נוסחה לקביעת נפח של חרוט. דוגמה לפתרון בעיות

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 05:26

כל תלמיד בלימודי סטריאומטריה בתיכון נתקל בקונוס. שני מאפיינים חשובים של דמות מרחבית זו הם שטח פנים ונפח. במאמר זה נראה כיצד למצוא את הנפח של חרוט עגול.

חרוט עגול כדמות סיבוב של משולש ישר זווית

לפני שיוצאים ישירות לנושא המאמר, יש צורך לתאר את החרוט מנקודת מבט גיאומטרית.

שיהיה איזה משולש ישר זווית. אם תסובב אותו סביב אחת מהרגליים, התוצאה של פעולה זו תהיה הדמות הרצויה, המוצגת באיור למטה.

כאן, רגל AB היא חלק מציר החרוט, ואורכה מתאים לגובה הדמות. הרגל השנייה (קטע CA) תהיה הרדיוס של החרוט. במהלך הסיבוב, הוא יתאר מעגל התוחם את בסיס הדמות. התחתון BC נקרא הגנרטריקס של הדמות, או הגנרטריקס שלה. נקודה B היא הקודקוד היחיד של החרוט.

בהינתן המאפיינים של המשולש ABC, נוכל לכתוב את הקשר בין הגנרטריקס g, רדיוס r וגובה h באופן הבאשוויון:

g²=h²+ r²

נוסחה זו שימושית בפתרון בעיות גיאומטריות רבות עם הדמות המדוברת.

נוסחת נפח קונוס

נפח של כל דמות מרחבית הוא שטח המרחב, המוגבל על ידי המשטחים של דמות זו. ישנם שני משטחים כאלה עבור קונוס:

1. לרוחב, או חרוטי. הוא נוצר על ידי כל המחוללים.
2. קרן. במקרה זה, זהו מעגל.

קבל את הנוסחה לקביעת נפח של חרוט. כדי לעשות זאת, אנו חותכים אותו נפשית לשכבות רבות במקביל לבסיס. לכל אחת מהשכבות יש עובי dx, השואף לאפס. השטח S_x של השכבה במרחק x מהחלק העליון של האיור שווה לביטוי הבא:

S_x=pir²x²/h ²

ניתן לאמת את תקפות הביטוי הזה באופן אינטואיטיבי על ידי החלפת הערכים x=0 ו-x=h. במקרה הראשון, נקבל שטח השווה לאפס, במקרה השני, הוא יהיה שווה לשטח הבסיס העגול.

כדי לקבוע את נפח החרוט, צריך להוסיף "נפחים" קטנים של כל שכבה, כלומר, יש להשתמש בחשבון האינטגרלי:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

בחישוב האינטגרל הזה, אנחנו מגיעים לנוסחה הסופית של חרוט עגול:

V=1/3pir²h

מעניין לציין שנוסחה זו דומה לחלוטין לזו המשמשת לחישוב נפח של פירמידה שרירותית. צירוף מקרים זה אינו מקרי, כי כל פירמידה הופכת לקונוס כאשר מספר הקצוות שלה גדל עד אינסוף.

בעיית חישוב נפח

מועיל לתת דוגמה לפתרון הבעיה, שתדגים את השימוש בנוסחה הנגזרת של הכרך V.

נתון חרוט עגול ששטח הבסיס שלו הוא 37 ס מ², והמחולל של הדמות הוא פי שלושה מהרדיוס. מה נפח החרוט?

יש לנו את הזכות להשתמש בנוסחת הנפח אם אנחנו יודעים שתי כמויות: הגובה h ורדיוס r. בוא נמצא את הנוסחאות שקובעות אותן בהתאם למצב הבעיה.

ניתן לחשב את רדיוס r על ידי הכרת שטח המעגל S_o, יש לנו:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

באמצעות מצב הבעיה, אנו כותבים את השוויון עבור המחולל g:

g=3r=3√(S_o/pi)

הכרת הנוסחאות של r ו-g, חשב את הגובה h:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

מצאנו את כל הפרמטרים הדרושים. עכשיו הגיע הזמן לחבר אותם לנוסחה של V:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

נותר להחליףשטח בסיס S_o וחשב את ערך הנפח: V=119.75 cm³.