פריזמה מרובעת: גובה, אלכסון, שטח

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 05:26

בקורס בית הספר של גיאומטריה מוצקה, אחת הדמויות הפשוטות ביותר שיש לה ממדים שאינם אפס לאורך שלושה צירים מרחביים היא פריזמה מרובעת. שקול במאמר איזה סוג של דמות זה, מאילו אלמנטים היא מורכבת, וגם איך אתה יכול לחשב את שטח הפנים והנפח שלה.

המושג של פריזמה

בגיאומטריה, פריזמה היא דמות מרחבית, שנוצרת משני בסיסים ומשטחי צד זהים המחברים את הצדדים של בסיסים אלה. שימו לב ששני הבסיסים עוברים טרנספורמציה זה לזה באמצעות פעולת תרגום מקביל על ידי וקטור כלשהו. הקצאה זו של המנסרה מובילה לכך שכל צלעותיה הן תמיד מקבילות.

מספר הצדדים של הבסיס יכול להיות שרירותי, החל משלוש. כאשר מספר זה נוטה לאינסוף, המנסרה הופכת בצורה חלקה לגליל, שכן הבסיס שלה הופך למעגל, והמקביליות הצדדיות, המתחברות, יוצרות משטח גלילי.

כמו כל פולידרון, פריזמה מאופיינת בצלעות (מישורים שקושרים את הדמות), קצוות (קטעים שלאורכם כל שני צדדים מצטלבים) וקודקודים (נקודות מפגש של שלוש צלעות, עבור מנסרה שתיים מהן הן לרוחב, והשלישית היא הבסיס). הכמויות של שלושת האלמנטים הנזכרים של הדמות מקושרות ביניהן על ידי הביטוי הבא:

P=C + B - 2

כאן P, C ו-B הם מספר הקצוות, הצלעות והקודקודים, בהתאמה. ביטוי זה הוא הסימון המתמטי של משפט אוילר.

התמונה למעלה מציגה שתי פריזמות. בבסיס אחד מהם (A) שוכן משושה רגיל, וצלעות הצד מאונכות לבסיסים. איור ב' מציג פריזמה נוספת. צלעותיו אינן מאונכות יותר לבסיסים, והבסיס הוא מחומש רגיל.

מהי פריזמה מרובעת?

כפי שברור מהתיאור למעלה, סוג המנסרה נקבע בעיקר לפי סוג המצולע שיוצר את הבסיס (שני הבסיסים זהים, אז אפשר לדבר על אחד מהם). אם המצולע הזה הוא מקבילית, אז נקבל פריזמה מרובעת. לפיכך, כל הצדדים של סוג זה של פריזמה הם מקבילים. למנסרה מרובעת יש שם משלה - מקבילית.

מספר הצלעות של מקבילי הוא שש, ולכל צד יש הקבלה דומה לה. מכיוון שבסיסי התיבה הם שני צדדים, הארבעה הנותרים הם לרוחב.

מספר הקודקודים של המקביל הוא שמונה, שקל לראות אם נזכור שקודקודי המנסרה נוצרים רק בקודקודים של מצולעי הבסיס (4x2=8). בהחלת משפט אוילר, נקבל את מספר הקצוות:

P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12

מתוך 12 צלעות, רק 4 נוצרות באופן עצמאי על ידי הצדדים. 8 הנותרים שוכבים במישורים של בסיסי הדמות.

בהמשך המאמר נדבר רק על מנסרות מרובעות.

סוגי מקבילים

הסוג הראשון של סיווג הוא התכונות של המקבילית שבבסיסה. זה עשוי להיראות כך:

• רגיל, שהזוויות שלו אינן שוות ל-90^o;
• מלבן;
• ריבוע הוא מרובע רגיל.

הסוג השני של הסיווג הוא הזווית שבה הצלע חוצה את הבסיס. שני מקרים שונים אפשריים כאן:

• זווית זו אינה ישרה, אז המנסרה נקראת אלכסונית או אלכסונית;
• הזווית היא 90^o, ואז פריזמה כזו היא מלבנית או רק ישרה.

הסוג השלישי של הסיווג קשור לגובה הפריזמה. אם המנסרה היא מלבנית, והבסיס הוא או ריבוע או מלבן, אז זה נקרא קוביד. אם יש ריבוע בבסיס, המנסרה היא מלבנית, וגובהה שווה לאורך הצלע של הריבוע, אז נקבל את דמות הקובייה הידועה.

משטח ושטח פריזמה

קבוצת כל הנקודות השוכנות על שני בסיסים של פריזמה(מקביליות) ובצדדיה (ארבע מקביליות) יוצרים את פני הדמות. ניתן לחשב את השטח של משטח זה על ידי חישוב שטח הבסיס וערך זה עבור משטח הצד. ואז הסכום שלהם ייתן את הערך הרצוי. מבחינה מתמטית, זה כתוב כך:

S=2S_o+ S_b

כאן S_o ו-S_b הם שטח הבסיס והמשטח הצדדי, בהתאמה. המספר 2 לפני S_o מופיע מכיוון שיש שני בסיסים.

שימו לב שהנוסחה הכתובה תקפה לכל פריזמה, ולא רק עבור שטח של פריזמה מרובעת.

מועיל לזכור שהשטח של מקבילית S_p מחושב לפי הנוסחה:

S_p=ah

כאשר הסמלים a ו-h מציינים את אורך אחת מצלעיו ואת הגובה הנמשך לצד זה, בהתאמה.

השטח של פריזמה מלבנית עם בסיס מרובע

במנסרה מרובעת רגילה, הבסיס הוא ריבוע. לשם הבירור, נסמן את הצד שלו באות א. כדי לחשב את השטח של פריזמה מרובעת רגילה, עליך לדעת את גובהה. לפי ההגדרה לכמות זו, היא שווה לאורכו של האנך שנפל מבסיס אחד למשנהו, כלומר שווה למרחק ביניהם. נסמן זאת באות ח. מכיוון שכל פני הצד מאונכים לבסיסים עבור סוג המנסרה הנבדקת, גובהה של פריזמה מרובעת רגילה יהיה שווה לאורך קצה הצד שלה.

Bהנוסחה הכללית עבור שטח הפנים של פריזמה היא שני מונחים. השטח של הבסיס במקרה זה קל לחישוב, הוא שווה ל:

S_o=a²

כדי לחשב את שטח המשטח הרוחבי, אנו טוענים כדלקמן: משטח זה נוצר על ידי 4 מלבנים זהים. יתר על כן, הצדדים של כל אחד מהם שוות ל-a ו-h. המשמעות היא שהשטח של S_b יהיה שווה ל:

S_b=4ah

שים לב שהמוצר 4a הוא היקף הבסיס הריבועי. אם נכליל את הביטוי הזה למקרה של בסיס שרירותי, אז עבור פריזמה מלבנית ניתן לחשב את פני הצד באופן הבא:

S_b=P_oh

כאשר P_o הוא היקף הבסיס.

אם נחזור לבעיה של חישוב שטחה של פריזמה מרובעת רגילה, נוכל לכתוב את הנוסחה הסופית:

S=2S_o+ S_b=2a²+ 4 ah=2a(a+2h)

אזור של מקבילי אלכסוני

חישוב זה קצת יותר קשה מאשר עבור מלבני. במקרה זה, שטח הבסיס של פריזמה מרובעת מחושב באמצעות אותה נוסחה כמו עבור מקבילית. השינויים נוגעים לאופן שבו נקבע שטח הפנים הרוחבי.

כדי לעשות זאת, השתמש באותה נוסחה דרך ההיקף כפי שמופיעה בפסקה למעלה. רק עכשיו יהיו לו מכפילים מעט שונים. הנוסחה הכללית עבור S_b במקרה של פריזמה אלכסונית היא:

S_b=P_src

כאן c הוא אורך קצה הצד של הדמות.הערך P_sr הוא היקף הפרוסה המלבנית. סביבה זו בנויה באופן הבא: יש צורך לחתוך את כל פני הצד עם מישור כך שיהיה מאונך לכולם. המלבן שיתקבל יהיה החיתוך הרצוי.

האיור שלמעלה מציג דוגמה לתיבה אלכסונית. הקטע המצולב שלו יוצר זוויות ישרות עם הצדדים. היקף הקטע הוא P_sr. הוא נוצר על ידי ארבעה גבהים של מקביליות לרוחב. עבור פריזמה מרובעת זו, שטח הפנים לרוחב מחושב באמצעות הנוסחה לעיל.

אורך האלכסון של קוביד

האלכסון של מקבילי הוא קטע המחבר בין שני קודקודים שאין להם צלעות משותפות היוצרות אותם. יש רק ארבעה אלכסונים בכל פריזמה מרובעת. עבור קובייה עם מלבן בבסיסו, אורכי כל האלכסונים שווים זה לזה.

האיור למטה מציג את הנתון המקביל. הקטע האדום הוא האלכסון שלו.

חישוב אורכו הוא פשוט מאוד, אם אתה זוכר את משפט פיתגורס. כל תלמיד יכול לקבל את הנוסחה הרצויה. יש לו את הצורה הבאה:

D=√(A²+ B² + C²)

כאן D הוא אורך האלכסון. התווים הנותרים הם האורכים של הצדדים של התיבה.

אנשים רבים מבלבלים בין האלכסון של מקבילי עם האלכסונים של צלעותיו. להלן תמונה שבה הצבעוניהקטעים מייצגים את האלכסונים של צלעות הדמות.

אורכו של כל אחד מהם נקבע גם לפי משפט פיתגורס והוא שווה לשורש הריבועי של סכום הריבועים של אורכי הצלעות התואמות.

נפח פריזמה

בנוסף לשטח של פריזמה מרובעת רגילה או סוגים אחרים של פריזמות, כדי לפתור כמה בעיות גיאומטריות, כדאי גם לדעת את נפחן. ערך זה עבור כל פריזמה לחלוטין מחושב על ידי הנוסחה הבאה:

V=S_oh

אם המנסרה מלבנית, אז מספיק לחשב את שטח הבסיס שלה ולהכפיל אותו באורך קצה הצלע כדי לקבל את נפח הדמות.

אם המנסרה היא פריזמה מרובעת רגילה, הנפח שלה יהיה:

V=a²h.

קל לראות שנוסחה זו מומרת לביטוי לנפח של קובייה אם אורך קצה הצד h שווה לצלע הבסיס a.

בעיה עם קוביה

כדי לגבש את החומר הנלמד, נפתור את הבעיה הבאה: יש מקבילית מלבני שצלעותיו הן 3 ס"מ, 4 ס"מ ו-5 ס"מ. יש צורך לחשב את שטח הפנים, אורך האלכסון והנפח שלו.

למען ההגדרה, נניח שבסיס הדמות הוא מלבן עם צלעות של 3 ס"מ ו-4 ס"מ. ואז שטחו הוא 12 ס"מ², והנקודה הוא 14 ס"מ. באמצעות הנוסחה עבור שטח הפנים של המנסרה, נקבל:

S=2S_o+ S_b=212 + 514=24 + 70=94cm2

כדי לקבוע את אורך האלכסון ונפח הדמות, ניתן להשתמש ישירות בביטויים שלעיל:

D=√(3²+4²+5²)=7. 071 ס מ;

V=345=60cm³.

בעיה עם מקבילית אלכסונית

האיור למטה מציג פריזמה אלכסונית. צלעותיו שוות: a=10 ס"מ, b=8 ס"מ, c=12 ס"מ. עליך למצוא את שטח הפנים של הדמות הזו.

ראשית, בואו נקבע את שטח הבסיס. האיור מראה שהזווית החדה היא 50^o. אז השטח שלו הוא:

S_o=ha=sin(50^o)ba

כדי לקבוע את שטח המשטח הרוחבי, עליך למצוא את היקף המלבן המוצלל. הצלעות של מלבן זה הן asin(45^o) ו-bsin(60^o). אז ההיקף של המלבן הזה הוא:

P_sr=2(asin(45^o)+bsin(60^o))

שטח הפנים הכולל של תיבה זו הוא:

S=2S_o+ S_b=2(sin(50^o)ba + acsin(45^o) + bcsin(60^o))

אנו מחליפים את הנתונים ממצב הבעיה לאורכי צלעות הדמות, נקבל את התשובה:

S=458, 5496 ס מ³

ניתן לראות מפתרון בעיה זו שפונקציות טריגונומטריות משמשות לקביעת השטחים של דמויות אלכסוניות.