משולש הוא מצולע עם שלוש צלעות (שלוש פינות). לרוב, הצלעות מסומנות באותיות קטנות, המתאימות לאותיות גדולות המציינות קודקודים מנוגדים. במאמר זה נכיר את סוגי הצורות הגיאומטריות הללו, המשפט הקובע מהו סכום הזוויות של משולש.
צפיות לפי זוויות
ניתן להבחין בין סוגי המצולעים הבאים עם שלושה קודקודים:
- חד-זווית, שבה כל הפינות חדות;
- מלבני, בעל זווית ישרה אחת, בעוד שהצלעות היוצרות אותו נקראות רגליים, והצלע הממוקמת מול הזווית הישרה נקראת הירוק;
- קהה כאשר פינה אחת קהה;
- שווה שוקיים, שבהם שתי צלעות שוות, והן נקראות רוחביות, והשלישית היא בסיס המשולש;
- שווי צלעות, עם כל שלוש הצלעות השוות.
Properties
הם מדגישים את המאפיינים העיקריים האופייניים לכל סוג של משולש:
- מול הצד הגדול יותר תמיד יש זווית גדולה יותר, ולהיפך;
- צלעות מנוגדות בגודל שווה הן זוויות שוות, ולהיפך;
- לכל משולש יש שתי זוויות חדות;
- פינה חיצונית גדולה יותר מכל פינה פנימית שאינה צמודה אליה;
- הסכום של כל שתי זוויות הוא תמיד פחות מ-180 מעלות;
- פינה חיצונית שווה לסכום של שתי הפינות האחרות שאינן מצטלבות איתה.
משפט סכום הזוויות
המשפט קובע שאם מחברים את כל הזוויות של דמות גיאומטרית נתונה, שנמצאת במישור האוקלידי, אזי הסכום שלהן יהיה 180 מעלות. בוא ננסה להוכיח את המשפט הזה.
בוא נעשה משולש שרירותי עם קודקודים של KMN.
דרך הקודקוד M צייר קו ישר מקביל לישר KN (קו זה נקרא גם הישר האוקלידי). אנו מסמנים עליו נקודה A כך שנקודות K ו-A ממוקמות בצדדים שונים של הישר MN. נקבל זוויות שוות AMN ו-KNM, שכמו פנימיות שוכנות לרוחב ונוצרות על ידי ה-Secant MN יחד עם ישרים KN ו-MA, המקבילים. מכאן נובע שסכום הזוויות של המשולש הממוקם בקודקודים M ו-H שווה לגודל הזווית KMA. כל שלוש הזוויות מרכיבות את הסכום, ששווה לסכום הזוויות KMA ו-MKN. מאז זוויות אלה הן פנים חד צדדיות ביחס לקווים ישרים מקבילים KN ו-MA עם קמ ש קטע, הסכום שלהם הוא 180 מעלות. המשפט הוכח.
תוצאה
המסקנה הבאה נובעת מהמשפט שהוכח לעיל: לכל משולש יש שתי זוויות חדות. כדי להוכיח זאת, הבה נניח שלדמות גיאומטרית נתונה יש רק זווית חדה אחת. ניתן גם להניח שאף אחת מהזוויות אינה חדה. במקרה זה, חייבות להיות לפחות שתי זוויות השוות או גדולות מ-90 מעלות. אבל אז סכום הזוויות יהיה גדול מ-180 מעלות. אבל זה לא יכול להיות, כי לפי המשפט, סכום הזוויות של משולש הוא 180 מעלות - לא יותר ולא פחות. זה מה שהיה צריך להוכיח.
נכס פינתי חיצוני
מהו סכום הזוויות של משולש שהן חיצוניות? ניתן לענות על שאלה זו באחת משתי דרכים. הראשון הוא שיש צורך למצוא את סכום הזוויות, שנלקחות אחת בכל קודקוד, כלומר שלוש זוויות. השני מרמז שאתה צריך למצוא את הסכום של כל שש הזוויות בקודקודים. ראשית, בואו נתמודד עם האפשרות הראשונה. לכן, המשולש מכיל שש פינות חיצוניות - שתיים בכל קודקוד.
לכל זוג יש זוויות שוות כי הן אנכיות:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
חוץ מזה, ידוע שהזווית החיצונית של משולש שווה לסכום של שתי זוויות פנימיות שאינן מצטלבות איתו. לכן, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
מכאן מסתבר שסכום החיצוניפינות, שנלקחות אחת בכל קודקוד, יהיו שוות ל:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
בהינתן שסכום הזוויות הוא 180 מעלות, ניתן לטעון ש- ∟A + ∟B + ∟C=180°. וזה אומר ש∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. אם נעשה שימוש באפשרות השנייה, אז הסכום של שש הזוויות יהיה גדול פי שניים בהתאמה. כלומר, סכום הזוויות החיצוניות של המשולש יהיה:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
משולש ימני
מהו סכום הזוויות החדות של משולש ישר זווית? התשובה לשאלה זו, שוב, נובעת מהמשפט, הקובע שהזוויות במשולש מסתכמות ב-180 מעלות. והמשפט (הנכס) שלנו נשמע כך: במשולש ישר זווית, זוויות חדות מסתכמות ב-90 מעלות. בואו נוכיח את אמיתותו.
תנו לנו משולש KMN, שבו ∟Н=90°. יש צורך להוכיח ש∟K + ∟M=90°.
אז, לפי משפט סכום הזווית ∟К + ∟М + ∟Н=180°. התנאי שלנו אומר ש∟Н=90°. אז מסתבר, ∟K + ∟M + 90°=180°. כלומר, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. זה מה שהיינו צריכים להוכיח.
בנוסף למאפיינים לעיל של משולש ישר זווית, אתה יכול להוסיף את הדברים הבאים:
- זוויות המונחות כנגד הרגליים חדות;
- התחתון משולש יותר מכל אחת מהרגליים;
- סכום הרגליים גדול מהתחתון;
- רגלמשולש שממול לזווית של 30 מעלות הוא מחצית התחתון, כלומר שווה למחציתו.
כעוד תכונה של דמות גיאומטרית זו, ניתן להבחין במשפט פיתגורס. היא קובעת שבמשולש עם זווית של 90 מעלות (מלבני), סכום ריבועי הרגליים שווה לריבוע של תחתית התחתית.
סכום הזוויות של משולש שווה שוקיים
קודם לכן אמרנו ששוה שוקיים הוא מצולע עם שלושה קודקודים, המכיל שתי צלעות שוות. תכונה זו של דמות גיאומטרית נתונה ידועה: הזוויות בבסיסה שוות. בוא נוכיח את זה.
קח את המשולש KMN, שהוא שווה שוקיים, KN הוא הבסיס שלו.
אנו נדרשים להוכיח ש-∟К=∟Н. אז בוא נגיד ש-MA הוא החציקטור של המשולש שלנו KMN. משולש MCA, תוך התחשבות בסימן השוויון הראשון, שווה למשולש MCA. כלומר, לפי תנאי ניתן ש-KM=NM, MA הוא צד משותף, ∟1=∟2, שכן MA הוא חוצה. בעזרת העובדה ששני המשולשים הללו שווים, נוכל לקבוע ש∟K=∟Н. אז המשפט מוכח.
אבל אנחנו מתעניינים מהו סכום הזוויות של משולש (שווי שוקיים). מכיוון שמבחינה זו אין לו מוזרויות משלו, נתחיל מהמשפט שנחשב קודם לכן. כלומר, אנו יכולים לומר ש- ∟K + ∟M + ∟H=180°, או 2 x ∟K + ∟M=180° (שכן ∟K=∟H). לא נוכיח תכונה זו, שכן משפט סכום המשולש עצמו הוכח קודם לכן.
למעט כפי שנדוןמאפיינים לגבי הזוויות של משולש, יש גם הצהרות חשובות כאלה:
- במשולש שווה שוקיים, הגובה שהונמך לבסיס הוא גם החציון, חציו של הזווית שנמצאת בין צלעות שוות, וגם ציר הסימטריה של הבסיס שלה;
- חציונים (חוצים, גבהים) שנמשכים לצדדים של דמות גיאומטרית כזו שווים.
משולש שווה צלעות
זה נקרא גם ימינה, זה המשולש שכל הצלעות שוות. לכן, גם הזוויות שוות. כל אחד הוא 60 מעלות. בואו נוכיח את הנכס הזה.
נניח שיש לנו משולש KMN. אנו יודעים ש-KM=NM=KN. וזה אומר שלפי תכונת הזוויות הממוקמות בבסיס במשולש שווה שוקיים, ∟К=∟М=∟Н. מכיוון שלפי המשפט, סכום הזוויות של משולש הוא ∟К + ∟М + ∟Н=180°, אז 3 x ∟К=180° או ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Н=60°. לפיכך, ההצהרה מוכחת.
כפי שניתן לראות מההוכחה לעיל המבוססת על המשפט, סכום הזוויות של משולש שווה צלעות, כמו סכום הזוויות של כל משולש אחר, הוא 180 מעלות. אין צורך להוכיח שוב את המשפט הזה.
ישנן גם תכונות כאלה האופייניות למשולש שווה צלעות:
- חציון, חוצה, גובה באיור גיאומטרי כזה זהים, ואורכם מחושב כ-(a x √3): 2;
- אם אתה מתאר מעגל סביב מצולע נתון, הרדיוס שלו יהיהשווה (a x √3): 3;
- אם אתה רושם מעגל לתוך משולש שווה צלעות, הרדיוס שלו יהיה (a x √3): 6;
- השטח של דמות גיאומטרית זו מחושב על ידי הנוסחה: (a2 x √3): 4.
משולש בעל זווית
לפי ההגדרה של משולש קהה, אחת מהזוויות שלו היא בין 90 ל-180 מעלות. אבל בהתחשב בכך ששתי הזוויות האחרות של דמות גיאומטרית זו חדות, אנו יכולים להסיק שהן אינן עולות על 90 מעלות. לכן, משפט סכום הזוויות משולש עובד כאשר מחשבים את סכום הזוויות במשולש קהה. מסתבר שניתן לומר בבטחה, בהתבסס על המשפט הנ ל, שסכום הזוויות של משולש קהה הוא 180 מעלות. שוב, אין צורך להוכיח מחדש את המשפט הזה.
