מושג חשוב במתמטיקה הוא פונקציה. בעזרתו, אתה יכול לדמיין תהליכים רבים המתרחשים בטבע, לשקף את הקשר בין כמויות מסוימות באמצעות נוסחאות, טבלאות ותמונות על גרף. דוגמה לכך היא תלות הלחץ של שכבת נוזל בגוף בעומק הטבילה, תאוצה - בפעולת כוח מסוים על עצם, עליית טמפרטורה - באנרגיה המועברת ועוד תהליכים רבים אחרים. לימוד פונקציה כולל בניית גרף, בירור תכונותיו, ההיקף והערכים, מרווחי עלייה וירידה. נקודה חשובה בתהליך זה היא מציאת נקודות הקיצון. על איך לעשות את זה נכון, והשיחה תימשך.
על הרעיון עצמו בדוגמה ספציפית
ברפואה, שרטוט גרף פונקציות יכול לספר על התקדמות מחלה בגופו של חולה, ולשקף חזותית את מצבו. נניח שהזמן בימים משורטט לאורך ציר OX, וטמפרטורת גוף האדם משורטטת לאורך ציר OY. האיור מראה בבירור כיצד אינדיקטור זה עולה בחדות, וכןואז זה נופל. קל גם להבחין בנקודות בודדות המשקפות את הרגעים שבהם התפקוד, לאחר שעלה בעבר, מתחיל לרדת, ולהיפך. אלו נקודות הקיצון, כלומר הערכים הקריטיים (מקסימום ומינימום) במקרה זה של הטמפרטורה של החולה, ולאחר מכן מתרחשים שינויים במצבו.
זווית הטיה
קל לקבוע מהאיור כיצד משתנה הנגזרת של פונקציה. אם הקווים הישרים של הגרף עולים עם הזמן, אז זה חיובי. וככל שהם תלולים יותר, כך גדל ערכה של הנגזרת, ככל שזווית הנטייה גדלה. בתקופות של ירידה, ערך זה מקבל ערכים שליליים, הופך לאפס בנקודות קיצון, והגרף של הנגזרת במקרה האחרון מצוייר במקביל לציר ה-OX.
יש להתייחס לכל תהליך אחר באותו אופן. אבל הדבר הטוב ביותר בקונספט הזה יכול לספר את התנועה של גופים שונים, המוצג בבירור על הגרפים.
Movement
נניח שאובייקט כלשהו זז בקו ישר, צובר מהירות באופן שווה. במהלך תקופה זו, השינוי בקואורדינטות של הגוף מייצג באופן גרפי עקומה מסוימת, אשר מתמטיקאי יקרא לה ענף של פרבולה. במקביל, הפונקציה גדלה כל הזמן, שכן מחווני הקואורדינטות משתנים מהר יותר ויותר עם כל שנייה. גרף המהירות מציג את התנהגות הנגזרת, שגם ערכה עולה. זה אומר שלתנועה אין נקודות קריטיות.
זה היה נמשך ללא הגבלת זמן. אבל אם הגוף מחליט פתאום להאט, עצרו והתחילו לנוע באחרכיוון? במקרה זה, מחווני הקואורדינטות יתחילו לרדת. והפונקציה תעביר את הערך הקריטי ותהפוך מעלייה לירידה.
בדוגמה זו, אפשר שוב להבין שנקודות הקיצון בגרף הפונקציה מופיעות ברגעים שבהם הוא מפסיק להיות מונוטוני.
משמעות פיזית של הנגזרת
תואר קודם לכן הראה בבירור שהנגזרת היא בעצם קצב השינוי של הפונקציה. עידון זה מכיל את המשמעות הפיזית שלו. נקודות קיצון הן אזורים קריטיים בתרשים. אפשר לברר ולגלות אותם על ידי חישוב ערך הנגזרת, שמתברר כשווה לאפס.
יש עוד סימן, שהוא תנאי מספיק לקיצון. הנגזרת במקומות הטיה כאלה משנה את הסימן שלה: מ-"+" ל-"-" באזור המקסימום ומ-"-" ל-"+" באזור המינימום.
תנועה בהשפעת כוח המשיכה
בואו נדמיין מצב אחר. הילדים, ששיחקו בכדור, זרקו אותו בצורה כזו שהוא התחיל לנוע בזווית לאופק. ברגע הראשוני, המהירות של עצם זה הייתה הגדולה ביותר, אך בהשפעת כוח הכבידה היא החלה לרדת, ובכל שנייה באותו ערך, שווה ל-9.8 מ'/שניה בקירוב2. זהו ערך התאוצה המתרחשת בהשפעת כוח המשיכה של כדור הארץ במהלך נפילה חופשית. על הירח הוא יהיה קטן פי שישה בערך.
הגרף המתאר את תנועת הגוף הוא פרבולה עם ענפים,כְּלַפֵּי מַטָה. איך למצוא נקודות קיצון? במקרה זה, זהו קודקוד הפונקציה, שבו מהירות הגוף (הכדור) מקבלת ערך אפס. הנגזרת של הפונקציה הופכת לאפס. במקרה זה, הכיוון, ומכאן ערך המהירות, משתנה להיפך. הגוף עף למטה עם כל שנייה מהר יותר ויותר, ומאיץ באותה כמות - 9.8 מ' לשנייה2.
נגזרת שנייה
במקרה הקודם, הגרף של מודול המהירות מצויר כקו ישר. קו זה מופנה תחילה כלפי מטה, שכן ערכה של כמות זו יורד כל הזמן. לאחר שהגיע לאפס באחת מנקודות הזמן, האינדיקטורים של ערך זה מתחילים לעלות, וכיוון הייצוג הגרפי של מודול המהירות משתנה באופן דרמטי. הקו מצביע כעת למעלה.
למהירות, בהיותה נגזרת הזמן של הקואורדינטה, יש גם נקודה קריטית. באזור זה, הפונקציה, בהתחלה יורדת, מתחילה לעלות. זהו המקום של נקודת הקיצון של הנגזרת של הפונקציה. במקרה זה, השיפוע של המשיק הופך לאפס. והתאוצה, בהיותה הנגזרת השנייה של הקואורדינטה ביחס לזמן, משנה את הסימן מ-"-" ל-"+". והתנועה מאיטיות אחידה נעשית מואצת באופן אחיד.
תרשים האצה
עכשיו שקול ארבע תמונות. כל אחד מהם מציג גרף של השינוי לאורך זמן של כמות פיזיקלית כמו תאוצה. במקרה של "A", ערכו נשאר חיובי וקבוע. המשמעות היא שמהירות הגוף, כמו הקואורדינטה שלו, עולה כל הזמן. אםתארו לעצמכם שהאובייקט ינוע בצורה זו למשך זמן רב לאין שיעור, הפונקציה המשקפת את התלות של הקואורדינטה בזמן תתברר כגוברת כל הזמן. מכאן נובע שאין לו אזורים קריטיים. אין גם נקודות קיצון בגרף של הנגזרת, כלומר מהירות המשתנה באופן ליניארי.
הדבר תקף גם במקרה "B" עם תאוצה חיובית ועולה כל הזמן. נכון, עלילות הקואורדינטות והמהירות יהיו קצת יותר מסובכות כאן.
כאשר האצה שואפת לאפס
בצפייה בתמונה "B", ניתן לראות תמונה שונה לחלוטין המאפיינת את תנועת הגוף. מהירותו תוצג בצורה גרפית כפרבולה עם ענפים המצביעים כלפי מטה. אם נמשיך את הקו המתאר את השינוי בתאוצה עד שהוא נחתך עם ציר ה-OX, ובהמשך, אז נוכל לדמיין שעד לערך קריטי זה, שבו התאוצה מתבררת כשווה לאפס, מהירות העצם תגדל. יותר ויותר לאט. נקודת הקיצון של הנגזרת של פונקציית הקואורדינטות תהיה בדיוק בחלק העליון של הפרבולה, ולאחריה הגוף ישנה באופן קיצוני את אופי התנועה ויתחיל לנוע בכיוון השני.
במקרה האחרון, "G", לא ניתן לקבוע במדויק את אופי התנועה. כאן אנחנו רק יודעים שאין תאוצה במשך תקופה מסוימת שנבדקת. המשמעות היא שהאובייקט יכול להישאר במקומו או שהתנועה מתרחשת במהירות קבועה.
משימה של הוספת קואורדינטות
בוא נעבור למשימות שנמצאות לעתים קרובות בלימודי אלגברה בבית הספר ומוצעות עבורהכנה לבחינה. האיור שלהלן מציג את הגרף של הפונקציה. זה נדרש לחשב את סכום נקודות הקיצון.
בוא נעשה זאת עבור ציר ה-y על ידי קביעת הקואורדינטות של אזורים קריטיים שבהם נצפה שינוי במאפייני הפונקציה. במילים פשוטות, אנו מוצאים את הערכים לאורך ציר ה-x עבור נקודות הפיתול, ולאחר מכן ממשיכים להוסיף את האיברים המתקבלים. לפי הגרף, ברור שהם לוקחים את הערכים הבאים: -8; -7; -5; -3; -2; אחד; 3. זה מצטבר ל-21, וזו התשובה.
פתרון אופטימלי
אין צורך להסביר עד כמה חשובה הבחירה בפתרון האופטימלי בביצוע משימות מעשיות. אחרי הכל, ישנן דרכים רבות להשיג את המטרה, והדרך הטובה ביותר לצאת, ככלל, היא רק אחת. זה הכרחי ביותר, למשל, בעת תכנון ספינות, חלליות וכלי טיס, מבנים ארכיטקטוניים כדי למצוא את הצורה האופטימלית של העצמים האלה מעשה ידי אדם.
המהירות של כלי רכב תלויה במידה רבה במזעור המוכשר של ההתנגדות שהם חווים בעת תנועה במים ובאוויר, מעומסי יתר הנובעים בהשפעת כוחות הכבידה ואינדיקטורים רבים אחרים. ספינה בים זקוקה לאיכויות כמו יציבות במהלך סערה; לספינת נהר חשובה טיוטה מינימלית. בעת חישוב העיצוב האופטימלי, נקודות הקיצון בגרף יכולות לתת חזותית מושג לגבי הפתרון הטוב ביותר לבעיה מורכבת. משימות מסוג זה הן לעתים קרובותפותרים בכלכלה, בתחומים כלכליים, במצבי חיים רבים אחרים.
מההיסטוריה העתיקה
בעיות קיצוניות העסיקו אפילו את החכמים הקדמונים. מדענים יוונים הצליחו לפענח את תעלומת השטחים והנפחים באמצעות חישובים מתמטיים. הם היו הראשונים להבין שבמישור של דמויות שונות עם אותו היקף, למעגל יש תמיד את השטח הגדול ביותר. באופן דומה, כדור ניחן בנפח המרבי בין עצמים אחרים בחלל עם אותו שטח פנים. אישים מפורסמים כמו ארכימדס, אוקלידס, אריסטו, אפולוניוס הקדישו את עצמם לפתרון בעיות כאלה. הרון הצליח מאוד למצוא נקודות קיצון, אשר, לאחר שנעזר בחישובים, בנה מכשירים גאוניים. אלה כללו מכונות אוטומטיות הנעות באמצעות קיטור, משאבות וטורבינות הפועלות על אותו עיקרון.
בניית קרתגו
יש אגדה, שעלילתה מבוססת על פתרון אחת הבעיות הקיצוניות. התוצאה של הגישה העסקית שהדגימה הנסיכה הפיניקית, שפנתה לעזרת החכמים, הייתה בניית קרתגו. חלקת האדמה לעיר עתיקה ומפורסמת זו הוצגה לדידו (זה היה שמו של השליט) על ידי מנהיג אחד השבטים האפריקאים. שטח ההקצאה לא נראה לו בתחילה גדול במיוחד, שכן לפי החוזה היה צריך לכסות אותו בעור שור. אבל הנסיכה הורתה לחייליה לחתוך אותו לרצועות דקות ולעשות מהן חגורה. התברר שהוא כל כך ארוך שהוא כיסה את האתר,איפה שכל העיר השתלבה.
מקורות החשבון
ועכשיו בואו נעבור מימי קדם לעידן מאוחר יותר. מעניין לציין שבמאה ה-17, קפלר התבקש להבין את יסודות הניתוח המתמטי על ידי פגישה עם מוכר יין. הסוחר היה בקיא במקצועו עד כדי כך שהוא יכול היה לקבוע בקלות את נפח המשקה בחבית פשוט על ידי הורדת חוסם עורקים לתוכו. הרהור על סקרנות כזו, המדען המפורסם הצליח לפתור את הדילמה הזו בעצמו. מסתבר שקופרים מיומנים של אותם זמנים הצליחו לייצר כלים בצורה כזו שבגובה ורדיוס מסוימים של היקף טבעות ההידוק תהיה להם קיבולת מקסימלית.
זה היה מסיבה קפלר לשיקוף נוסף. בוכרס הגיעו לפתרון האופטימלי על ידי חיפוש ארוך, טעויות וניסיונות חדשים, כשהם מעבירים את הניסיון שלהם מדור לדור. אבל קפלר רצה לזרז את התהליך וללמוד כיצד לעשות זאת תוך זמן קצר באמצעות חישובים מתמטיים. כל ההתפתחויות שלו, שנקלטו על ידי עמיתים, הפכו למשפטים הידועים כעת של פרמה וניוטון - לייבניץ.
בעיית שטח מקסימלית
בוא נדמיין שיש לנו חוט באורך של 50 ס מ. איך יוצרים ממנו מלבן עם השטח הגדול ביותר?
כאשר מתחילים החלטה, יש לצאת מאמיתות פשוטות וידועים. ברור שההיקף של הדמות שלנו יהיה 50 ס"מ. הוא מורכב גם מאורך כפול משני הצדדים. פירוש הדבר הוא שאחרי שסימן אחד מהם כ-"X", ניתן לבטא את השני כ-(25 - X).
מכאן אנחנו מגיעיםשטח שווה ל-X (25 - X). ביטוי זה יכול להיות מיוצג כפונקציה שמקבלת ערכים רבים. פתרון הבעיה מחייב למצוא את המקסימום מהן, מה שאומר שצריך לברר את נקודות הקיצון.
כדי לעשות זאת, אנו מוצאים את הנגזרת הראשונה ומשווים אותה לאפס. התוצאה היא משוואה פשוטה: 25 - 2X=0.
ממנו אנו למדים שאחת הצלעות X=12, 5.
לכן, אחר: 25 – 12, 5=12, 5.
מסתבר שהפתרון לבעיה יהיה ריבוע עם צלע של 12.5 ס מ.
איך למצוא את המהירות המקסימלית
בואו נשקול דוגמה נוספת. תארו לעצמכם שיש גוף שתנועתו הליווית מתוארת באמצעות המשוואה S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, כאשר המרחק הנסיעה מתבטאת במטרים, והזמן הוא בשניות. זה נדרש כדי למצוא את המהירות המרבית. איך לעשות את זה? הורדת מצא את המהירות, כלומר, הנגזרת הראשונה.
אנו מקבלים את המשוואה: V=- 3t2 + 18t – 24. כעת, כדי לפתור את הבעיה, עלינו שוב למצוא את נקודות הקיצון. זה חייב להיעשות באותו אופן כמו במשימה הקודמת. מצא את הנגזרת הראשונה של המהירות ושווה אותה לאפס.
נקבל: - 6t + 18=0. מכאן ש-t=3 s. זה הזמן שבו מהירות הגוף מקבלת ערך קריטי. נחליף את הנתונים שהתקבלו במשוואת המהירות ונקבל: V=3 m/s.
אבל איך להבין שזו בדיוק המהירות המקסימלית, כי הנקודות הקריטיות של פונקציה יכולות להיות ערכי המקסימום או המינימום שלה? כדי לבדוק, אתה צריך למצוא שנייהנגזרת של מהירות. זה מבוטא כמספר 6 עם סימן מינוס. זה אומר שהנקודה שנמצאה היא המקסימום. ובמקרה של ערך חיובי של הנגזרת השנייה, יהיה מינימום. אז, התברר שהפתרון שנמצא נכון.
המשימות שניתנו כדוגמה הן רק חלק מאלה שניתן לפתור על ידי היכולת למצוא את נקודות הקיצון של פונקציה. למעשה, יש עוד הרבה. וידע כזה פותח אפשרויות בלתי מוגבלות לציוויליזציה האנושית.
