בטבע ובטכנולוגיה, אנו נתקלים לעתים קרובות בביטוי של תנועה סיבובית של גופים מוצקים, כגון פירים וגלגלי שיניים. כיצד מתואר סוג זה של תנועה בפיזיקה, באילו נוסחאות ומשוואות משתמשים לשם כך, נושאים אלו ואחרים מכוסים במאמר זה.
מה זה רוטציה?
כל אחד מאיתנו מדמיין באופן אינטואיטיבי על איזה סוג של תנועה אנחנו מדברים. סיבוב הוא תהליך שבו גוף או נקודה חומרית נעים לאורך מסלול מעגלי סביב ציר כלשהו. מנקודת מבט גיאומטרית, ציר הסיבוב של גוף קשיח הוא קו ישר, שהמרחק אליו נשאר ללא שינוי במהלך התנועה. מרחק זה נקרא רדיוס הסיבוב. להלן נסמן אותו באות ר'. אם ציר הסיבוב עובר דרך מרכז המסה של הגוף, אז הוא נקרא ציר משלו. דוגמה לסיבוב סביב הציר שלו היא התנועה המתאימה של כוכבי הלכת של מערכת השמש.
כדי שסיבוב יתרחש, חייבת להיות תאוצה צנטריפטית, המתרחשת עקבכוח צנטריפטלי. כוח זה מופנה ממרכז המסה של הגוף אל ציר הסיבוב. אופי הכוח הצנטריפטלי יכול להיות שונה מאוד. אז, בקנה מידה קוסמי, כוח הכבידה ממלא את תפקידו, אם הגוף מקובע על ידי חוט, אז כוח המתח של האחרון יהיה צנטריפטלי. כאשר גוף מסתובב סביב הציר שלו, תפקידו של הכוח הצנטריפטלי ממלא את האינטראקציה האלקטרוכימית הפנימית בין היסודות (מולקולות, אטומים) המרכיבים את הגוף.
יש להבין שללא נוכחות של כוח צנטריפטלי, הגוף ינוע בקו ישר.
כמויות פיזיות המתארות סיבוב
ראשית, זה מאפיינים דינמיים. אלה כוללים:
- מומנטום L;
- רגע אינרציה I;
- רגע של כוח M.
שנית, אלו הם המאפיינים הקינמטיים. בואו נרשום אותם:
- זווית סיבוב θ;
- מהירות זוויתית ω;
- האצה זוויתית α.
בוא נתאר בקצרה כל אחת מהכמויות האלה.
התנע הזוויתי נקבע על ידי הנוסחה:
L=pr=mvr
כאשר p הוא התנע הליניארי, m היא המסה של נקודת החומר, v היא המהירות הליניארית שלה.
מומנט האינרציה של נקודה מהותית מחושב באמצעות הביטוי:
I=mr2
עבור כל גוף בעל צורה מורכבת, הערך של I מחושב כסכום האינטגרלי של מומנטי האינרציה של נקודות החומר.
רגע הכוח M מחושב באופן הבא:
M=Fd
כאן F -כוח חיצוני, d - מרחק מנקודת הפעלתו לציר הסיבוב.
המשמעות הפיזית של כל הכמויות, שבשמה נמצאת המילה "רגע", דומה למשמעותן של הכמויות הליניאריות המקבילות. לדוגמה, רגע הכוח מראה את היכולת של כוח מופעל להקנות תאוצה זוויתית למערכת של גופים מסתובבים.
מאפיינים קינמטיים מוגדרים מתמטית על ידי הנוסחאות הבאות:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt.
כפי שניתן לראות מביטויים אלה, המאפיינים הזוויתיים דומים במשמעותם לאלו הליניאריים (מהירות v ותאוצה a), רק שהם ישימים למסלול מעגלי.
דינמיקת סיבוב
בפיסיקה, חקר התנועה הסיבובית של גוף קשיח מתבצע בעזרת שני ענפי מכניקה: דינמיקה וקינמטיקה. בואו נתחיל עם דינמיקה.
דינמיקה חוקרת כוחות חיצוניים הפועלים על מערכת של גופים מסתובבים. הבה נכתוב מיד את משוואת התנועה הסיבובית של גוף קשיח, ולאחר מכן ננתח את החלקים המרכיבים אותו. אז המשוואה הזו נראית כך:
M=Iα
מומנט הכוח, הפועל על מערכת עם מומנט אינרציה I, גורם להופעת תאוצה זוויתית α. ככל שהערך של I קטן יותר, כך קל יותר בעזרת רגע מסוים M לסובב את המערכת במהירויות גבוהות במרווחי זמן קצרים. לדוגמה, מוט מתכת קל יותר לסובב לאורך צירו מאשר בניצב לו. עם זאת, קל יותר לסובב את אותו מוט סביב ציר שניצב לו ועובר דרך מרכז המסה מאשר דרך קצהו.
חוק שימורערכים L
ערך זה הוצג לעיל, הוא נקרא המומנטום הזוויתי. משוואת התנועה הסיבובית של גוף קשיח, שהוצגה בפסקה הקודמת, כתובה לעתים קרובות בצורה אחרת:
Mdt=dL
אם מומנט הכוחות החיצוניים M פועל על המערכת בזמן dt, אז הוא גורם לשינוי בתנע הזוויתי של המערכת ב-dL. בהתאם לכך, אם מומנט הכוחות שווה לאפס, אז L=const. זהו חוק השימור של הערך L. עבורו, באמצעות הקשר בין מהירות ליניארית וזוויתית, נוכל לכתוב:
L=mvr=mωr2=Iω.
לכן, בהיעדר מומנט הכוחות, מכפלת המהירות הזוויתית ומומנט האינרציה הוא ערך קבוע. החוק הפיזי הזה משמש מחליקים אומנותיים בהופעות שלהם או לוויינים מלאכותיים שצריך לסובב סביב הציר שלהם בחלל החיצון.
תאוצה צנטריפטית
לעיל, בחקר התנועה הסיבובית של גוף קשיח, כמות זו כבר תוארה. כמו כן צוין טבעם של הכוחות הצנטריפטליים. כאן רק נשלים מידע זה וניתן את הנוסחאות המתאימות לחישוב תאוצה זו. סמן זאת c.
מכיוון שהכוח הצנטריפטלי מכוון בניצב לציר ועובר דרכו, הוא לא יוצר רגע. כלומר, לכוח הזה אין שום השפעה על המאפיינים הקינמטיים של הסיבוב. עם זאת, הוא יוצר תאוצה צנטריפטית. אנו נותנים שתי נוסחאות עבורההגדרות שלו:
ac=v2/r;
ac=ω2r.
לכן, ככל שהמהירות והרדיוס הזוויתיים גדולים יותר, כך יש להפעיל את הכוח כדי לשמור את הגוף במסלול מעגלי. דוגמה בולטת לתהליך פיזי זה היא החלקה של מכונית במהלך סיבוב. החלקה מתרחשת כאשר הכוח הצנטריפטלי, המופעל על ידי כוח החיכוך, הופך פחות מהכוח הצנטריפוגלי (מאפיין אינרציאלי).
קינמטיקה של סיבוב
שלושה מאפיינים קינמטיים עיקריים פורטו למעלה במאמר. הקינמטיקה של התנועה הסיבובית של גוף קשיח מתוארת בנוסחאות הבאות:
θ=ωt=>ω=const., α=0;
θ=ω0t + αt2/2=> ω=ω0 + αt, α=const.
השורה הראשונה מכילה נוסחאות לסיבוב אחיד, המניח היעדר מומנט חיצוני של כוחות הפועלים על המערכת. השורה השנייה מכילה נוסחאות לתנועה מואצת אחידה במעגל.
שים לב שסיבוב יכול להתרחש לא רק עם תאוצה חיובית, אלא גם עם תאוצה שלילית. במקרה זה, בנוסחאות של השורה השנייה, שים סימן מינוס לפני האיבר השני.
דוגמה לפתרון בעיות
רגע של כוח של 1000 Nm פעל על פיר המתכת במשך 10 שניות. בידיעה שרגע האינרציה של הפיר הוא 50kgm2, יש צורך לקבוע את המהירות הזוויתית שרגע הכוח הנזכר נתן לפיר.
החלת משוואת הסיבוב הבסיסית, אנו מחשבים את תאוצת הציר:
M=Iα=>
α=M/I.
מכיוון שתאוצה זוויתית זו פעלה על הציר במהלך הזמן t=10 שניות, אנו משתמשים בנוסחת התנועה המואצת באופן אחיד כדי לחשב את המהירות הזוויתית:
ω=ω0+ αt=M/It.
כאן ω0=0 (הפיר לא הסתובב עד מומנט הכוח M).
תחליף את הערכים המספריים של הכמויות לשוויון, נקבל:
ω=1000/5010=200 רד/s.
כדי לתרגם את המספר הזה לסיבובים הרגילים לשנייה, עליך לחלק אותו ב-2pi. לאחר השלמת פעולה זו, נקבל שהציר יסתובב בתדר של 31.8 סל ד.
