כאשר לומדים תנועה מכנית בפיזיקה, לאחר היכרות עם תנועה אחידה ומואצת אחידה של עצמים, הם ממשיכים לשקול את תנועת הגוף בזווית לאופק. במאמר זה נלמד סוגיה זו ביתר פירוט.
מהי התנועה של גוף בזווית לאופק?
סוג זה של תנועת אובייקט מתרחש כאשר אדם זורק סלע לאוויר, תותח יורה בכדור תותח, או שוער בועט כדור כדורגל מחוץ לשער. כל המקרים הללו נחשבים על ידי מדע הבליסטיקה.
סוג התנועה המצוין של עצמים באוויר מתרחש לאורך מסלול פרבולי. במקרה הכללי, ביצוע החישובים המתאימים אינו משימה קלה, שכן יש צורך לקחת בחשבון את התנגדות האוויר, סיבוב הגוף במהלך הטיסה, סיבוב כדור הארץ סביב צירו ועוד כמה גורמים.
במאמר זה, לא ניקח בחשבון את כל הגורמים הללו, אלא נשקול את הנושא מנקודת מבט תיאורטית בלבד. עם זאת, הנוסחאות המתקבלות טובות למדיתאר את מסלולי הגופים הנעים למרחקים קצרים.
השגת נוסחאות לסוג התנועה הנחשב
בואו נגזר את הנוסחאות לתנועת הגוף אל האופק בזווית. במקרה זה, ניקח בחשבון רק כוח אחד בודד הפועל על עצם מעופף - כוח הכבידה. מכיוון שהוא פועל אנכית כלפי מטה (מקביל לציר ה-y וכנגדו), אז בהתחשב במרכיבים האופקיים והאנכיים של התנועה, ניתן לומר שלראשון יהיה אופי של תנועה ישרה אחידה. והשני - תנועה ישרה איטית (מואצת שווה) באותה מידה עם תאוצה g. כלומר, מרכיבי המהירות דרך הערך v0 (מהירות התחלתית) ו-θ (זווית כיוון תנועת הגוף) ייכתבו באופן הבא:
vx=v0cos(θ)
vy=v0sin(θ)-gt
הנוסחה הראשונה (עבור vx) תקפה תמיד. לגבי השני, יש לציין כאן ניואנס אחד: סימן המינוס לפני המוצר gt מושם רק אם הרכיב האנכי v0sin(θ) מופנה כלפי מעלה. עם זאת, ברוב המקרים זה קורה, אם אתה זורק גוף מגובה, מכוון אותו כלפי מטה, אז בביטוי של vy עליך לשים סימן "+" לפני g t.
שילוב הנוסחאות של מרכיבי המהירות לאורך זמן, ובהתחשב בגובה ההתחלתי h של טיסת הגוף, נקבל את המשוואות לקואורדינטות:
x=v0cos(θ)t
y=h+v0sin(θ)t-gt2/2
חשב טווח טיסות
כאשר בוחנים בפיזיקה את תנועת הגוף אל האופק בזווית שימושית לשימוש מעשי, מסתבר לחישוב טווח הטיסה. בוא נגדיר את זה.
מכיוון שתנועה זו היא תנועה אחידה ללא תאוצה, מספיק להחליף את זמן הטיסה לתוכה ולקבל את התוצאה הרצויה. טווח הטיסה נקבע אך ורק על ידי תנועה לאורך ציר ה-x (מקביל לאופק).
ניתן לחשב את הזמן בו הגוף נמצא באוויר על ידי השוואת קואורדינטת ה-y לאפס. יש לנו:
0=h+v0sin(θ)t-gt2/2
המשוואה הריבועית הזו נפתרת באמצעות המבחן, נקבל:
D=b2- 4ac=v02sin 2(θ) - 4(-g/2)h=v02 sin2(θ) + 2gh, t=(-b±√D)/(2a)=(-v0sin(θ)±√(v0 2sin2(θ) + 2gh))/(-2g/2)=
=(v0sin(θ)+√(v02 sin2(θ) + 2gh))/g.
בביטוי האחרון, שורש אחד עם סימן מינוס מושלך, בשל ערכו הפיזי חסר החשיבות. החלפת זמן הטיסה t בביטוי עבור x, נקבל את טווח הטיסה l:
l=x=v0cos(θ)(v0sin(θ)+√(v) 02sin2(θ) + 2gh))/g.
הדרך הקלה ביותר לנתח את הביטוי הזה היא אם הגובה ההתחלתישווה לאפס (h=0), אז נקבל נוסחה פשוטה:
l=v 02sin(2θ)/g
ביטוי זה מציין שניתן לקבל את טווח הטיסה המרבי אם הגוף נזרק בזווית של 45o(sin(245o) )=m1).
גובה הגוף המקסימלי
מלבד טווח הטיסה, זה גם שימושי למצוא את הגובה מעל הקרקע שאליו הגוף יכול להתרומם. מכיוון שסוג זה של תנועה מתואר על ידי פרבולה, שענפיה מופנים כלפי מטה, גובה ההרמה המרבי הוא הקיצוני שלה. זה האחרון מחושב על ידי פתרון המשוואה עבור הנגזרת ביחס ל-t עבור y:
dy/dt=d(h+v0sin(θ)t-gt2/2)/dt=v0sin(θ)-gt=0=>
=>t=v0sin(θ)/g.
תחליף הפעם את y במשוואה, נקבל:
y=h+v0sin(θ)v0sin(θ)/g-g(v 0sin(θ)/g)2/2=h + v0 2sin2(θ)/(2g).
ביטוי זה מציין שהגוף יעלה לגובה המקסימלי אם הוא ייזרק אנכית כלפי מעלה (sin2(90o)=1).
