גופים המבצעים תנועות מעגליות בפיזיקה מתוארים בדרך כלל באמצעות נוסחאות הכוללות מהירות זוויתית ותאוצה זוויתית, כמו גם כמויות כמו רגעי סיבוב, כוחות ואינרציה. בואו נסתכל מקרוב על מושגים אלה במאמר.
רגע של סיבוב סביב הציר
כמות פיזית זו נקראת גם המומנטום הזוויתי. המילה "מומנט" פירושה שמיקום ציר הסיבוב נלקח בחשבון בעת קביעת המאפיין המתאים. לכן, התנע הזוויתי של חלקיק בעל מסה m, המסתובב במהירות v סביב ציר O וממוקם במרחק r מהאחרון, מתואר בנוסחה הבאה:
L¯=r¯mv¯=r¯p¯, כאשר p¯ הוא התנע של החלקיק.
הסימן "¯" מציין את האופי הווקטורי של הכמות המתאימה. כיוון וקטור התנע הזוויתי L¯ נקבע על ידי כלל יד ימין (ארבע אצבעות מכוונות מקצה הווקטור r¯ לסוף p¯, והאגודל השמאלי מראה לאן L¯ יופנה). ניתן לראות את הכיוונים של כל הוקטורים בעלי השם בתמונה הראשית של המאמר.
מתיכאשר פותרים בעיות מעשיות, הם משתמשים בנוסחה של התנע הזוויתי בצורה של סקלאר. בנוסף, המהירות הליניארית מוחלפת בזווית. במקרה זה, הנוסחה של L תיראה כך:
L=mr2ω, כאשר ω=vr היא המהירות הזוויתית.
הערך mr2 מסומן באות I ונקרא מומנט האינרציה. הוא מאפיין את תכונות האינרציה של מערכת הסיבוב. באופן כללי, הביטוי עבור L נכתב כך:
L=Iω.
נוסחה זו תקפה לא רק עבור חלקיק מסתובב בעל מסה m, אלא גם עבור כל גוף בעל צורה שרירותית שמבצע תנועות מעגליות סביב ציר כלשהו.
רגע אינרציה I
במקרה הכללי, הערך שהכנסתי בפסקה הקודמת מחושב לפי הנוסחה:
I=∑i(miri 2).
כאן i מציין את מספר האלמנט בעל המסה mi הממוקם במרחק ri מציר הסיבוב. ביטוי זה מאפשר לך לחשב עבור גוף לא הומוגני בעל צורה שרירותית. עבור רוב הדמויות הגיאומטריות התלת מימדיות האידיאליות, חישוב זה כבר בוצע, והערכים המתקבלים של רגע האינרציה מוזנים בטבלה המתאימה. לדוגמה, עבור דיסקה הומוגנית המבצעת תנועות מעגליות סביב ציר הניצב למישור שלה ועובר דרך מרכז המסה, I=mr2/2.
כדי להבין את המשמעות הפיזית של רגע האינרציה של הסיבוב I, צריך לענות על השאלה באיזה ציר קל יותר לסובב את המגב: זה שעובר לאורך המגבאו אחד שניצב לו? במקרה השני, תצטרכו להפעיל יותר כוח, מכיוון שרגע האינרציה עבור מיקום זה של המגב גדול.
חוק השימור של L
שינוי במומנט לאורך זמן מתואר בנוסחה שלהלן:
dL/dt=M, כאשר M=rF.
כאן M הוא הרגע של הכוח החיצוני שנוצר F המופעל על הכתף r סביב ציר הסיבוב.
הנוסחה מראה שאם M=0, אז השינוי בתנע הזוויתי L לא יתרחש, כלומר, הוא יישאר ללא שינוי במשך זמן רב באופן שרירותי, ללא קשר לשינויים פנימיים במערכת. מקרה זה נכתב כביטוי:
I1ω1=I2ω 2.
כלומר, כל שינוי בתוך מערכת המומנטים אני יוביל לשינויים במהירות הזוויתית ω באופן שהמכפלה שלהם תישאר קבועה.
דוגמה לביטוי של חוק זה הוא ספורטאי בהחלקה אמנותית, אשר משליך את זרועותיו ומצמיד אותן לגוף, משנה את ה-I שלו, מה שבא לידי ביטוי בשינוי במהירות הסיבוב שלו ω.
בעיית הסיבוב של כדור הארץ סביב השמש
בואו נפתור בעיה אחת מעניינת: באמצעות הנוסחאות לעיל, יש צורך לחשב את רגע הסיבוב של כוכב הלכת שלנו במסלולו.
מכיוון שניתן להזניח את כוח המשיכה של שאר כוכבי הלכת, וגםבהינתן שרגע כוח הכבידה הפועל מהשמש על כדור הארץ שווה לאפס (כתף r=0), אז L=const. כדי לחשב את L, אנו משתמשים בביטויים הבאים:
L=Iω; I=mr2; ω=2pi/T.
כאן הנחנו שכדור הארץ יכול להיחשב כנקודה חומרית עם מסה m=5.9721024kg, מכיוון שמידותיה קטנות בהרבה מהמרחק לשמש r=149.6 מיליון ק מ. T=365, 256 ימים - תקופת הסיבוב של כוכב הלכת סביב הכוכב שלו (שנה). החלפת כל הנתונים בביטוי למעלה, נקבל:
L=Iω=5, 9721024(149, 6109) 223, 14/(365, 256243600)=2, 661040kgm2 /s.
הערך המחושב של התנע הזוויתי הוא עצום, בשל המסה הגדולה של כוכב הלכת, מהירות המסלול הגבוהה והמרחק האסטרונומי העצום שלו.
