גזירת הנוסחה לשטח של חרוט. דוגמה לפתרון בעיות

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 05:26

למחקר המאפיינים של דמויות מרחביות יש תפקיד חשוב בפתרון בעיות מעשיות. המדע העוסק בדמויות בחלל נקרא סטריאומטריה. במאמר זה, מנקודת מבט של גיאומטריה מוצקה, נשקול קונוס ונראה כיצד למצוא את השטח של קונוס.

קונוס עם בסיס עגול

במקרה הכללי, חרוט הוא משטח הבנוי על עקומה מישורית כלשהי, שכל הנקודות שלו מחוברות בקטעים עם נקודה אחת במרחב. האחרון נקרא קודקוד החרוט.

מההגדרה לעיל, ברור שלעקומה יכולה להיות צורה שרירותית, כגון פרבולית, היפרבולית, אליפטית וכן הלאה. אף על פי כן, בפועל ובבעיות בגיאומטריה, לרוב מדובר בקונוס עגול שנתקלים בו לעתים קרובות. זה מוצג בתמונה למטה.

כאן הסמל r מציין את רדיוס המעגל הממוקם בבסיס האיור, h הוא האנך למישור המעגל, המצייר מראש האיור. זה נקרא גובה. הערך s הוא הגנרטריקס של החרוט, או הגנרטריקס שלו.

ניתן לראות שהקטעים r, h ו-sיוצרים משולש ישר זווית. אם הוא מסובב סביב הרגל h, אז התחתון s יתאר את פני השטח החרוטיים, והרגל r יוצרת את הבסיס העגול של הדמות. מסיבה זו, החרוט נחשב לדמות של מהפכה. שלושת הפרמטרים הליניאריים בעלי השם מחוברים זה לזה על ידי השוויון:

s²=r²+ h²

שים לב שהשוויון הנתון תקף רק עבור חרוט ישר עגול. דמות ישרה היא רק אם הגובה שלה נופל בדיוק במרכז מעגל הבסיס. אם תנאי זה אינו מתקיים, אז הדמות נקראת אלכסונית. ההבדל בין קונוסים ישרים ואלכסוניים מוצג באיור למטה.

פיתוח צורות

לימוד שטח הפנים של קונוס נוח לביצוע, בהתחשב במטוס. דרך זו לייצוג פני השטח של דמויות בחלל נקראת התפתחותן. עבור חרוט, ניתן להשיג את הפיתוח הזה באופן הבא: אתה צריך לקחת דמות עשויה, למשל, מנייר. לאחר מכן, בעזרת מספריים, חותכים את הבסיס העגול סביב ההיקף. לאחר מכן, לאורך הגנרטריקס, בצעו חתך מהמשטח החרוט והפכו אותו למישור. התוצאה של פעולות פשוטות אלו תהיה פיתוח החרוט, המוצג באיור למטה.

כפי שאתה יכול לראות, פני השטח של חרוט אכן יכולים להיות מיוצגים על מישור. הוא מורכב משני החלקים הבאים:

• מעגל עם רדיוס r המייצג את בסיס הדמות;
• מגזר מעגלי עם רדיוס g, שהוא משטח חרוטי.

הנוסחה עבור שטח של חרוט כרוכה במציאת השטחים של שני המשטחים הפרושים.

חשב את שטח הפנים של דמות

בוא נחלק את המשימה לשני שלבים. תחילה נמצא את שטח בסיס החרוט, ולאחר מכן את שטח המשטח החרוט.

החלק הראשון של הבעיה קל לפתרון. מכיוון שהרדיוס r ניתן, די להיזכר בביטוי המתאים עבור שטח המעגל כדי לחשב את שטח הבסיס. בוא נרשום את זה:

S_o=pi × r²

אם הרדיוס אינו ידוע, תחילה עליך למצוא אותו באמצעות נוסחת היחס בינו, הגובה והמחולל.

החלק השני של הבעיה של מציאת השטח של קונוס הוא קצת יותר מסובך. שימו לב שהמגזר המעגלי בנוי על רדיוס g של הגנרטריקס והוא תחום בקשת שאורכה שווה להיקף המעגל. עובדה זו מאפשרת לרשום את הפרופורציה ולמצוא את הזווית של המגזר הנחשב. נסמן את זה באות היוונית φ. זווית זו תהיה שווה ל:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

כדי לדעת את הזווית המרכזית φ של מגזר מעגלי, אתה יכול להשתמש בפרופורציה המתאימה כדי למצוא את השטח שלו. נסמן אותו בסמל S_b. זה יהיה שווה ל:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

כלומר, שטח המשטח החרוט מתאים למכפלת הגנרטריקס g, רדיוס הבסיס r והמספר Pi.

לדעת מה התחומים של שניהםמשטחים נחשבים, נוכל לכתוב את הנוסחה הסופית עבור שטח של חרוט:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

הביטוי הכתוב מניח ידע של שני פרמטרים ליניאריים של החרוט לחישוב S. אם g או r אינם ידועים, ניתן למצוא אותם דרך הגובה h.

הבעיה של חישוב שטח של חרוט

ידוע שגובהו של חרוט ישר עגול שווה לקוטרו. יש צורך לחשב את השטח של הדמות, בידיעה ששטח הבסיס הוא 50 ס מ².

כדי לדעת את שטחו של עיגול, ניתן למצוא את רדיוס הדמות. יש לנו:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

עכשיו בואו נמצא את המחולל g במונחים של h ו-r. לפי התנאי, גובה h של הדמות שווה לשני רדיוסים r, אז:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

יש להחליף את הנוסחאות שנמצאו עבור g ו-r בביטוי עבור כל שטח החרוט. אנחנו מקבלים:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

לביטוי המתקבל נחליף את שטח הבסיס S_o ורשום את התשובה: S ≈ 161.8 ס מ².