אחת האקסיומות של הגיאומטריה קובעת שדרך כל שתי נקודות אפשר לצייר קו ישר בודד. אקסיומה זו מעידה על כך שקיים ביטוי מספרי ייחודי המתאר באופן ייחודי את האובייקט הגיאומטרי החד-ממדי שצוין. שקול במאמר את השאלה איך לכתוב את המשוואה של ישר העובר בשתי נקודות.
מה זה נקודה וקו?
לפני ששוקלים את השאלה של בניית במרחב ובמישור קו ישר של משוואה העובר דרך זוג נקודות שונות, יש להגדיר את העצמים הגיאומטריים שצוינו.
נקודה נקבעת באופן ייחודי על ידי קבוצת קואורדינטות במערכת נתונה של צירי קואורדינטות. בנוסף אליהם, אין עוד מאפיינים לנקודה. היא אובייקט אפס ממדי.
כשמדברים על קו ישר, כל אדם מדמיין קו המתואר על גיליון נייר לבן. יחד עם זאת, ניתן לתת הגדרה גיאומטרית מדויקתהחפץ הזה. קו ישר הוא אוסף כזה של נקודות שעבורן החיבור של כל אחת מהן עם כל האחרות ייתן קבוצה של וקטורים מקבילים.
הגדרה זו משמשת בעת קביעת המשוואה הווקטורית של קו ישר, עליה נדון להלן.
מכיוון שניתן לסמן כל קו בקטע באורך שרירותי, אומרים שהוא אובייקט גיאומטרי חד-ממדי.
פונקציית וקטור מספר
ניתן לכתוב משוואה דרך שתי נקודות של ישר חולף בצורות שונות. במרחבים תלת מימדיים ודו מימדיים, הביטוי המספרי העיקרי והמובן אינטואיטיבית הוא וקטור.
נניח שיש קטע מכוון כלשהו u¯(a; b; c). במרחב התלת-ממדי, הווקטור u¯ יכול להתחיל בכל נקודה, ולכן הקואורדינטות שלו מגדירות קבוצה אינסופית של וקטורים מקבילים. עם זאת, אם נבחר נקודה ספציפית P(x0; y0; z0) ונשים זה בתור תחילתו של הווקטור u¯, אם כן, בהכפלת הווקטור הזה במספר ממשי שרירותי λ, אפשר לקבל את כל הנקודות של ישר אחד במרחב. כלומר, המשוואה הווקטורית תיכתב כך:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
כמובן, עבור המארז במטוס, הפונקציה המספרית לובשת את הצורה:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
היתרון של משוואה מסוג זה בהשוואה לאחרים (בקטעים, קנוניים,צורה כללית) טמונה בעובדה שהיא מכילה במפורש את הקואורדינטות של וקטור הכיוון. האחרון משמש לעתים קרובות כדי לקבוע אם קווים מקבילים או מאונכים.
כללי בקטעים ופונקציה קנונית עבור קו ישר במרחב דו-ממדי
כשפותרים בעיות, לפעמים צריך לכתוב את המשוואה של ישר העובר דרך שתי נקודות בצורה מסוימת וספציפית. לכן, יש לתת דרכים אחרות לציון אובייקט גיאומטרי זה במרחב דו-ממדי (למען הפשטות, נשקול את המקרה במישור).
בוא נתחיל עם משוואה כללית. יש לו את הצורה:
Ax + By + C=0
ככלל, במישור משוואת הישר כתובה בצורה זו, רק y מוגדר במפורש דרך x.
עכשיו הפוך את הביטוי למעלה באופן הבא:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
ביטוי זה נקרא משוואה בקטעים, מכיוון שהמכנה של כל משתנה מראה כמה זמן קטע הקו נחתך על ציר הקואורדינטות המתאים ביחס לנקודת ההתחלה (0; 0).
נותר לתת דוגמה למשוואה הקנונית. לשם כך, נכתוב את השוויון הווקטור במפורש:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
בוא נבטא את הפרמטר λ מכאן ונשווה את השוויון המתקבל:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
השוויון האחרון נקרא המשוואה בצורה קנונית או סימטרית.
ניתן להמיר כל אחד מהם לוקטור ולהיפך.
המשוואה של קו ישר העובר דרך שתי נקודות: טכניקת קומפילציה
חזרה לשאלת המאמר. נניח שיש שתי נקודות במרחב:
M(x1; y1; z1) ו-N(x 2; y2; z2)
הקו הישר היחיד עובר דרכם, שקל מאוד להרכיב את המשוואה שלו בצורה וקטורית. לשם כך, אנו מחשבים את הקואורדינטות של הקטע המכוון MN¯, יש לנו:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
לא קשה לנחש שהווקטור הזה יהיה המדריך לקו הישר, שיש לקבל את המשוואה שלו. בידיעה שהוא עובר גם דרך M ו-N, אתה יכול להשתמש בקואורדינטות של כל אחת מהן לביטוי וקטור. ואז המשוואה הרצויה לובשת את הצורה:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
למקרה במרחב דו-ממדי, נקבל שוויון דומה ללא השתתפות המשתנה z.
ברגע שנכתב השוויון הווקטורי של הקו, ניתן לתרגם אותו לכל צורה אחרת ששאלת הבעיה דורשת.
משימה:כתוב משוואה כללית
ידוע שקו ישר עובר בנקודות עם קואורדינטות (-1; 4) ו-(3; 2). יש צורך להרכיב את המשוואה של ישר העובר דרכם, בצורה כללית, המבטאת את y במונחים של x.
כדי לפתור את הבעיה, נכתוב תחילה את המשוואה בצורה וקטורית. הקואורדינטות הווקטוריות (המדריך) הן:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
אז הצורה הווקטורית של משוואת הישר היא הבאה:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
נותר לכתוב את זה בצורה כללית בצורה y(x). אנו משכתבים את השוויון הזה במפורש, מבטאים את הפרמטר λ ומוציאים אותו מהמשוואה:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
מהמשוואה הקנונית שנוצרה, אנו מבטאים y ומגיעים לתשובה לשאלת הבעיה:
y=-0.5x + 3.5
ניתן לבדוק את תקפות השוויון הזה על ידי החלפת הקואורדינטות של הנקודות שצוינו בהצהרת הבעיה.
בעיה: קו ישר העובר במרכז הקטע
עכשיו בואו נפתור בעיה אחת מעניינת. נניח שניתנות שתי נקודות M(2; 1) ו-N(5; 0). ידוע שקו ישר עובר דרך נקודת האמצע של הקטע המחבר בין הנקודות ומאונך לו. כתוב את המשוואה של ישר העובר באמצע הקטע בצורה וקטורית.
ניתן ליצור את הביטוי המספרי הרצוי על ידי חישוב הקואורדינטה של מרכז זה וקביעת וקטור הכיוון, אשרהקטע עושה זווית של 90o.
נקודת האמצע של הקטע היא:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
עכשיו בואו נחשב את הקואורדינטות של הווקטור MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
מכיוון שוקטור הכיוון של הקו הרצוי מאונך ל-MN¯, המכפלה הסקלרית שלהם שווה לאפס. זה מאפשר לך לחשב את הקואורדינטות הלא ידועות (א; ב) של וקטור ההיגוי:
a3 - b=0=>
b=3a
עכשיו כתוב את המשוואה הווקטורית:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
כאן החלפנו את המוצר aλ בפרמטר חדש β.
לפיכך, יצרנו את המשוואה של קו ישר העובר במרכז הקטע.
