כל אחד מאיתנו זרק אבנים לשמים וצפה במסלול נפילתו. זוהי הדוגמה הנפוצה ביותר לתנועה של גוף נוקשה בשדה כוחות הכבידה של הפלנטה שלנו. במאמר זה נשקול נוסחאות שיכולות להיות שימושיות לפתרון בעיות בתנועה חופשית של גוף שנזרק לאופק בזווית.
המושג לנוע לעבר האופק בזווית
כאשר ניתנת לעצם מוצק כלשהו מהירות התחלתית, והוא מתחיל לצבור גובה, ואז, שוב, נופל על הקרקע, מקובל בדרך כלל שהגוף נע לאורך מסלול פרבולי. למעשה, פתרון המשוואות לתנועה מסוג זה מראה שהקו שמתאר הגוף באוויר הוא חלק מאליפסה. עם זאת, לשימוש מעשי, הקירוב הפרבולי מתברר כנוח למדי ומוביל לתוצאות מדויקות.
דוגמאות לתנועה של גוף שנזרק בזווית לאופק הן ירי קליע מלוע תותח, בעיטה בכדור ואפילו קפיצת חלוקי נחל על פני המים ("קרפדות"), שהם מוּחזָקתחרויות בינלאומיות.
סוג התנועה בזווית נחקר על ידי בליסטיקה.
מאפיינים מסוג התנועה הנחשב
כאשר בוחנים את המסלול של גוף בשדה כוחות הכבידה של כדור הארץ, ההצהרות הבאות נכונות:
- הכרת הגובה, המהירות והזווית ההתחלתית לאופק מאפשרת לך לחשב את כל המסלול;
- זווית היציאה שווה לזווית הפגיעה של הגוף, בתנאי שהגובה ההתחלתי הוא אפס;
- ניתן לשקול תנועה אנכית ללא תלות בתנועה אופקית;
שים לב שמאפיינים אלה תקפים אם כוח החיכוך במהלך מעוף הגוף זניח. בבליסטיקה, כאשר לומדים את מעוף הטילים, נלקחים בחשבון גורמים רבים ושונים, כולל חיכוך.
סוגי תנועה פרבולית
בהתאם לגובה שממנו מתחילה התנועה, באיזה גובה היא מסתיימת, וכיצד מכוונת המהירות ההתחלתית, מבחינים בין סוגי התנועה הפרבולית הבאים:
- פרבולה מלאה. במקרה זה, הגוף נזרק מפני השטח של כדור הארץ, והוא נופל על פני השטח הזה, ומתאר פרבולה שלמה.
- חצי פרבולה. גרף כזה של תנועת הגוף נצפה אם הוא נזרק מגובה מסוים h, מכוון את המהירות v במקביל לאופק, כלומר בזווית θ=0o.
- חלק מפרבולה. מסלולים כאלה מתעוררים כאשר גוף נזרק בזווית כלשהי θ≠0o, וההבדלגם גבהי ההתחלה והסיום אינם אפס (h-h0≠0). רוב מסלולי תנועת האובייקט הם מסוג זה. לדוגמה, ירייה מתותח שעומד על גבעה, או שחקן כדורסל שזורק כדור לסל.
גרף תנועת הגוף התואם לפרבולה מלאה מוצג למעלה.
נוסחאות נדרשות לחישוב
בוא ניתן נוסחאות לתיאור התנועה של גוף שנזרק בזווית לאופק. אם מזניחים את כוח החיכוך, ולוקחים בחשבון רק את כוח הכבידה, נוכל לכתוב שתי משוואות למהירות של עצם:
vx=v0cos(θ)
vy=v0sin(θ) - gt
מכיוון שהכבידה מכוונת אנכית כלפי מטה, היא אינה משנה את הרכיב האופקי של המהירות vx, כך שאין תלות בזמן בשוויון הראשון. הרכיב vy, בתורו, מושפע מכוח הכבידה, שנותן ל-g תאוצה לגוף המכוונת לכיוון הקרקע (ומכאן סימן המינוס בנוסחה).
עכשיו בואו נכתוב נוסחאות לשינוי הקואורדינטות של גוף שנזרק בזווית לאופק:
x=x0+v0cos(θ)t
y=y0+ v0sin(θ)t - gt2 /2
קואורדינטת מתחילה x0לרוב ההנחה היא אפס. הקואורדינטה y0 אינה אלא הגובה h שממנו זורקים את הגופה (y0=h).
עכשיו בואו נביע את הזמן t מהביטוי הראשון ונחליף אותו בשני, נקבל:
y=h + tg(θ)x - g /(2v02cos 2(θ))x2
ביטוי זה בגיאומטריה מתאים לפרבולה שענפיה מופנים כלפי מטה.
המשוואות לעיל מספיקות כדי לקבוע כל מאפיינים של סוג זה של תנועה. אז, הפתרון שלהם מוביל לעובדה שטווח הטיסה המרבי מושג אם θ=45o, בעוד שהגובה המקסימלי שאליו עולה הגוף הנזרק מושג כאשר θ=90o.
