אפילו בבית הספר, כל אחד מאיתנו למד משוואות ובוודאי מערכות משוואות. אבל לא הרבה אנשים יודעים שיש כמה דרכים לפתור אותם. היום ננתח בפירוט את כל השיטות לפתרון מערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות, המורכבות מיותר משני שווים.
היסטוריה
היום ידוע שאמנות פתרון המשוואות ומערכותיהן מקורן בבבל ובמצרים העתיקה. עם זאת, שוויון בצורתם הרגילה הופיעו לאחר הופעת סימן השוויון "=", אשר הוצג בשנת 1556 על ידי המתמטיקאי האנגלי רקורד. אגב, סימן זה נבחר מסיבה: זה אומר שני קטעים שווים מקבילים. אכן, אין דוגמה טובה יותר לשוויון.
מייסד האותיות המודרניות של לא ידועים וסימני תארים הוא המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה ויאט. עם זאת, ייעודיו היו שונים באופן משמעותי מאלה של היום. לדוגמה, הוא ציין את הריבוע של מספר לא ידוע באות Q (lat. "quadratus"), ואת הקוביה באות C (lat. "cubus"). כינויים אלה נראים כעת לא נוחים, אבל אזזו הייתה הדרך הכי מובנת לכתוב מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות.
עם זאת, החיסרון של שיטות הפתרון דאז היה שמתמטיקאים ראו רק שורשים חיוביים. אולי זה נובע מהעובדה שלערכים שליליים לא היה שימוש מעשי. כך או אחרת, היו אלה המתמטיקאים האיטלקים ניקולו טרטליה, ג'רולמו קרדנו ורפאל בומבלי שהיו הראשונים לשקול שורשים שליליים במאה ה-16. והמראה המודרני, השיטה העיקרית לפתרון משוואות ריבועיות (באמצעות המבחין) נוצרה רק במאה ה-17 הודות לעבודתם של דקארט וניוטון.
באמצע המאה ה-18, המתמטיקאי השוויצרי גבריאל קריימר מצא דרך חדשה להקל על פתרון מערכות של משוואות ליניאריות. שיטה זו נקראה לאחר מכן על שמו ועד היום אנו משתמשים בה. אבל על שיטת קראמר נדבר קצת אחר כך, אבל לעת עתה נדון במשוואות ליניאריות ובשיטות לפתרונן בנפרד מהמערכת.
משוואות לינאריות
משוואות לינאריות הן השוויון הפשוט ביותר עם משתנים. הם מסווגים כאלגבריים. משוואות לינאריות נכתבות בצורה כללית באופן הבא: 2+…a x =b. נזדקק לייצוג שלהם בצורה זו בעת קומפילציה של מערכות ומטריצות.
מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות
ההגדרה של מונח זה היא זו: זוהי קבוצה של משוואות שיש להן לא ידועים משותפים ופתרון משותף. ככלל, בבית הספר הכל הוחלט על ידי מערכותעם שתיים או אפילו שלוש משוואות. אבל יש מערכות עם ארבעה רכיבים או יותר. בואו נבין קודם איך לרשום אותם כדי שיהיה נוח לפתור אותם מאוחר יותר. ראשית, מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות ייראו טוב יותר אם כל המשתנים ייכתבו כ-x עם האינדקס המתאים: 1, 2, 3 וכן הלאה. שנית, יש לצמצם את כל המשוואות לצורה הקנונית: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
אחרי כל השלבים האלה, נוכל להתחיל לדבר על איך למצוא פתרון למערכות של משוואות לינאריות. מטריצות יהיו מאוד שימושיות בשביל זה.
Matrices
מטריקס היא טבלה המורכבת משורות ועמודות, והאלמנטים שלה ממוקמים בצומת שלהם. אלה יכולים להיות ערכים ספציפיים או משתנים. לרוב, כדי לייעד רכיבים, ממוקמים תחתיהם מנויים (לדוגמה, a11 או a23). האינדקס הראשון פירושו מספר השורה והשני מספר העמודה. על מטריצות, כמו גם על כל אלמנט מתמטי אחר, ניתן לבצע פעולות שונות. אז אתה יכול:
1) הורידו והוסיפו טבלאות באותו גודל.
2) הכפל מטריצה במספר או בוקטור כלשהו.
3) העברה: הפוך שורות מטריצה לעמודות ועמודות לשורות.
4) הכפל מטריצות אם מספר השורות של אחת מהן שווה למספר העמודות של השנייה.
נדון בכל הטכניקות הללו ביתר פירוט, מכיוון שהן יהיו שימושיות עבורנו בעתיד. חיסור וחיבור של מטריצות קל מאוד. כךכאשר אנו לוקחים מטריצות באותו גודל, אז כל אלמנט של טבלה אחת מתאים לכל אלמנט של אחר. לפיכך, נוסיף (נגרע) את שני היסודות הללו (חשוב שהם יהיו באותם מקומות במטריצות שלהם). כאשר מכפילים מטריצה במספר או בוקטור, אתה פשוט צריך להכפיל כל רכיב של המטריצה במספר הזה (או בוקטור). טרנספוזיציה היא תהליך מאוד מעניין. זה מאוד מעניין לפעמים לראות את זה בחיים האמיתיים, למשל, כאשר משנים את הכיוון של טאבלט או טלפון. הסמלים על שולחן העבודה הם מטריצה, וכאשר משנים את המיקום, הוא עובר טרנספוזה והופך רחב יותר, אך פוחת בגובה.
בוא נסתכל שוב על תהליך כזה כמו כפל מטריצה. למרות שזה לא יועיל לנו, עדיין יהיה שימושי לדעת את זה. ניתן להכפיל שתי מטריצות רק אם מספר העמודות בטבלה אחת שווה למספר השורות בטבלה השנייה. כעת ניקח את האלמנטים של שורה של מטריצה אחת ואת האלמנטים של העמודה המתאימה של אחר. אנחנו מכפילים אותם זה בזה ואז מוסיפים אותם (כלומר, למשל, המכפלה של האלמנטים a11 ו-a12 ב-b 12ו-b22 יהיו שווים ל: a11b12 + a 12 b22). כך מתקבל רכיב אחד בטבלה, והוא ממולא עוד בשיטה דומה.
עכשיו אנחנו יכולים להתחיל להסתכל כיצד נפתרת מערכת המשוואות הליניאריות.
שיטת גאוס
הנושא הזה מתחיל לעבור אפילו בבית הספר. אנחנו מכירים היטב את המושג "מערכת של שתי משוואות לינאריות" ויודעים לפתור אותן.אבל מה אם מספר המשוואות גדול משתיים? שיטת גאוס תעזור לנו בזה.
כמובן, שיטה זו נוחה לשימוש אם אתה עושה מטריצה מהמערכת. אבל אתה לא יכול לשנות אותו ולפתור אותו בצורה הטהורה ביותר שלו.
אז איך שיטה זו פותרת את מערכת המשוואות הגאוסי ליניאריות? אגב, למרות ששיטה זו נקראת על שמו, היא התגלתה בימי קדם. גאוס מציע את הדברים הבאים: לבצע פעולות עם משוואות על מנת לצמצם בסופו של דבר את כל הסט לצורה מדורגת. כלומר, יש צורך שמלמעלה למטה (אם מניחים אותו נכון) מהמשוואה הראשונה ועד האחרונה, לא ידוע אחד יורד. במילים אחרות, עלינו לוודא שנקבל, נניח, שלוש משוואות: בראשונה - שלושה לא ידועים, בשנייה - שתיים, בשלישית - אחת. לאחר מכן מהמשוואה האחרונה נמצא את הלא ידוע הראשון, נחליף את ערכו במשוואה השנייה או הראשונה, ואז נמצא את שני המשתנים הנותרים.
שיטת Cramer
כדי לשלוט בשיטה זו, חיוני לשלוט במיומנויות של חיבור, חיסור של מטריצות, ואתה צריך גם להיות מסוגל למצוא דטרמיננטים. לכן, אם אתה עושה את כל זה בצורה גרועה או לא יודע איך בכלל, תצטרך ללמוד ולתרגל.
מהי המהות של שיטה זו, ואיך לגרום לכך שתתקבל מערכת של משוואות קרימר לינאריות? הכל מאוד פשוט. עלינו לבנות מטריצה ממקדמים מספריים (כמעט תמיד) של מערכת של משוואות אלגבריות לינאריות. כדי לעשות זאת, פשוט קח את המספרים מול הלא ידועים וסדר אותםטבלה לפי סדר הקלטתם במערכת. אם לפני המספר מופיע סימן "-", נכתוב מקדם שלילי. אז, ערכנו את המטריצה הראשונה מהמקדמים של הלא ידועים, לא כולל המספרים שאחרי סימני השוויון (מטבע הדברים, יש לצמצם את המשוואה לצורה הקנונית, כאשר רק המספר נמצא בצד ימין, וכל הלא ידועים עם מקדמים משמאל). לאחר מכן עליך ליצור מספר מטריצות נוספות - אחת לכל משתנה. לשם כך, אנו מחליפים בתורו כל עמודה במקדמים במטריצה הראשונה בעמודת מספרים לאחר סימן השוויון. לפיכך, אנו משיגים מספר מטריצות ואז מוצאים את הקובעים שלהן.
לאחר שמצאנו את הקובעים, העניין קטן. יש לנו מטריצה ראשונית, ויש כמה מטריצות המתקבלות שמתאימות למשתנים שונים. כדי לקבל את הפתרונות של המערכת, נחלק את הקובע של הטבלה המתקבלת בדטרמיננטה של הטבלה הראשונית. המספר המתקבל הוא הערך של אחד המשתנים. באופן דומה, אנו מוצאים את כל הלא ידועים.
שיטות אחרות
ישנן מספר שיטות נוספות לקבל פתרון של מערכות של משוואות ליניאריות. למשל, מה שנקרא שיטת גאוס-ירדן, המשמשת למציאת פתרונות למערכת של משוואות ריבועיות וקשורה גם לשימוש במטריצות. קיימת גם שיטת Jacobi לפתרון מערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות. זה הכי קל להסתגל למחשב ומשמש במחשוב.
מקרים קשים
מורכבות מתרחשת בדרך כלל כאשר מספר המשוואות קטן ממספר המשתנים. אז נוכל לומר בוודאות שאו שהמערכת אינה עקבית (כלומר, אין לה שורשים), או שמספר הפתרונות שלה נוטה לאינסוף. אם יש לנו את המקרה השני, אז עלינו לרשום את הפתרון הכללי של מערכת המשוואות הלינאריות. הוא יכיל לפחות משתנה אחד.
מסקנה
הנה הגענו לסוף. לסיכום: ניתחנו מה הן מערכת ומטריצה, למדנו איך למצוא פתרון כללי למערכת של משוואות לינאריות. בנוסף, נבחנו אפשרויות נוספות. גילינו כיצד נפתרת מערכת המשוואות הליניאריות: שיטת גאוס ושיטת קראמר. דיברנו על מקרים קשים ודרכים אחרות למצוא פתרונות.
למעשה, נושא זה הוא הרבה יותר נרחב, ואם אתה רוצה להבין אותו טוב יותר, אנו ממליצים לך לקרוא ספרות מיוחדת יותר.
