תפקוד וחקר התכונות שלו הוא אחד מפרקי המפתח במתמטיקה המודרנית. המרכיב העיקרי של כל פונקציה הוא גרפים המתארים לא רק את המאפיינים שלה, אלא גם את הפרמטרים של הנגזרת של פונקציה זו. בואו נסתכל על הנושא המסובך הזה. אז מהי הדרך הטובה ביותר למצוא את נקודות המקסימום והמינימום של פונקציה?
פונקציה: הגדרה
כל משתנה שתלוי בצורה כלשהי בערכים של ערך אחר יכול להיקרא פונקציה. לדוגמה, הפונקציה f(x2) היא ריבועית וקובעת את הערכים לכל קבוצת x. נניח ש-x=9, אז הערך של הפונקציה שלנו יהיה שווה ל-92=81.
פונקציות מגיעות בסוגים רבים ושונים: לוגיות, וקטוריות, לוגריתמיות, טריגונומטריות, מספריות ואחרות. מוחות מצטיינים כמו לקרויה, לגרנז', לייבניץ וברנולי עסקו במחקרם. כתביהם משמשים מעוז בדרכים מודרניות ללימוד פונקציות. לפני מציאת נקודות המינימום, חשוב מאוד להבין את עצם המשמעות של הפונקציה והנגזרת שלה.
הנגזרת ותפקידה
כל הפונקציות נמצאותבהתאם לערכי המשתנים שלהם, מה שאומר שהם יכולים לשנות את ערכם בכל עת. על הגרף, זה יוצג כעקומה שיורדת או עולה לאורך ציר ה-y (זהו כל הסט של מספרי "y" לאורך האנכי של הגרף). ולכן ההגדרה של נקודה של מקסימום ומינימום של פונקציה פשוט קשורה ל"תנודות" הללו. הבה נסביר מה הקשר הזה.
הנגזרת של כל פונקציה משורטטת על גרף על מנת ללמוד את המאפיינים העיקריים שלה ולחשב באיזו מהירות הפונקציה משתנה (כלומר משנה את ערכה בהתאם למשתנה "x"). ברגע שהפונקציה תגדל, גם הגרף של הנגזרת שלה יגדל, אבל בכל שנייה הפונקציה עלולה להתחיל לרדת ואז הגרף של הנגזרת יקטן. אותן נקודות שבהן הנגזרת עוברת ממינוס לפלוס נקראות נקודות מינימום. כדי לדעת איך למצוא את נקודות המינימום, כדאי להבין טוב יותר את המושג של הנגזרת.
איך לחשב את הנגזרת?
הגדרת וחישוב הנגזרת של פונקציה מרמזים על כמה מושגים מתוך חשבון דיפרנציאלי. באופן כללי, ניתן לבטא את עצם הגדרת הנגזרת כך: זהו הערך שמראה את קצב השינוי של הפונקציה.
הדרך המתמטית לקבוע זאת עבור תלמידים רבים נראית מסובכת, אבל למעשה הכל הרבה יותר פשוט. אתה רק צריך לעקובתוכנית סטנדרטית למציאת הנגזרת של כל פונקציה. להלן מתאר כיצד ניתן למצוא את נקודת המינימום של פונקציה מבלי להחיל את כללי ההבחנה ומבלי לשנן את טבלת הנגזרות.
- ניתן לחשב את הנגזרת של פונקציה באמצעות גרף. כדי לעשות זאת, אתה צריך לתאר את הפונקציה עצמה, ואז לקחת עליה נקודה אחת (נקודה A באיור.) לצייר קו אנכית מטה לציר האבשיסה (נקודה x0), ו בנקודה A צייר משיק לפונקציה גרפיקה. ציר האבססיס והמשיק יוצרים זווית a. כדי לחשב את הערך של כמה מהר הפונקציה גדלה, עליך לחשב את הטנגנס של זווית זו a.
- מסתבר שהמשיק של הזווית בין המשיק לכיוון ציר ה-x הוא הנגזרת של הפונקציה בשטח קטן עם נקודה A. שיטה זו נחשבת לדרך גיאומטרית לקביעת הנגזרת.
שיטות לחקר פונקציה
בתכנית הלימודים של בית הספר למתמטיקה, אפשר למצוא את נקודת המינימום של פונקציה בשתי דרכים. את השיטה הראשונה כבר ניתחנו באמצעות הגרף, אבל איך לקבוע את הערך המספרי של הנגזרת? לשם כך, תצטרכו ללמוד מספר נוסחאות המתארות את המאפיינים של הנגזרת ועוזרות להמיר משתנים כמו "x" למספרים. השיטה הבאה היא אוניברסלית, כך שניתן ליישם אותה כמעט על כל מיני פונקציות (גם גיאומטריות וגם לוגריתמיות).
- יש צורך להשוות את הפונקציה לפונקציה הנגזרת, ולאחר מכן לפשט את הביטוי באמצעות הכלליםבידול.
- חלק באפס).
- לאחר מכן, עליך להמיר את הצורה המקורית של הפונקציה למשוואה פשוטה, המשווה את הביטוי כולו לאפס. לדוגמה, אם הפונקציה נראתה כך: f(x)=2x3+38x, אז לפי כללי הבידול, הנגזרת שלה שווה ל-f'(x)=3x 2 +1. לאחר מכן אנו הופכים את הביטוי הזה למשוואה בצורה הבאה: 3x2+1=0.
- לאחר פתירת המשוואה ומציאת הנקודות "x", יש לצייר אותן על ציר ה-x ולקבוע האם הנגזרת באזורים אלו בין הנקודות המסומנות היא חיובית או שלילית. לאחר הייעוד יתברר באיזו נקודה הפונקציה מתחילה לרדת, כלומר משנה סימן ממינוס להיפך. בדרך זו תוכל למצוא את נקודות המינימום והמקסימום כאחד.
כללי בידול
החלק הבסיסי ביותר בלימוד פונקציה והנגזרת שלה הוא הכרת כללי ההבחנה. רק בעזרתם ניתן להפוך ביטויים מסורבלים ופונקציות מורכבות גדולות. בואו נכיר אותם, יש די הרבה כאלה, אבל כולם פשוטים מאוד בגלל המאפיינים הקבועים של פונקציות חזקות וגם לוגריתמיות.
- הנגזרת של כל קבוע היא אפס (f(x)=0). כלומר, הנגזרת f(x)=x5+ x - 160 תהיה בצורה הבאה: f' (x)=5x4+1.
- הנגזרת של סכום שני איברים: (f+w)'=f'w + fw'.
- נגזרת של פונקציה לוגריתמית: (logad)'=d/ln ad. נוסחה זו חלה על כל מיני לוגריתמים.
- נגזרת של תואר: (x)'=nxn-1. לדוגמה, (9x2)'=92x=18x.
- נגזרת של פונקציה סינוסואידית: (sin a)'=cos a. אם החטא של זווית a הוא 0.5, אז הנגזרת שלה היא √3/2.
נקודות קיצוניות
כבר הבנו איך למצוא את נקודות המינימום, עם זאת, יש את הרעיון של נקודות מקסימום של פונקציה. אם המינימום מציין את הנקודות שבהן הפונקציה עוברת ממינוס לפלוס, אזי הנקודות המקסימליות הן אותן נקודות על ציר ה-x שבהן הנגזרת של הפונקציה משתנה מפלוס להפוכה - מינוס.
ניתן למצוא את הנקודות המקסימליות בשיטה שתוארה לעיל, רק שיש לקחת בחשבון שהן מציינות את אותם אזורים שבהם הפונקציה מתחילה לרדת, כלומר, הנגזרת תהיה קטנה מאפס.
במתמטיקה נהוג להכליל את שני המושגים, ולהחליף אותם בביטוי "נקודות קיצון". כאשר המשימה מבקשת לקבוע את הנקודות הללו, זה אומר שיש צורך לחשב את הנגזרת של פונקציה זו ולמצוא את נקודות המינימום והמקסימום.
