הנושא "התקדמות אריתמטית" נלמד בקורס הכללי של אלגברה בבתי ספר בכיתה ט'. נושא זה חשוב להמשך מחקר מעמיק של המתמטיקה של סדרות מספרים. במאמר זה נערוך היכרות עם ההתקדמות החשבונית, השוני שלה, וכן עם משימות טיפוסיות שתלמידי בית ספר עשויים להתמודד עמן.
המושג של התקדמות אלגברית
התקדמות מספרית היא רצף של מספרים שבו ניתן לקבל כל אלמנט עוקב מהקודם, אם מיישמים חוק מתמטי כלשהו. ישנם שני סוגים פשוטים של התקדמות: גיאומטרית ואריתמטית, הנקראת גם אלגברית. בואו נתעכב על זה ביתר פירוט.
בואו נדמיין מספר רציונלי כלשהו, נסמן אותו בסמל a1, כאשר האינדקס מציין את המספר הסידורי שלו בסדרה הנבדקת. בוא נוסיף מספר אחר ל1 , נסמן אותו ד. ואז השנירכיב של סדרה יכול להשתקף באופן הבא: a2=a1+d. כעת הוסף שוב d, נקבל: a3=a2+d. בהמשך הפעולה המתמטית הזו, אתה יכול לקבל סדרה שלמה של מספרים, שתיקרא התקדמות אריתמטית.
כפי שניתן להבין מהאמור לעיל, כדי למצוא את האלמנט ה-n של רצף זה, עליך להשתמש בנוסחה: a =a1+ (n -1)ד. ואכן, החלפת n=1 בביטוי, נקבל a1=a1, אם n=2, אז הנוסחה מרמזת: a2=a1 + 1ד, וכן הלאה.
לדוגמה, אם ההפרש של התקדמות אריתמטית הוא 5, ו-a1=1, זה אומר שסדרת המספרים מהסוג הנדון נראית כך: 1, 6, 11, 16, 21, … כפי שאתה יכול לראות, כל אחד מהמונחים שלו גדול מהקודם ב-5.
נוסחאות להפרש של התקדמות אריתמטית
מההגדרה לעיל של סדרת המספרים הנחשבת, נובע שכדי לקבוע אותה, אתה צריך לדעת שני מספרים: a1 ו-d. זה האחרון נקרא ההבדל של התקדמות זו. זה קובע באופן ייחודי את ההתנהגות של הסדרה כולה. ואכן, אם d חיובי, אז סדרת המספרים תגדל כל הזמן, להיפך, במקרה של d שלילי, המספרים בסדרה יגדלו רק מודולו, בעוד ערכם המוחלט יקטן עם גידול במספר n.
מה ההבדל בהתקדמות האריתמטית? שקול את שתי הנוסחאות העיקריות המשמשות לחישוב ערך זה:
- d=an+1-a , נוסחה זו נובעת ישירות מההגדרה של סדרת המספרים המדוברת.
- d=(-a1+a)/(n-1), ביטוי זה מתקבל על ידי הבעת d מהנוסחה שניתנה בפסקה הקודמת של המאמר. שימו לב שביטוי זה הופך לבלתי מוגדר (0/0) אם n=1. זאת בשל העובדה שיש צורך להכיר לפחות 2 אלמנטים של הסדרה כדי לקבוע את ההבדל בינה.
שתי הנוסחאות הבסיסיות האלה משמשות כדי לפתור כל בעיה של מציאת הפרש ההתקדמות. עם זאת, יש נוסחה נוספת שאתה גם צריך לדעת עליה.
סכום הרכיבים הראשונים
הנוסחה שניתן להשתמש בה כדי לקבוע את הסכום של כל מספר של איברים בהתקדמות אלגברית, על פי עדויות היסטוריות, הושגה לראשונה על ידי "נסיך" המתמטיקה של המאה ה-18, קרל גאוס. מדען גרמני, בעודו ילד בכיתות היסודיות של בית ספר בכפר, שם לב שכדי להוסיף מספרים טבעיים בסדרה מ-1 עד 100, עליך לסכם תחילה את היסוד הראשון והאחרון (הערך המתקבל יהיה שווה לסכום היסודות הלפני אחרון והשני, הלפני אחרון והשלישי וכן הלאה), ואז יש להכפיל את המספר הזה במספר הסכומים הללו, כלומר ב-50.
ניתן להכליל את הנוסחה המשקפת את התוצאה המוצהרת בדוגמה מסוימת למקרה שרירותי. זה ייראה כך: S =n/2(a +a1). שימו לב שכדי למצוא את הערך שצוין, אין צורך בידע על ההבדל d,אם שני מונחים של ההתקדמות ידועים (a ו-1).
דוגמה 1. קבע את ההבדל, תוך הכרת שני האיברים של הסדרה a1 ו-
בוא נראה כיצד ליישם את הנוסחאות שהוזכרו לעיל במאמר. בוא ניתן דוגמה פשוטה: ההבדל של ההתקדמות האריתמטית אינו ידוע, יש צורך לקבוע למה הוא יהיה שווה אם a13=-5, 6 ו-a1 =-12, 1.
מכיוון שאנו יודעים את הערכים של שני אלמנטים ברצף המספרי, ואחד מהם הוא המספר הראשון, נוכל להשתמש בנוסחה מס' 2 כדי לקבוע את ההפרש d. יש לנו: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. בביטוי, השתמשנו בערך n=13, מכיוון שהאיבר עם המספר הסידורי הזה הוא ידוע.
ההבדל שנוצר מצביע על כך שההתקדמות הולכת וגדלה, למרות העובדה שלאלמנטים הניתנים במצב הבעיה יש ערך שלילי. ניתן לראות ש13>a1, אם כי |a13|<|a 1 |.
דוגמה 2. חברים חיוביים בהתקדמות בדוגמה 1
בוא נשתמש בתוצאה שהתקבלה בדוגמה הקודמת כדי לפתור בעיה חדשה. הוא מנוסח באופן הבא: מאיזה מספר רצף מתחילים רכיבי ההתקדמות בדוגמה 1 לקבל ערכים חיוביים?
כפי שמוצג, ההתקדמות שבה a1=-12, 1 ו-d=0. 54167 הולכת וגדלה, אז ממספר כלשהו המספרים יתחילו לקבל רק חיובי ערכים. כדי לקבוע את המספר הזה n, יש לפתור אי שוויון פשוט, כלומרכתוב מתמטית באופן הבא: a >0 או, באמצעות הנוסחה המתאימה, נכתוב מחדש את אי השוויון: a1 + (n-1)d>0. יש צורך למצוא את ה-n הלא ידוע, בואו נבטא אותו: n>-1a1/d + 1. כעת נותר להחליף את הערכים הידועים של ההפרש והאיבר הראשון של הרצף. נקבל: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 או n>23, 338. מכיוון ש-n יכול לקחת רק ערכים שלמים, נובע מהאי-שוויון שנוצר שכל איברים בסדרה שיעשו יש מספר גדול מ-23 יהיה חיובי.
בדוק את תשובתך באמצעות הנוסחה לעיל כדי לחשב את הרכיבים ה-23 וה-24 של התקדמות אריתמטית זו. יש לנו: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (מספר שלילי); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (ערך חיובי). לפיכך, התוצאה המתקבלת נכונה: החל מ-n=24, כל האיברים בסדרת המספרים יהיו גדולים מאפס.
דוגמה 3. כמה יומנים יתאימו?
בואו נותנים בעיה אחת מוזרה: במהלך רישום, הוחלט לערום בולי עץ מנוסרים זה על גבי זה, כפי שמוצג באיור למטה. כמה יומנים ניתן לערום בדרך זו, בידיעה ש-10 שורות יתאימו בסך הכל?
בדרך זו של ערימת יומנים, אתה יכול לשים לב לדבר אחד מעניין: כל שורה שלאחר מכן תכיל יומן אחד פחות מהקודמת, כלומר יש התקדמות אלגברית שההבדל שלה הוא d=1. בהנחה שמספר היומנים בכל שורה הוא חבר בהתקדמות זו,וגם בהתחשב בכך ש1=1 (רק יומן אחד יתאים בחלק העליון), נמצא את המספר a10. יש לנו: a10=1 + 1(10-1)=10. כלומר, בשורה ה-10, המונחת על הקרקע, יהיו 10 בולי עץ.
ניתן לקבל את הסכום הכולל של המבנה ה"פירמידלי" הזה באמצעות נוסחת גאוס. אנחנו מקבלים: S10=10/2(10+1)=55 יומנים.
