סטריאומטריה היא קטע של גיאומטריה החוקר דמויות שאינן שוכבות באותו מישור. אחד ממושאי המחקר של סטריאומטריה הם פריזמות. במאמר ניתן הגדרה של פריזמה מבחינה גיאומטרית, וכן נפרט בקצרה את המאפיינים האופייניים לה.
דמות גיאומטרית
ההגדרה של פריזמה בגיאומטריה היא כדלקמן: זוהי דמות מרחבית המורכבת משני n-גונים זהים הממוקמים במישורים מקבילים, המחוברים זה לזה בקודקודיהם.
להשיג פריזמה זה קל. תארו לעצמכם שיש שני n-גונים זהים, כאשר n הוא מספר הצלעות או הקודקודים. בואו נמקם אותם כך שהם מקבילים זה לזה. לאחר מכן, יש לחבר את הקודקודים של מצולע אחד לקודקודים המתאימים של אחר. הדמות שנוצרה תהיה מורכבת משתי צלעות n-גונליות, הנקראות בסיסים, ו-n צלעות מרובעות, שבמקרה הכללי הן מקביליות. קבוצת המקביליות יוצרת את משטח הצד של הדמות.
ישנה דרך אחת נוספת להשיג בצורה גיאומטרית את הדמות המדוברת. לכן, אם ניקח n-גון ונעביר אותו למישור אחר באמצעות קטעים מקבילים באורך שווה, אז במישור החדש נקבל את המצולע המקורי. שני המצלעים וכל המקטעים המקבילים שנמשכים מהקודקודים שלהם יוצרים פריזמה.
התמונה למעלה מציגה פריזמה משולשת. זה נקרא כך מכיוון שהבסיסים שלו הם משולשים.
אלמנטים המרכיבים את הדמות
ההגדרה של מנסרה ניתנה לעיל, ממנה ברור שהמרכיבים העיקריים של דמות הם פניה או צלעותיה, המגבילים את כל הנקודות הפנימיות של המנסרה מהמרחב החיצוני. כל פנים של הדמות הנבדקת שייכת לאחד משני סוגים:
- side;
- grounds.
יש n חלקי צד, והם מקבילים או סוגים מסוימים שלהם (מלבנים, ריבועים). באופן כללי, פני הצד נבדלים זה מזה. יש רק שני פנים של הבסיס, הם n-gons ושווים זה לזה. לפיכך, לכל פריזמה יש n+2 צלעות.
מלבד הצדדים, הדמות מאופיינת בקודקודים שלה. הן נקודות שבהן שלושה פרצופים נוגעים בו זמנית. יתר על כן, שניים משלושת הפנים שייכים תמיד למשטח הצד, ואחד - לבסיס. לפיכך, בפריזמה אין קודקוד אחד שנבחר במיוחד, שכן, למשל, בפירמידה, כולם שווים. מספר הקודקודים של הדמות הוא 2n (n חלקים לכל אחדסיבה).
לבסוף, המרכיב החשוב השלישי של פריזמה הוא הקצוות שלה. אלו קטעים באורך מסוים, שנוצרים כתוצאה מהצטלבות הצדדים של הדמות. כמו פרצופים, גם לקצוות יש שני סוגים שונים:
- או נוצר רק על ידי הצדדים;
- או מופיעים בצומת המקבילית והצד של הבסיס ה-n-gonal.
מספר הקצוות הוא אפוא 3n, ו-2n מהם הם מהסוג השני.
סוגי פריזמה
ישנן מספר דרכים לסווג פריזמות. עם זאת, כולם מבוססים על שתי תכונות של הדמות:
- על סוג בסיס n-פחם;
- על סוג צד.
ראשית, בואו נפנה לתכונה השנייה ונגדיר פריזמה ישרה ואלכסונית. אם צד אחד לפחות הוא מקבילית מסוג כללי, אז הדמות נקראת אלכסונית או אלכסונית. אם כל המקביליות הן מלבנים או ריבועים, המנסרה תהיה ישרה.
ניתן לתת את ההגדרה של מנסרה ישרה גם בצורה מעט שונה: דמות ישרה היא פריזמה שקצוות הצד והפנים שלה מאונכים לבסיסיה. האיור מציג שתי דמויות מרובעות. השמאל ישר, הימין אלכסוני.
עכשיו נעבור לסיווג לפי סוג ה-n-gon השוכב בבסיסים. זה יכול להיות בעל אותן צלעות וזוויות או שונות. במקרה הראשון, המצולע נקרא רגיל. אם הדמות הנבדקת מכילה מצולע עם שווהצלעות וזוויות והוא קו ישר, אז זה נקרא נכון. לפי הגדרה זו, למנסרה רגילה בבסיסה יכולה להיות משולש שווה צלעות, ריבוע, מחומש רגיל או משושה וכן הלאה. הנתונים הנכונים הרשומים מוצגים באיור.
פרמטרים לינאריים של פריזמות
הפרמטרים הבאים משמשים לתיאור הגדלים של הדמויות הנבדקות:
- height;
- צידי בסיס;
- אורך צלעות צד;
- אלכסונים תלת-ממדיים;
- צלעות ובסיסים אלכסוניים.
עבור מנסרות רגילות, כל הכמויות הנקובות קשורות זו לזו. לדוגמה, אורכי הצלעות הצדדיות זהים ושווים לגובה. עבור נתון רגיל n-gonal ספציפי, יש נוסחאות המאפשרות לך לקבוע את כל השאר לפי כל שני פרמטרים ליניאריים.
משטח צורה
אם נתייחס להגדרה לעיל של פריזמה, אז לא יהיה קשה להבין מה מייצג פני השטח של דמות. פני השטח הם השטח של כל הפנים. עבור פריזמה ישרה, היא מחושבת על ידי הנוסחה:
S=2So + Poh
כאשר So הוא שטח הבסיס, Po הוא היקף ה-n-gon בבסיס, h הוא הגובה (המרחק בין הבסיסים).
נפח הדמות
יחד עם המשטח לתרגול, חשוב לדעת את נפח הפריזמה. ניתן לקבוע זאת על ידי הנוסחה הבאה:
V=Soh
זההביטוי נכון לחלוטין לכל סוג של פריזמה, כולל אלו שהן אלכסוניות שנוצרות על ידי מצולעים לא סדירים.
עבור מנסרות רגילות, הנפח הוא פונקציה של אורך צד הבסיס וגובה הדמות. עבור המנסרה ה-n-gonal המתאימה, לנוסחה של V יש צורה קונקרטית.
