לדמויות המהפכה בגיאומטריה ניתנת תשומת לב מיוחדת כאשר לומדים את המאפיינים והתכונות שלהן. אחד מהם הוא קונוס קטום. מאמר זה נועד לענות על השאלה באיזו נוסחה ניתן להשתמש כדי לחשב את שטחו של חרוט קטום.
על איזה נתון אנחנו מדברים?
לפני תיאור השטח של חרוט קטום, יש צורך לתת הגדרה גיאומטרית מדויקת של דמות זו. קטום הוא חרוט כזה, המתקבל כתוצאה מחיתוך קודקוד של חרוט רגיל על ידי מטוס. בהגדרה זו יש להדגיש מספר ניואנסים. ראשית, מישור החתך חייב להיות מקביל למישור בסיס החרוט. שנית, הדמות המקורית חייבת להיות חרוט עגול. כמובן, זה יכול להיות דמות אליפטית, היפרבולית ואחרת, אבל במאמר זה נגביל את עצמנו לשקול רק חרוט עגול. האחרון מוצג באיור למטה.
קל לנחש שאפשר להשיג אותו לא רק בעזרת חתך ליד מטוס, אלא גם בעזרת פעולת סיבוב. לכדי לעשות זאת, אתה צריך לקחת טרפז בעל שתי זוויות ישרות ולסובב אותו סביב הצלע שצמודה לזוויות ישרות אלו. כתוצאה מכך, הבסיסים של הטרפז יהפכו לרדיוסים של הבסיסים של החרוט הקטום, והצד המשופע לרוחב של הטרפז יתאר את פני השטח החרוטיים.
פיתוח צורות
בהתחשב בשטח הפנים של חרוט קטום, כדאי להביא את הפיתוח שלו, כלומר את התמונה של פני השטח של דמות תלת מימדית על מישור. להלן סריקה של הדמות הנחקרת עם פרמטרים שרירותיים.
ניתן לראות ששטח הדמות נוצר משלושה מרכיבים: שני עיגולים וקטע עגול קטום אחד. ברור, כדי לקבוע את השטח הנדרש, יש צורך להוסיף את השטחים של כל הדמויות הנקובות. בוא נפתור את הבעיה הזו בפסקה הבאה.
אזור חרוט קטום
כדי להקל על הבנת הנימוקים הבאים, אנו מציגים את הסימון הבא:
- r1, r2 - רדיוסים של הבסיס הגדול והקטן בהתאמה;
- h - גובה דמות;
- g - גנרטריקס של החרוט (אורך הצד האלכסוני של הטרפז).
קל לחשב את שטח הבסיסים של חרוט קטום. בוא נכתוב את הביטויים המתאימים:
So1=pir12;
So2=pir22.
השטח של חלק מקטע מעגלי קצת יותר קשה לקבוע. אם נדמיין שמרכז המגזר העגול הזה לא נחתך, אזי הרדיוס שלו יהיה שווה לערך G. לא קשה לחשב אותו אם ניקח בחשבון את התואםמשולשי חרוט ישר זווית דומים. זה שווה ל:
G=r1g/(r1-r2).
אז השטח של כל המגזר המעגלי, הבנוי על רדיוס G ואשר מסתמך על קשת באורך 2pir1, יהיה שווה ל:
S1=pir1G=pir1 2g/(r1-r2).
עכשיו בואו נקבע את השטח של המגזר המעגלי הקטן S2, אותו יהיה צורך להפחית מ-S1. זה שווה ל:
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r2) - g)=pir22g/(r1-r2 ).
השטח של המשטח הקטום החרוטי Sbשווה להפרש בין S1 ל-S 2. אנחנו מקבלים:
Sb=S1- S2=pir 12g/(r1-r2) - pi r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2).
למרות כמה חישובים מסורבלים, קיבלנו ביטוי פשוט למדי עבור שטח משטח הצד של הדמות.
הוספת שטחי הבסיסים ו-Sb, אנו מגיעים לנוסחה של שטח של חרוט קטום:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22 + pig (r1+r2).
לכן, כדי לחשב את הערך של S של הדמות הנחקרת, עליך לדעת את שלושת הפרמטרים הליניאריים שלו.
בעיה לדוגמה
קונוס ישר עגולעם רדיוס של 10 ס"מ וגובה של 15 ס"מ נחתך על ידי מטוס כך שהתקבל חרוט קטום רגיל. בידיעה שהמרחק בין הבסיסים של הדמות הקטומה הוא 10 ס"מ, יש צורך למצוא את שטח הפנים שלה.
כדי להשתמש בנוסחה עבור שטח של חרוט קטום, עליך למצוא שלושה מהפרמטרים שלו. אחד שאנחנו מכירים:
r1=10 ס מ.
קל לחשב את שני האחרים אם ניקח בחשבון משולשים ישרי זווית דומים, המתקבלים כתוצאה מהחתך הצירי של החרוט. בהתחשב במצב הבעיה, אנו מקבלים:
r2=105/15=3.33 ס מ.
לבסוף, המדריך של החרוט הקטום g יהיה:
g=√(102+ (r1-r2) 2)=12.02 ס מ.
עכשיו אתה יכול להחליף את הערכים r1, r2 ו-g בנוסחה של S:
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+r2)=851.93 cm 2.
שטח הפנים הרצוי של הדמות הוא כ-852 ס מ2.
