מתמטיקה היא לא מדע משעמם, כפי שזה נראה לפעמים. יש בו הרבה דברים מעניינים, אם כי לפעמים לא מובנים למי שלא להוט להבין אותו. היום נדבר על אחד הנושאים הנפוצים והפשוטים ביותר במתמטיקה, או יותר נכון, השטח שלו שנמצא על גבול האלגברה והגיאומטריה. בואו נדבר על קווים ומשוואות שלהם. נראה כי מדובר בנושא בית ספר משעמם שאינו מבטיח שום דבר מעניין וחדש. אולם לא כך הדבר, ובמאמר זה ננסה להוכיח לכם את נקודת המבט שלנו. לפני שנעבור למעניין ביותר ומתאר את משוואת קו ישר דרך שתי נקודות, נפנה להיסטוריה של כל המדידות הללו, ולאחר מכן נברר מדוע כל זה היה נחוץ ומדוע כעת הידע של הנוסחאות הבאות לא יהיה גם כואב.
היסטוריה
אפילו בימי קדם, מתמטיקאים אהבו מבנים גיאומטריים וכל מיני גרפים. קשה היום לומר מי היה הראשון שהעלה את המשוואה של קו ישר דרך שתי נקודות. אבל אפשר להניח שהאדם הזה היה אוקלידס -מדען ופילוסוף יווני עתיק. הוא זה שהביא במסכתו "התחלות" את הבסיס לגיאומטריה האוקלידית העתידית. כעת חלק זה של המתמטיקה נחשב לבסיס הייצוג הגיאומטרי של העולם והוא נלמד בבית הספר. אבל כדאי לומר שהגיאומטריה האוקלידית פועלת רק ברמת המאקרו בממד התלת מימדי שלנו. אם נתחשב במרחב, אז לא תמיד אפשר לדמיין בעזרתו את כל התופעות שמתרחשות שם.
אחרי אוקלידס היו מדענים אחרים. והם השלימו והבינו את מה שגילה וכתב. בסופו של דבר, התברר אזור יציב של גיאומטריה, שבו הכל עדיין נותר בלתי מעורער. וזה הוכח כבר אלפי שנים שהמשוואה של קו ישר דרך שתי נקודות היא קלה ופשוטה מאוד לחיבור. אבל לפני שנתחיל להסביר איך לעשות זאת, בואו נדון בתיאוריה כלשהי.
Theory
קו ישר הוא קטע אינסופי בשני הכיוונים, אותו ניתן לחלק למספר אינסופי של קטעים בכל אורך. על מנת לייצג קו ישר, לרוב משתמשים בגרפים. יתרה מכך, גרפים יכולים להיות במערכות קואורדינטות דו-ממדיות ותלת-ממדיות כאחד. והם בנויים לפי הקואורדינטות של הנקודות השייכות להם. אחרי הכל, אם ניקח בחשבון קו ישר, נוכל לראות שהוא מורכב ממספר אינסופי של נקודות.
עם זאת, יש משהו שבו קו ישר שונה מאוד מסוגי קווים אחרים. זו המשוואה שלה. באופן כללי, זה מאוד פשוט, בניגוד למשל למשוואת המעגל. אין ספק, כל אחד מאיתנו עבר את זה בבית הספר. אבלעם זאת, הבה נרשום את הצורה הכללית שלו: y=kx+b. בחלק הבא, ננתח בפירוט מה משמעות כל אחת מהאותיות הללו וכיצד לפתור את המשוואה הפשוטה הזו של ישר העובר בשתי נקודות.
משוואת קו
השוויון שהוצג לעיל הוא משוואת הקו הישר שאנו צריכים. כדאי להסביר למה הכוונה כאן. כפי שניתן לנחש, y ו-x הן הקואורדינטות של כל נקודה על הקו. באופן כללי, משוואה זו קיימת רק בגלל שכל נקודה של כל ישר נוטה להיות בקשר עם נקודות אחרות, ולכן יש חוק שמקשר קואורדינטה אחת לאחרת. חוק זה קובע כיצד נראית המשוואה של קו ישר דרך שתי נקודות נתונות.
למה בדיוק שתי נקודות? כל זה נובע מכך שמספר הנקודות המינימלי הנדרש לבניית קו ישר במרחב דו מימדי הוא שתיים. אם ניקח מרחב תלת מימדי, אזי מספר הנקודות הנדרשות לבניית קו ישר בודד יהיה גם שווה לשניים, שכן שלוש נקודות כבר מרכיבות מישור.
יש גם משפט המוכיח שאפשר לצייר קו ישר בודד דרך כל שתי נקודות. ניתן לבדוק עובדה זו בפועל על ידי חיבור שתי נקודות אקראיות בתרשים עם סרגל.
עכשיו בואו נסתכל על דוגמה ספציפית ונראה כיצד לפתור את המשוואה הידועה לשמצה של קו ישר העובר דרך שתי נקודות נתונות.
דוגמה
שקול שתי נקודותשאתה צריך כדי לבנות קו ישר. בוא נגדיר את הקואורדינטות שלהם, לדוגמה, M1(2;1) ו-M2(3;2). כפי שאנו יודעים מהקורס בבית הספר, הקואורדינטה הראשונה היא הערך לאורך ציר OX, והשנייה היא הערך לאורך ציר OY. למעלה ניתנה משוואת ישר דרך שתי נקודות, וכדי שנוכל לגלות את הפרמטרים החסרים k ו-b, עלינו להרכיב מערכת של שתי משוואות. למעשה, הוא יורכב משתי משוואות, שכל אחת מהן תכיל את שני הקבועים הלא ידועים שלנו:
1=2k+b
2=3k+b
עכשיו נשאר הדבר החשוב ביותר: לפתור את המערכת הזו. זה נעשה בצורה פשוטה למדי. ראשית, נביע את b מהמשוואה הראשונה: b=1-2k. כעת עלינו להחליף את השוויון המתקבל במשוואה השנייה. זה נעשה על ידי החלפת b בשוויון שקיבלנו:
2=3k+1-2k
1=k;
עכשיו, כשאנחנו יודעים מה ערכו של מקדם k, הגיע הזמן לגלות את ערכו של הקבוע הבא - b. זה נעשה אפילו יותר קל. מכיוון שאנו יודעים את התלות של b ב-k, נוכל להחליף את הערך של האחרון במשוואה הראשונה ולגלות את הערך הלא ידוע:
b=1-21=-1.
כדי להכיר את שני המקדמים, כעת נוכל להחליף אותם במשוואה הכללית המקורית של קו ישר דרך שתי נקודות. לפיכך, עבור הדוגמה שלנו, אנו מקבלים את המשוואה הבאה: y=x-1. זה השוויון הרצוי, שהיינו צריכים להשיג.
לפני שנמשיך למסקנה, בואו נדון ביישום של קטע זה של מתמטיקה בחיי היומיום.
Application
ככזה, המשוואה של קו ישר דרך שתי נקודות לא מוצאת יישום. אבל זה לא אומר שאנחנו לא צריכים את זה. בפיזיקה ובמתמטיקהנעשה שימוש פעיל מאוד במשוואות הקווים ובתכונות הנובעות מהן. אולי אפילו לא שמים לב לזה, אבל מתמטיקה נמצאת מסביבנו. ואפילו נושאים שלכאורה לא ראויים לציון כמו משוואת קו ישר דרך שתי נקודות מתגלים כמועילים מאוד ולעתים קרובות מאוד מיושמים ברמה בסיסית. אם במבט ראשון נראה שזה לא יכול להיות שימושי בשום מקום, אז אתה טועה. מתמטיקה מפתחת חשיבה לוגית, שלעולם לא תהיה מיותרת.
מסקנה
עכשיו, לאחר שהבנו כיצד לצייר קווים משתי נקודות נתונות, קל לנו לענות על כל שאלה הקשורה לכך. לדוגמה, אם המורה אומר לך: "כתוב את המשוואה של ישר העובר דרך שתי נקודות", אז לא יהיה לך קשה לעשות זאת. אנו מקווים שמצאת מאמר זה שימושי.
