אחד הנושאים הקשים והבלתי מובנים במתמטיקה באוניברסיטה הוא אינטגרציה וחשבון דיפרנציאלי. אתה צריך להכיר ולהבין את המושגים האלה, כמו גם להיות מסוגל ליישם אותם. דיסציפלינות טכניות רבות באוניברסיטאות קשורות להפרשים ולאינטגרלים.
מידע קצר על משוואות
משוואות אלו הן אחד המושגים המתמטיים החשובים ביותר במערכת החינוך. משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המקשרת בין המשתנים הבלתי תלויים, הפונקציה שתימצא והנגזרות של אותה פונקציה למשתנים שיש להניח שהם בלתי תלויים. חשבון דיפרנציאלי למציאת פונקציה של משתנה אחד נקרא רגיל. אם הפונקציה הרצויה תלויה במספר משתנים, אז מדברים על משוואת דיפרנציאלית חלקית.
למעשה, מציאת תשובה מסוימת למשוואה מסתכמת באינטגרציה, ושיטת הפתרון נקבעת לפי סוג המשוואה.
משוואות מסדר ראשון
משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון היא משוואה שיכולה לתאר משתנה, פונקציה רצויה והנגזרת הראשונה שלו. ניתן לתת משוואות כאלה בשלוש צורות: מפורשת, מרומזת, דיפרנציאלית.
המושגים הדרושים לפתרון
מצב התחלתי - קביעת הערך של הפונקציה הרצויה עבור ערך נתון של משתנה שהוא בלתי תלוי.
פתרון של משוואת דיפרנציאלית - כל פונקציה ניתנת להבדלה, המוחלפת בדיוק במשוואה המקורית, הופכת אותה לשווה זהה. הפתרון המתקבל, שאינו מפורש, הוא האינטגרל של המשוואה.
הפתרון הכללי של משוואות דיפרנציאליות הוא פונקציה y=y(x;C), שיכולה לעמוד בשיקולים הבאים:
- לפונקציה יכולה להיות רק קבוע שרירותי אחד С.
- הפונקציה המתקבלת חייבת להיות פתרון למשוואה עבור כל ערכים שרירותיים של קבוע שרירותי.
- עם תנאי התחלתי נתון, ניתן להגדיר קבוע שרירותי בצורה ייחודית כך שהפתרון המסוים שנוצר יהיה עקבי עם התנאי ההתחלתי המוקדם הנתון.
בפועל, לעתים קרובות נעשה שימוש בבעיית Cauchy - מציאת פתרון מיוחד וניתן להשוות אותו לתנאי שנקבע בהתחלה.
משפט קאוצ'י הוא משפט המדגיש את קיומו וייחודו של פתרון מסוים בחשבון דיפרנציאלי.
חוש גיאומטרי:
- פתרון כללי y=y(x;C)משוואה היא המספר הכולל של עקומות אינטגרליות.
- חשבון דיפרנציאלי מאפשר לך לחבר את הקואורדינטות של נקודה במישור ה-XOY ואת המשיק המצויר לעקומה האינטגרלית.
- הגדרת המצב ההתחלתי פירושה קביעת נקודה במטוס.
- כדי לפתור את בעיית Cauchy פירושו שמתוך כל קבוצת העקומות האינטגרליות המייצגות את אותו פתרון של המשוואה, יש צורך לבחור את היחידה שעוברת דרך הנקודה היחידה האפשרית.
- התגשמות התנאים של משפט קאוצ'י בנקודה פירושה שעקומה אינטגרלית (יתרה מכך, רק אחת) עוברת בהכרח דרך הנקודה הנבחרת במישור.
משוואת משתנה נפרדת
לפי הגדרה, משוואה דיפרנציאלית היא משוואה שבה הצד הימני שלה מתאר או משתקף כמכפלה (לפעמים יחס) של שתי פונקציות, האחת תלויה רק ב-"x", והשנייה - רק ב-"y ". דוגמה ברורה לסוג זה: y'=f1(x)f2(y).
כדי לפתור משוואות של צורה מסוימת, תחילה עליך להפוך את הנגזרת y'=dy/dx. לאחר מכן, על ידי מניפולציה של המשוואה, עליך להביא אותה לצורה שבה תוכל לשלב את שני חלקי המשוואה. לאחר השינויים הנדרשים, אנו משלבים את שני החלקים ומפשטים את התוצאה.
משוואות הומוגניות
לפי הגדרה, ניתן לקרוא למשוואה דיפרנציאלית הומוגנית אם יש לה את הצורה הבאה: y'=g(y/x).
במקרה זה, לרוב נעשה שימוש בתחליף y/x=t(x).
כדי לפתור משוואות כאלה, יש צורך לצמצם משוואה הומוגנית לצורה עם משתנים הניתנים להפרדה. לשם כך, עליך לבצע את הפעולות הבאות:
- הצג, המבטאת את הנגזרת של הפונקציה המקורית, מכל פונקציה מקורית כמשוואה חדשה.
- השלב הבא הוא להפוך את הפונקציה המתקבלת לצורה f(x;y)=g(y/x). במילים פשוטות יותר, הפוך את המשוואה להכיל רק את היחס y/x וקבועים.
- בצע את ההחלפה הבאה: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. ההחלפה שבוצעה תעזור לחלק את המשתנים במשוואה, ויביא אותה בהדרגה לצורה פשוטה יותר.
משוואות לינאריות
ההגדרה של משוואות כאלה היא כדלקמן: משוואה דיפרנציאלית לינארית היא משוואה שבה הצד הימני שלה מתבטא כביטוי ליניארי ביחס לפונקציה המקורית. הפונקציה הרצויה במקרה זה: y'=a(x)y + b(x).
בואו ננסח מחדש את ההגדרה כך: כל משוואה מסדר 1 תהפוך ללינארית בצורתה אם הפונקציה המקורית והנגזרת שלה נכללות במשוואת המעלה הראשונה ואינן מוכפלות זו בזו. ל"צורה הקלאסית" של משוואה דיפרנציאלית לינארית יש את המבנה הבא: y' + P(x)y=Q(x).
לפני פתרון משוואה כזו, יש להמיר אותה ל"צורה הקלאסית". השלב הבא יהיה בחירת שיטת הפתרון: שיטת ברנולי או שיטת לגראנז'.
פתרון המשוואה עםבאמצעות השיטה שהציג ברנולי, מרמז על החלפה והפחתה של משוואת דיפרנציאלית לינארית לשתי משוואות עם משתנים נפרדים ביחס לפונקציות U(x) ו-V(x), שניתנו בצורתן המקורית.
שיטת לגראנז' היא למצוא פתרון כללי למשוואה המקורית.
- יש צורך למצוא את אותו פתרון של המשוואה ההומוגנית. לאחר חיפוש, יש לנו את הפונקציה y=y(x, C), כאשר C הוא קבוע שרירותי.
- אנחנו מחפשים פתרון למשוואה המקורית באותה צורה, אבל אנחנו מחשיבים C=C(x). נחליף את הפונקציה y=y(x, C(x)) במשוואה המקורית, נמצא את הפונקציה C(x) ורשום את הפתרון של המשוואה המקורית הכללית.
משוואת ברנולי
משוואת ברנולי - אם הצד הימני של החשבון מקבל את הצורה f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, כאשר k הוא כל ערך מספרי רציונלי אפשרי, שאינו מקבל כערך מקרים לדוגמה כאשר k=0 ו-k=1.
אם k=1, אז החשבון הופך לניתן להפרדה, וכאשר k=0, המשוואה נשארת לינארית.
בואו נשקול את המקרה הכללי של פתרון משוואה מסוג זה. יש לנו את משוואת ברנולי הסטנדרטית. יש לצמצם אותו לליניארי, בשביל זה אתה צריך לחלק את המשוואה ב-yk. לאחר פעולה זו, החלף את z(x)=y1-k. לאחר סדרה של טרנספורמציות, המשוואה תצטמצם ללינארית, לרוב בשיטת ההחלפה z=UV.
משוואות בהפרשים הכוללים
הגדרה. משוואה עם המבנה P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 נקראת משוואה מלאהדיפרנציאלים, אם מתקיים התנאי הבא (בתנאי זה, "d" הוא הפרש חלקי): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
כל משוואות הדיפרנציאל מסדר ראשון שנחשבו קודם לכן יכולות להיות מוצגות כהפרשים.
חישובים כאלה נפתרים בכמה דרכים. אבל, עם זאת, כולם מתחילים בבדיקת מצב. אם התנאי מתקיים, אז האזור השמאלי ביותר של המשוואה הוא ההפרש הכולל של הפונקציה הבלתי ידועה עדיין U(x;y). לאחר מכן, בהתאם למשוואה, dU (x; y) יהיה שווה לאפס, ולכן אותו אינטגרל של המשוואה בהפרשים הכוללים יוצג בצורה U (x; y) u003d C. לכן, ה- פתרון המשוואה מצטמצם למציאת הפונקציה U (x; y).
גורם שילוב
אם התנאי dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx אינו מתקיים במשוואה, אז למשוואה אין את הצורה שחשבנו למעלה. אבל לפעמים אפשר לבחור פונקציה כלשהי M(x;y), כאשר מכפילים בה המשוואה לובשת צורה של משוואה ב"דיפרורים" מלאים. הפונקציה M (x;y) מכונה הגורם המשלב.
ניתן למצוא אינטגרטור רק כאשר הוא הופך לפונקציה של משתנה אחד בלבד.
