היכולת לקבוע נפח של דמויות מרחביות חשובה לפתרון בעיות גיאומטריות ומעשיות. אחת הדמויות הללו היא פריזמה. נשקול במאמר מה זה ונראה כיצד לחשב נפח של פריזמה נוטה.
למה הכוונה בפריזמה בגיאומטריה?
זהו פולידרון רגיל (פוליהדרון), שנוצר משני בסיסים זהים הממוקמים במישורים מקבילים, ומספר מקביליות המחברים בין הבסיסים המסומנים.
בסיסי פריזמה יכולים להיות מצולעים שרירותיים, כגון משולש, מרובע, חפטגון וכן הלאה. יתרה מכך, מספר הפינות (הצדדים) של המצולע קובע את שם הדמות.
כל פריזמה עם בסיס n-gon (n הוא מספר הצלעות) מורכבת מ-n+2 פרצופים, 2 × n קודקודים ו-3 × n קצוות. מהמספרים הנתונים ניתן לראות שמספר היסודות של המנסרה תואם למשפט אוילר:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
התמונה למטה מציגה איך נראות מנסרות משולשות ומרובעות עשויות זכוכית.
סוגי דמויות. פריזמה מוטה
כבר נאמר לעיל ששמה של פריזמה נקבע לפי מספר צלעות המצולע בבסיס. עם זאת, ישנן תכונות אחרות במבנה שלה שקובעות את תכונות הדמות. אז, אם כל המקביליות היוצרות את פני השטח לרוחב של המנסרה מיוצגות על ידי מלבנים או ריבועים, אז דמות כזו נקראת קו ישר. עבור פריזמה ישרה, המרחק בין הבסיסים שווה לאורך קצה הצד של כל מלבן.
אם חלק מהצלעות או כולן הן מקביליות, אז אנחנו מדברים על פריזמה משופעת. גובהו כבר יהיה פחות מאורך הצלע הצדדית.
קריטריון נוסף לפיו מסווגות הדמויות הנחשבות הוא אורכי הצלעות וזוויות המצולע בבסיס. אם הם שווים זה לזה, אז המצולע יהיה נכון. דמות ישרה עם מצולע רגיל בבסיסים נקראת רגילה. נוח לעבוד איתו בעת קביעת שטח הפנים והנפח. פריזמה נוטה בהקשר זה מציבה כמה קשיים.
האיור למטה מציג שתי מנסרות עם בסיס מרובע. זווית 90° מציגה את ההבדל הבסיסי בין פריזמה ישרה למנסרה אלכסונית.
נוסחה לקביעת נפח של דמות
חלק מהמרחב התחום על ידי פניה של מנסרה נקרא הנפח שלו. עבור הנתונים הנחשבים מכל סוג, ניתן לקבוע ערך זה לפי הנוסחה הבאה:
V=h × So
כאן, הסמל h מציין את גובה המנסרה,שהיא מדד למרחק בין שני בסיסים. סמל So- ריבוע בסיס אחד.
קל למצוא את אזור הבסיס. בהתחשב בעובדה אם המצולע רגיל או לא, ובידיעה של מספר הצלעות שלו, עליך ליישם את הנוסחה המתאימה ולקבל So. לדוגמה, עבור n-gon רגיל עם אורך הצלע a, השטח יהיה:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
עכשיו נעבור לגובה ח. עבור פריזמה ישרה, קביעת הגובה אינה קשה, אך עבור פריזמה אלכסונית, זו משימה לא פשוטה. ניתן לפתור זאת בשיטות גיאומטריות שונות, החל מתנאים ראשוניים ספציפיים. עם זאת, יש דרך אוניברסלית לקבוע את גובה הדמות. בוא נתאר את זה בקצרה.
הרעיון הוא למצוא את המרחק מנקודה בחלל למישור. נניח שהמישור ניתן על ידי המשוואה:
A × x+ B × y + C × z + D=0
אז המטוס יהיה במרחק:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
אם צירי הקואורדינטות מסודרים כך שהנקודה (0; 0; 0) נמצאת במישור הבסיס התחתון של המנסרה, אזי ניתן לכתוב את המשוואה עבור מישור הבסיס באופן הבא:
z=0
זה אומר שהנוסחה לגובה תיכתבאז:
h=z1
מספיק למצוא את קואורדינטת ה-z של כל נקודה של הבסיס העליון כדי לקבוע את גובה הדמות.
דוגמה לפתרון בעיות
האיור למטה מציג פריזמה מרובעת. הבסיס של פריזמה נוטה הוא ריבוע עם צלע של 10 ס"מ. יש צורך לחשב את נפחו אם ידוע שאורך קצה הצד הוא 15 ס"מ, והזווית החדה של המקבילית הקדמית היא 70 מעלות.
מכיוון שגובה h של הדמות הוא גם גובה המקבילית, אנו משתמשים בנוסחאות כדי לקבוע את שטחה כדי למצוא את h. נסמן את צלעות המקבילית באופן הבא:
a=10 ס מ;
b=15cm
אז אתה יכול לכתוב את הנוסחאות הבאות עבורו כדי לקבוע את השטח Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
מהמקום בו אנחנו מגיעים:
h=b × sin (α)
כאן α היא זווית חדה של המקבילית. מכיוון שהבסיס הוא ריבוע, הנוסחה לנפח של פריזמה משופעת תקבל את הצורה:
V=a2 × b × sin (α)
אנחנו מחליפים את הנתונים מהתנאי לתוך הנוסחה ומקבלים את התשובה: V ≈ 1410 cm3.
