מחקר כמותי של הדינמיקה והקינמטיקה של תנועה סיבובית דורש ידע על מומנט האינרציה של נקודה חומרית וגוף קשיח ביחס לציר הסיבוב. נשקול במאמר על איזה פרמטר אנחנו מדברים, וגם ניתן נוסחה לקביעתו.
מידע כללי על הכמות הפיזית
תחילה, בואו נגדיר את רגע האינרציה של נקודה חומרית וגוף קשיח, ולאחר מכן נראה כיצד יש להשתמש בו בפתרון בעיות מעשיות.
תחת המאפיין הפיזי המצוין עבור נקודה בעלת מסה m, המסתובבת סביב הציר במרחק r, הערך הבא מתכוון:
I=mr².
שם נובע שיחידת המידה של הפרמטר הנחקר היא קילוגרמים למ"ר (ק"גמ"ר).
אם במקום נקודה סביב ציר מסתובב גוף בעל צורה מורכבת, שיש לו חלוקה שרירותית של מסה בתוך עצמו, אז מומנט האינרציה שלו נקבעאז:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
כאשר ρ היא צפיפות הגוף. באמצעות הנוסחה האינטגרלית, אתה יכול לקבוע את הערך של I עבור כל מערכת סיבוב לחלוטין.
לרגע אינרציה יש בדיוק את אותה משמעות לסיבוב כמו שיש למסה לתנועה מתרגלת. לדוגמה, כולם יודעים שהכי קל לסובב מגב רצפה סביב ציר שעובר דרך הידית שלו מאשר דרך מאונך. זה נובע מהעובדה שמומנט האינרציה במקרה הראשון קטן בהרבה מאשר במקרה השני.
I value עבור גופים בצורות שונות
כשפותרים בעיות בפיזיקה לסיבוב, לעתים קרובות יש צורך לדעת את מומנט האינרציה עבור גוף בעל צורה גיאומטרית ספציפית, למשל, עבור גליל, כדור או מוט. אם נחיל את הנוסחה שנכתבה לעיל עבור I, קל להשיג את הביטוי המתאים עבור כל הגופים המסומנים. להלן הנוסחאות לכמה מהם:
rod: I=1 / 12ML²;
צילינדר: I=1 / 2MR²;
כדור: I=2 / 5MR².
כאן אני נתון עבור ציר הסיבוב, העובר דרך מרכז המסה של הגוף. במקרה של צילינדר, הציר מקביל למחולל הדמות. מומנט האינרציה לגופים גיאומטריים אחרים ואפשרויות למיקום צירי הסיבוב ניתן למצוא בטבלאות המתאימות. שימו לב שכדי לקבוע דמויות שונות, מספיק לדעת רק פרמטר גיאומטרי אחד ואת המסה של הגוף.
משפט והנוסחה של סטיינר
ניתן לקבוע את רגע האינרציה אם ציר הסיבוב ממוקם במרחק מה מהגוף. לשם כך, עליך לדעת את אורך הקטע הזה ואת הערך IO של הגוף ביחס לציר העובר דרך מרכז המסה שלו, שאמור להיות מקביל לזה שמתחתיו. הִתחַשְׁבוּת. יצירת קשר בין הפרמטר IO לבין הערך הלא ידוע I קבוע במשפט שטיינר. מומנט האינרציה של נקודה חומרית וגוף קשיח נכתב באופן מתמטי באופן הבא:
I=IO+ Mh2.
כאן M היא מסת הגוף, h הוא המרחק ממרכז המסה לציר הסיבוב, יחסית אליו יש צורך לחשב את I. ביטוי זה קל להשיג בעצמך אם אתה השתמשו בנוסחה האינטגרלית של I וקחו בחשבון שכל נקודות הגוף נמצאות במרחקים r=r0 + h.
משפט סטיינר מפשט מאוד את ההגדרה של אני עבור מצבים מעשיים רבים. לדוגמה, אם אתה צריך למצוא I עבור מוט באורך L ומסה M ביחס לציר שעובר בקצה שלו, אז יישום משפט שטיינר מאפשר לך לכתוב:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
ניתן להתייחס לטבלה המתאימה ולראות שהיא מכילה בדיוק את הנוסחה הזו למוט דק שבקצהו ציר סיבוב.
משוואת רגע
בפיזיקה של סיבוב יש נוסחה שנקראת משוואת המומנטים. זה נראה כך:
M=Iα.
כאן M הוא רגע הכוח, α היא התאוצה הזוויתית. כפי שניתן לראות, מומנט האינרציה של נקודה חומרית וגוף נוקשה ורגע הכוח קשורים זה לזה באופן ליניארי. הערך M קובע את האפשרות של כוח כלשהו F ליצור תנועה סיבובית עם תאוצה α במערכת. כדי לחשב את M, השתמש בביטוי הפשוט הבא:
M=Fd.
כאשר d היא כתף הרגע, השווה למרחק מווקטור הכוח F לציר הסיבוב. ככל שהזרוע d קטנה יותר, כך תהיה לכוח פחות יכולת ליצור סיבוב של המערכת.
משוואת המומנטים במשמעותה עולה בקנה אחד עם החוק השני של ניוטון. במקרה זה, אני משחק את התפקיד של המסה האינרציאלית.
דוגמה לפתרון בעיות
בואו נדמיין מערכת שהיא גליל מקובע על ציר אנכי עם מוט אופקי חסר משקל. ידוע שציר הסיבוב והציר הראשי של הגליל מקבילים זה לזה, והמרחק ביניהם הוא 30 ס"מ. מסת הגליל היא 1 ק"ג, והרדיוס שלו 5 ס"מ. כוח של 10 N משיק למסלול הסיבוב פועל על הדמות, שהווקטור שלה עובר דרך הציר הראשי של הגליל. יש צורך לקבוע את התאוצה הזוויתית של הדמות, שכוח זה יגרום.
ראשית, בואו נחשב את מומנט האינרציה של גליל I. כדי לעשות זאת, יישם את משפט שטיינר, יש לנו:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210.05² + 10, 3²=0.09125 ק"גמ"ר.
לפני השימוש במשוואת הרגעים, עליך לעשות זאתקבע את רגע הכוח M. במקרה זה, יש לנו:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
עכשיו אתה יכול לקבוע את התאוצה:
α=M/I=3/0.09125 ≈ 32.9 rad/s².
ההאצה הזוויתית המחושבת מצביעה על כך שבכל שנייה מהירות הגליל תגדל ב-5.2 סיבובים לשנייה.
