סטריאומטריה היא חקר המאפיינים של צורות גיאומטריות תלת מימדיות. אחת הדמויות הנפחיות המוכרות המופיעות בבעיות גיאומטריה היא פריזמה ישרה. בואו נשקול במאמר זה מה זה, וגם נתאר בפירוט פריזמה עם בסיס משולש.
Prism וסוגיה
פריזמה היא דמות שנוצרת כתוצאה מתרגום מקביל של מצולע במרחב. כתוצאה מפעולה גיאומטרית זו נוצרת דמות המורכבת ממספר מקביליות ושני מצולעים זהים המקבילים זה לזה. מקביליות הן צלעות המנסרה, ומצולעים הם הבסיסים שלה.
לכל פריזמה יש n+2 צלעות, 3n קצוות ו-2n קודקודים, כאשר n הוא מספר הפינות או הצלעות של הבסיס המצולע. התמונה מציגה פריזמה מחומשת בעלת 7 צלעות, 10 קודקודים ו-15 קצוות.
מחלקה הנחשבת של דמויות מיוצגת על ידי מספר סוגים של מנסרות.אנו מפרטים אותם בקצרה:
- קעור וקמור;
- אלכסון וישר;
- שגוי ונכון.
כל דמות שייכת לאחד משלושת סוגי הסיווג המפורטים. כאשר פותרים בעיות גיאומטריות, הכי קל לבצע חישובים למנסרות רגילות וישרות. זה האחרון יידון ביתר פירוט בפסקאות הבאות של המאמר.
מהי פריזמה ישרה?
פריזמה ישרה היא פריזמה קעורה או קמורה, רגילה או לא סדירה, שבה כל הצלעות מיוצגות על ידי מרובעים בעלי זוויות של 90°. אם לפחות אחד מהמרובעים של הצלעות אינו מלבן או ריבוע, אז המנסרה נקראת אלכסונית. אפשר לתת גם הגדרה נוספת: פריזמה ישרה היא דמות כזו של מחלקה נתונה שבה כל קצה צד שווה לגובה. מתחת לגובה h של המנסרה, מניחים את המרחק בין הבסיסים שלה.
שתי ההגדרות הנתונות שזהו פריזמה ישירה שוות ומספקות את עצמם. יוצא מהם שכל זוויות הדיהדרליות בין כל אחד מהבסיסים לכל צד הן 90°.
נאמר למעלה שנוח לעבוד עם דמויות ישרות כשפותרים בעיות. זאת בשל העובדה שהגובה תואם את אורך הצלע הצדדית. העובדה האחרונה מקלה על תהליך חישוב נפח הדמות ושטח פני השטח הצדדיים שלה.
נפח של פריזמה ישירה
Volume - ערך הטבוע בכל דמות מרחבית, המשקף מספרית את החלק של החלל הכלוא בין המשטחים של הנחשבלְהִתְנַגֵד. ניתן לחשב את נפח הפריזמה באמצעות הנוסחה הכללית הבאה:
V=Soh.
כלומר, מכפלת הגובה ושטח הבסיס יתנו את הערך הרצוי V. מכיוון שהבסיסים של פריזמה ישרה שווים, אז כדי לקבוע את השטח So אתה יכול לקחת כל אחד מהם.
היתרון בשימוש בנוסחה שלעיל במיוחד עבור פריזמה ישרה בהשוואה לסוגים אחרים שלה הוא שקל מאוד למצוא את גובה הדמות, מכיוון שהוא חופף לאורך קצה הצד.
אזור צדדי
נוח לחשב לא רק את הנפח עבור דמות ישרה של המעמד הנבדק, אלא גם את פני השטח הצדדיים שלו. ואכן, כל צד שלו הוא מלבן או ריבוע. כל תלמיד יודע לחשב את שטחן של דמויות שטוחות אלו, לשם כך יש צורך להכפיל צלעות סמוכות זו בזו.
נניח שבסיס המנסרה הוא n-גון שרירותי שצלעותיו שוות לi. אינדקס i עובר מ-1 עד n. השטח של מלבן אחד מחושב כך:
Si=aih.
את שטח המשטח הרוחבי Sbקל לחשב אם מחברים את כל השטחים Si מלבנים. במקרה זה, נקבל את הנוסחה הסופית עבור Sbפריזמה ישרה:
Sb=h∑i=1(ai)=hPo.
לפיכך, כדי לקבוע את שטח הפנים לרוחב עבור פריזמה ישרה, עליך להכפיל את גובהה בהיקף של בסיס אחד.
בעיה עם פריזמה משולשת
נניח שניתנת פריזמה ישרה. הבסיס הוא משולש ישר זווית. רגליו של משולש זה הן 12 ס"מ ו-8 ס"מ. יש צורך לחשב את נפח הדמות והשטח הכולל שלה אם גובה הפריזמה הוא 15 ס"מ.
תחילה, בוא נחשב את נפחה של מנסרה ישרה. למשולש (מלבני) הממוקם בבסיסיו יש שטח:
So=a1a2/2=128/2=48 ס מ2.
כפי שאפשר לנחש, a1 ו-2 הם רגלים במשוואה הזו. לדעת את שטח הבסיס והגובה (ראה את מצב הבעיה), אתה יכול להשתמש בנוסחה של V:
V=Soh=4815=720cm3.
השטח הכולל של הדמות נוצר משני חלקים: שטחי הבסיסים והמשטח הרוחבי. השטחים של שני הבסיסים הם:
S2o=2So=482=96cm2.
כדי לחשב את שטח הפנים לרוחב, עליך לדעת את ההיקף של משולש ישר זווית. חשב על פי משפט פיתגורס את ההיפותנוסה שלו a3, יש לנו:
a3 =√(a12+ a2 2)=√(122+ 82)=14.42 ס מ.
אז היקף המשולש של בסיס המנסרה הימנית יהיה:
P=a1+ a2+ a3=12 + 8 + 14, 42=34, 42 ס מ.
יישום הנוסחה של Sb, שנכתבה בפסקה הקודמת,קבל:
Sb=hP=1534, 42=516, 3 ס מ.
הוספת השטחים של S2o ו-Sb, נקבל את שטח הפנים הכולל של הדמות הגיאומטרית הנלמדת:
S=S2o+ Sb=96 + 516, 3=612, 3cm2.
פריזמה משולשת, העשויה מסוגים מיוחדים של זכוכית, משמשת באופטיקה כדי לחקור את הספקטרום של עצמים פולטי אור. מנסרות כאלה מסוגלות לפרק אור לתדרי רכיבים עקב תופעת הפיזור.
