולד? הבה נציג תווים. תנו לתוצאה A לומר שהממתק הראשון הוא שוקולד, התוצאה ב' היא ממתק השוקולד השני. לאחר מכן תקבל את הדברים הבאים:
P (A)=P (B)=8 / 15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
בואו נשקול עוד מקרה אחד. נניח שיש משפחה של שני ילדים ואנחנו יודעים שלפחות ילד אחד הוא ילדה.
מהי ההסתברות המותנית שלהורים האלה אין עדיין בנים? כמו במקרה הקודם, אנחנו מתחילים עם סימון. תן P(B) להיות ההסתברות שיש לפחות ילדה אחת במשפחה, P(A|B) תהיה ההסתברות שהילד השני הוא גם ילדה, P(AB) יהיה הסיכוי שיש שתי בנות במשפחה המשפחה. עכשיו בואו נעשה את החישובים. בסך הכל יכולים להיות 4 שילובים שונים של מין ילדים, ובמקרה זה רק במקרה אחד (כשיש שני בנים במשפחה) לא תהיה בת בין הילדים. לכן, ההסתברות P (B)=3/4, ו-P (AB)=1/4. לאחר מכן, בעקבות הנוסחה שלנו, נקבל:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
ניתן לפרש את התוצאה כך: אם לא היינו יודעים את מינו של אחד הילדים, אז הסיכוי לשתי בנות היה 25 מול 100. אבל מכיוון שאנו יודעים שילד אחד הוא ילדה, ההסתברות שמשפחת הבנים לא, עולה לשליש.
