כאשר לומדים את המאפיינים של דמויות במרחב תלת מימדי במסגרת הסטריאומטריה, לעתים קרובות צריך לפתור בעיות כדי לקבוע את הנפח ושטח הפנים. במאמר זה נראה כיצד לחשב את הנפח ושטח הפנים לרוחב עבור פירמידה קטומה באמצעות נוסחאות ידועות.
פירמידה בגיאומטריה
בגיאומטריה, פירמידה רגילה היא דמות במרחב, הבנויה על איזה n-גון שטוח. כל הקודקודים שלו מחוברים לנקודה אחת הממוקמת מחוץ למישור המצולע. לדוגמה, הנה תמונה המציגה פירמידה מחומשת.
הדמות הזו נוצרת על ידי פרצופים, קודקודים וקצוות. הפנים המחומש נקרא הבסיס. הפרצופים המשולשים הנותרים יוצרים את פני הצד. נקודת החיתוך של כל המשולשים היא הקודקוד הראשי של הפירמידה. אם מורידים ממנו מאונך לבסיס, אז אפשריות שתי אפשרויות למיקום נקודת החיתוך:
- במרכז הגיאומטרי, אז הפירמידה נקראת קו ישר;
- לא נמצאמרכז גיאומטרי, אז הדמות תהיה אלכסונית.
בהמשך נשקול רק דמויות ישרות עם בסיס n-gonal רגיל.
מה זה הנתון הזה - פירמידה קטומה?
כדי לקבוע את הנפח של פירמידה קטומה, יש צורך להבין בבירור באיזו דמות מדובר ספציפית. בואו נבהיר את הנושא הזה.
נניח שניקח מישור חיתוך המקביל לבסיס של פירמידה רגילה ונחתוך איתו חלק ממשטח הצד. אם הפעולה הזו מתבצעת עם הפירמידה המחומשת שמוצגת למעלה, תקבלו נתון כמו באיור למטה.
מהתמונה ניתן לראות שלפירמידה הזו יש כבר שני בסיסים, והחלק העליון דומה לתחתון, אבל הוא קטן יותר בגודלו. המשטח הרוחבי כבר לא מיוצג על ידי משולשים, אלא על ידי טרפזים. הם שווה שוקיים, ומספרם מתאים למספר צלעות הבסיס. לדמות הקטומה אין קודקוד ראשי, כמו פירמידה רגילה, וגובהה נקבע לפי המרחק בין בסיסים מקבילים.
במקרה הכללי, אם הדמות הנבדקת נוצרת על ידי בסיסים n-גונליים, יש לה n+2 פנים או צלעות, 2n קודקודים ו-3n קצוות. כלומר, הפירמידה הקטומה היא פולידרון.
נוסחה לנפח של פירמידה קטומה
זכור שהנפח של פירמידה רגילה הוא 1/3 מהמכפלה של הגובה ושטח הבסיס שלה. נוסחה זו אינה מתאימה לפירמידה קטומה, מכיוון שיש לה שני בסיסים. והנפח שלותמיד יהיה פחות מאותו ערך עבור הנתון הרגיל ממנו הוא נגזר.
מבלי להיכנס לפרטים המתמטיים של השגת הביטוי, אנו מציגים את הנוסחה הסופית לנפח של פירמידה קטומה. זה כתוב כך:
V=1/3h(S1+ S2+ √(S1 S2))
כאן S1 ו-S2 הם האזורים של הבסיס התחתון והעליון, בהתאמה, h הוא גובה הדמות. הביטוי הכתוב תקף לא רק עבור פירמידה קטומה רגילה ישרה, אלא גם עבור כל דמות במעמד זה. יתרה מכך, ללא קשר לסוג מצולעי הבסיס. התנאי היחיד המגביל את השימוש בביטוי עבור V הוא הצורך שבסיסי הפירמידה יהיו מקבילים זה לזה.
ניתן להסיק כמה מסקנות חשובות על ידי לימוד המאפיינים של נוסחה זו. אז אם השטח של הבסיס העליון הוא אפס, אז אנחנו מגיעים לנוסחה של V של פירמידה רגילה. אם שטחי הבסיסים שווים זה לזה, אז נקבל את הנוסחה לנפח המנסרה.
איך לקבוע את שטח הפנים לרוחב?
הכרת המאפיינים של פירמידה קטומה דורשת לא רק יכולת לחשב את נפחה, אלא גם לדעת כיצד לקבוע את שטח המשטח הצדי.
פירמידה קטומה מורכבת משני סוגים של פנים:
- טרפז שווה שוקיים;
- בסיסים מצולעים.
אם יש מצולע רגיל בבסיסים, אז החישוב של השטח שלו לא מייצג גדולקשיים. לשם כך, אתה רק צריך לדעת את אורך הצלע a ואת מספרם n.
במקרה של משטח רוחבי, חישוב השטח שלו כולל קביעת ערך זה עבור כל אחד מ-n הטרפזים. אם ה-n-gon נכון, אזי הנוסחה עבור שטח הפנים הרוחבי הופכת:
Sb=hbn(a1+a2)/2
כאן hb הוא גובה הטרפז, שנקרא האפוטימה של הדמות. הכמויות a1 ו-a2הן אורכי הצלעות של בסיסים n-gonal רגילים.
עבור כל פירמידה קטומה n-gonal רגילה, ניתן להגדיר את ה-apotema hb באופן ייחודי באמצעות הפרמטרים a1 ו-a 2וגובה h של הצורה.
המשימה של חישוב נפח ושטח של דמות
בהינתן פירמידה קטומה משולשת רגילה. ידוע שגובהו h הוא 10 ס"מ, ואורכי צלעות הבסיסים 5 ס"מ ו-3 ס"מ. מה נפח הפירמידה הקטומה ושטח פני השטח שלה לרוחב?
תחילה, בוא נחשב את הערך V. לשם כך, מצא את השטחים של משולשים שווי-צלעות הממוקמים בבסיסי האיור. יש לנו:
S1=√3/4a12=√3/4 52=10.825cm2;
S2=√3/4a22=√3/4 32=3.897 ס מ2
החלף את הנתונים בנוסחה של V, נקבל את הנפח הרצוי:
V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70.72 cm3
כדי לקבוע את משטח הצד, עליך לדעתapothem length hb. בהתחשב במשולש ישר זווית המקביל בתוך הפירמידה, נוכל לכתוב את השוויון עבורו:
hb=√((√3/6(a1- a2))2+ h2) ≈ 10.017 ס מ
הערך של האפוטם וצלעות הבסיסים המשולשים מוחלפים בביטוי של Sbונקבל את התשובה:
Sb=hbn(a1+a2)/2=10.0173(5+3)/2 ≈ 120.2cm2
לפיכך, ענינו על כל השאלות של הבעיה: V ≈ 70.72 cm3, Sb ≈ 120.2 cm2.
