כדי למצוא את פונקציות ההתפלגות של משתנים אקראיים והמשתנים שלהם, יש צורך ללמוד את כל התכונות של תחום ידע זה. ישנן מספר שיטות שונות למציאת הערכים המדוברים, כולל שינוי משתנה ויצירת רגע. הפצה היא מושג המבוסס על אלמנטים כמו פיזור, וריאציות. עם זאת, הם מאפיינים רק את מידת משרעת הפיזור.
הפונקציות החשובות יותר של משתנים אקראיים הן אלו הקשורות ובלתי תלויות, ומתפלגות באופן שווה. לדוגמה, אם X1 הוא משקלו של פרט שנבחר באקראי מאוכלוסיית גברים, X2 הוא משקלו של אחר, …, ו-Xn הוא משקלו של אדם נוסף מאוכלוסיית הגברים, אז עלינו לדעת כיצד פועלת האקראי X מופץ. במקרה זה, המשפט הקלאסי הנקרא משפט הגבול המרכזי חל. זה מאפשר לך להראות שעבור n גדול הפונקציה עוקבת אחר הפצות סטנדרטיות.
פונקציות של משתנה אקראי אחד
משפט הגבול המרכזי מיועד לקירוב ערכים בדידים הנבחנים כגון בינומי ופואסון.פונקציות התפלגות של משתנים אקראיים נחשבות, קודם כל, על ערכים פשוטים של משתנה אחד. לדוגמה, אם X הוא משתנה אקראי רציף שיש לו התפלגות הסתברות משלו. במקרה זה, אנו חוקרים כיצד למצוא את פונקציית הצפיפות של Y באמצעות שתי גישות שונות, כלומר שיטת פונקציית ההתפלגות והשינוי במשתנה. ראשית, רק ערכים אחד לאחד נחשבים. אז אתה צריך לשנות את הטכניקה של שינוי המשתנה כדי למצוא את ההסתברות שלו. לבסוף, עלינו ללמוד כיצד פונקציית ההתפלגות המצטברת ההפוכה יכולה לסייע במודל של מספרים אקראיים העוקבים אחר תבניות עוקבות מסוימות.
שיטת הפצה של ערכים נחשבים
השיטה של פונקציית התפלגות ההסתברות של משתנה אקראי ישימה כדי למצוא את הצפיפות שלו. בעת שימוש בשיטה זו, מחושב ערך מצטבר. לאחר מכן, על ידי הבחנה שלו, אתה יכול לקבל את צפיפות ההסתברות. כעת, לאחר שיש לנו את שיטת פונקציית ההפצה, אנו יכולים להסתכל על עוד כמה דוגמאות. תן X להיות משתנה אקראי רציף עם צפיפות הסתברות מסוימת.
מהי פונקציית צפיפות ההסתברות של x2? אם תסתכל על הפונקציה או גרף את הפונקציה (למעלה ומימין) y \u003d x2, אתה יכול לשים לב שזהו X הולך וגדל ו-0 <y<1. כעת עליך להשתמש בשיטה הנחשבת כדי למצוא את Y. ראשית, נמצאה פונקציית ההתפלגות המצטברת, אתה רק צריך להבדיל כדי לקבל את צפיפות ההסתברות. אם עושים זאת, נקבל: 0<y<1.שיטת ההפצה יושמה בהצלחה כדי למצוא את Y כאשר Y הוא פונקציה הולכת וגדלה של X. דרך אגב, f(y) משתלב ב-1 על y.
בדוגמה האחרונה, נעשה בזהירות רבה באינדקס הפונקציות המצטברות וצפיפות ההסתברות עם X או Y כדי לציין לאיזה משתנה אקראי הם שייכים. לדוגמה, כשמוצאים את פונקציית ההתפלגות המצטברת של Y, קיבלנו X. אם אתה צריך למצוא משתנה אקראי X ואת הצפיפות שלו, אתה רק צריך להבדיל אותו.
טכניקת שינוי משתנה
תנו ל-X להיות משתנה אקראי רציף שניתן על ידי פונקציית התפלגות עם מכנה משותף f (x). במקרה זה, אם אתה שם את הערך של y ב-X=v (Y), אז אתה מקבל את הערך של x, למשל v (y). כעת, עלינו לקבל את פונקציית ההתפלגות של משתנה אקראי רציף Y. כאשר השוויון הראשון והשני מתרחש מההגדרה של Y המצטבר. השוויון השלישי מתקיים מכיוון שהחלק של הפונקציה שעבורו u (X) ≦ y הוא נכון גם ש- X ≦ v (Y). והאחרון נעשה כדי לקבוע את ההסתברות במשתנה אקראי רציף X. כעת עלינו לקחת את הנגזרת של FY (y), פונקציית ההתפלגות המצטברת של Y, כדי לקבל את צפיפות ההסתברות Y.
הכללה עבור פונקציית ההפחתה
תנו ל-X להיות משתנה אקראי רציף עם f (x) משותף מוגדר מעל c1<x<c2. ותן Y=u (X) להיות פונקציה יורדת של X עם X הפוך=v (Y). מכיוון שהפונקציה רציפה ויורדת, קיימת פונקציה הפוכה X=v (Y).
כדי לטפל בבעיה זו, אתה יכול לאסוף נתונים כמותיים ולהשתמש בפונקציית ההתפלגות המצטברת האמפירית. עם מידע זה ומושך אליו, עליך לשלב דגימות אמצעים, סטיות תקן, נתוני מדיה וכן הלאה.
באופן דומה, אפילו מודל הסתברותי פשוט למדי יכול להביא למספר עצום של תוצאות. לדוגמה, אם תטיל מטבע 332 פעמים. אז מספר התוצאות המתקבלות מהיפוכים גדול מזה של גוגל (10100) - מספר, אבל לא פחות מפי 100 קווינטיליון גבוה יותר מחלקיקים יסודיים ביקום המוכר. לא מעוניין בניתוח שנותן מענה לכל תוצאה אפשרית. יהיה צורך בקונספט פשוט יותר, כגון מספר הראשים, או המהלך הארוך ביותר של הזנבות. כדי להתמקד בנושאים מעניינים, תוצאה ספציפית מתקבלת. ההגדרה במקרה זה היא כדלקמן: משתנה אקראי הוא פונקציה אמיתית עם רווח הסתברות.
הטווח S של משתנה אקראי נקרא לפעמים מרחב המצב. לפיכך, אם X הוא הערך המדובר, אז N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc וכן הלאה. האחרון שבהם, עיגול X למספר השלם הקרוב ביותר, נקרא פונקציית הקומה.
פונקציות הפצה
לאחר שנקבעה פונקציית ההתפלגות של עניין עבור משתנה אקראי x, השאלה הופכת בדרך כלל: "מה הסיכויים ש-X נופל לתוך תת-קבוצה כלשהי של ערכי B?". לדוגמה, B={מספרים אי-זוגיים}, B={גדול מ-1}, או B={בין 2 ל-7} כדי לציין את התוצאות שיש להן X, הערךמשתנה אקראי, בתת-קבוצה A. לפיכך, בדוגמה לעיל, אתה יכול לתאר את האירועים כדלקמן.
{X הוא מספר אי זוגי}, {X גדול מ-1}={X> 1}, {X הוא בין 2 ל-7}={2 <X <7} כדי להתאים לשלוש האפשרויות שלמעלה עבור תת-קבוצת B. תכונות רבות של כמויות אקראיות אינן קשורות ל-X מסוים. במקום זאת, הן תלויות באופן שבו X מקצה את ערכיו. זה מוביל להגדרה שנשמעת כך: פונקציית ההתפלגות של משתנה אקראי x היא מצטברת ונקבעת על ידי תצפיות כמותיות.
משתנים אקראיים ופונקציות התפלגות
לכן, אתה יכול לחשב את ההסתברות שפונקציית ההתפלגות של משתנה אקראי x תיקח ערכים במרווח על ידי חיסור. חשוב על הכללה או אי הכללה של נקודות קצה.
נקרא למשתנה אקראי דיסקרטי אם יש לו מרחב מצב סופי או אינסופי שניתן לספור. לפיכך, X הוא מספר הראשים בשלושה סיבובים עצמאיים של מטבע מוטה שעולה עם הסתברות p. עלינו למצוא את פונקציית ההתפלגות המצטברת של משתנה אקראי בדיד FX עבור X. תן X להיות מספר הפסגות באוסף של שלושה קלפים. ואז Y=X3 דרך FX. FX מתחיל ב-0, מסתיים ב-1, ואינו פוחת ככל שערכי x עולים. פונקציית התפלגות ה-FX המצטברת של משתנה אקראי בדיד X היא קבועה, למעט קפיצות. בעת קפיצה ה-FX רציף. הוכח את האמירה על הנכונההמשכיות של פונקציית ההתפלגות מתכונת ההסתברות אפשרית באמצעות ההגדרה. זה נשמע כך: למשתנה אקראי קבוע יש FX מצטבר שניתן להבדיל.
כדי להראות איך זה יכול לקרות, נוכל לתת דוגמה: יעד עם רדיוס יחידה. כַּנִראֶה. החץ מופץ באופן שווה על פני השטח שצוין. עבור כמה λ> 0. לפיכך, פונקציות ההתפלגות של משתנים אקראיים רציפים גדלות בצורה חלקה. ל-FX יש את המאפיינים של פונקציית הפצה.
גבר ממתין בתחנת האוטובוס עד שהאוטובוס מגיע. לאחר שהחליט בעצמו שהוא יסרב כשההמתנה תגיע ל-20 דקות. כאן יש צורך למצוא את פונקציית החלוקה המצטברת עבור T. הזמן שבו אדם עדיין יהיה בתחנת האוטובוס או לא יעזוב. למרות העובדה שפונקציית ההתפלגות המצטברת מוגדרת עבור כל משתנה אקראי. יחד עם זאת, מאפיינים אחרים ישמשו לעתים קרובות למדי: המסה עבור משתנה בדיד ופונקציית צפיפות ההתפלגות של משתנה אקראי. בדרך כלל הערך מופק דרך אחד משני הערכים האלה.
פונקציות המוניות
ערכים אלו נחשבים לפי המאפיינים הבאים, בעלי אופי כללי (מסה). הראשון מבוסס על העובדה שההסתברויות אינן שליליות. השני נובע מהתצפית שהקבוצה של כל x=2S, מרחב המצב של X, מהווה מחיצה של החופש ההסתברותי של X. דוגמה: הטלת מטבע מוטה שתוצאותיו אינן תלויות. אתה יכול להמשיך לעשותפעולות מסוימות עד שאתה מקבל גלגול ראשים. תן X לסמן משתנה אקראי שנותן את מספר הזנבות לפני הראש הראשון. ו-p מציין את ההסתברות בכל פעולה נתונה.
לכן, לפונקציית הסתברות המסה יש את התכונות האופייניות הבאות. מכיוון שהמונחים יוצרים רצף מספרי, X נקרא משתנה אקראי גיאומטרי. סכמה גיאומטרית c, cr, cr2,.,,, ל- crn יש סכום. ולפיכך, ל-sn יש גבול כמו n 1. במקרה זה, הסכום האינסופי הוא הגבול.
פונקציית המסה למעלה יוצרת רצף גיאומטרי עם יחס. לכן, המספרים הטבעיים a ו-b. ההבדל בין הערכים בפונקציית ההתפלגות שווה לערך של פונקציית המסה.
לערכים של הצפיפות הנחשבים יש הגדרה: X הוא משתנה אקראי שלהתפלגות ה-FX שלו יש נגזרת. FX מספק Z xFX (x)=fX (t) dt-1 נקראת פונקציית צפיפות ההסתברות. ו-X נקרא משתנה אקראי רציף. במשפט היסודי של החשבון, פונקציית הצפיפות היא הנגזרת של ההתפלגות. אתה יכול לחשב הסתברויות על ידי חישוב אינטגרלים מוגדרים.
מכיוון שהנתונים נאספים מתצפיות מרובות, יש לקחת בחשבון יותר ממשתנה אקראי אחד בכל פעם כדי להדגים את ההליכים הניסויים. לכן, מערך הערכים הללו והתפלגותם המשותפת עבור שני המשתנים X1 ו-X2 פירושו צפייה באירועים. עבור משתנים אקראיים נפרדים, מוגדרות פונקציות מסה הסתברותיות משותפות. עבור אלה מתמשכים, fX1, X2 נחשבים, איפהצפיפות ההסתברות המפרק מסופקת.
משתנים אקראיים בלתי תלויים
שני משתנים אקראיים X1 ו-X2 הם בלתי תלויים אם שני אירועים הקשורים אליהם זהים. במילים, ההסתברות ששני אירועים {X1 2 B1} ו-{X2 2 B2} מתרחשים בו-זמנית, y, שווה למכפלת המשתנים לעיל, שכל אחד מהם מתרחש בנפרד. עבור משתנים אקראיים נפרדים בלתי תלויים, קיימת פונקציית מסה הסתברותית משותפת, שהיא המכפלה של נפח היונים המגביל. עבור משתנים אקראיים רציפים שאינם תלויים, פונקציית צפיפות ההסתברות המשותפת היא המכפלה של ערכי הצפיפות השולית. לבסוף, אנו רואים n תצפיות עצמאיות x1, x2,.,,, xn הנובע מפונקציית צפיפות או מסה לא ידועה f. לדוגמה, פרמטר לא ידוע בפונקציות עבור משתנה אקספוננציאלי אקספוננציאלי המתאר את זמן ההמתנה לאפיק.
חיקוי משתנים אקראיים
המטרה העיקרית של תחום תיאורטי זה היא לספק את הכלים הדרושים לפיתוח נהלי מסקנות המבוססים על עקרונות מדע סטטיסטיים תקינים. לפיכך, מקרה שימוש חשוב אחד עבור תוכנה הוא היכולת ליצור פסאודו-נתונים כדי לחקות מידע ממשי. זה מאפשר לבדוק ולשפר שיטות ניתוח לפני הצורך להשתמש בהן בבסיסי נתונים אמיתיים. זה נדרש כדי לחקור את המאפיינים של הנתונים באמצעותדוּגמָנוּת. עבור משפחות נפוצות רבות של משתנים אקראיים, R מספקת פקודות להפקתם. בנסיבות אחרות, יהיה צורך בשיטות ליצירת מודל של רצף של משתנים אקראיים בלתי תלויים בעלי התפלגות משותפת.
משתנים אקראיים דיסקרטיים ודפוס פקודה. הפקודה לדוגמה משמשת ליצירת דגימות אקראיות פשוטות ושכבתיות. כתוצאה מכך, אם קלט רצף x, sample(x, 40) בוחר 40 רשומות מ-x כך שלכל הבחירות בגודל 40 יש אותה הסתברות. זה משתמש בפקודת ברירת המחדל R עבור אחזור ללא החלפה. יכול לשמש גם למודל של משתנים אקראיים בדידים. לשם כך, עליך לספק מרחב מצב בווקטור x ובפונקציית המסה f. קריאה להחליף=TRUE מציינת שהדגימה מתרחשת עם החלפה. לאחר מכן, כדי לתת מדגם של n משתנים אקראיים בלתי תלויים בעלי פונקציית מסה משותפת f, נעשה שימוש במדגם (x, n, replace=TRUE, prob=f).
קבע ש-1 הוא הערך הקטן ביותר המיוצג ו-4 הוא הגדול מכולם. אם הפקודה prob=f נשמטת, המדגם ידגום באופן אחיד מהערכים בווקטור x. אתה יכול לבדוק את הסימולציה מול פונקציית המסה שיצרה את הנתונים על ידי התבוננות בסימן השווה הכפול,==. וחישוב מחדש של התצפיות שלוקחות כל ערך אפשרי עבור x. אתה יכול להכין שולחן. חזור על זה עבור 1000 והשווה את הסימולציה עם פונקציית המסה המתאימה.
איור של שינוי הסתברות
ראשוןלדמות פונקציות התפלגות הומוגניות של משתנים אקראיים u1, u2,.,,, un על המרווח [0, 1]. בערך 10% מהמספרים צריכים להיות בתוך [0, 3, 0, 4]. זה מתאים ל-10% מהסימולציות במרווח [0, 28, 0, 38] עבור משתנה אקראי עם פונקציית התפלגות FX מוצגת. באופן דומה, כ-10% מהמספרים האקראיים צריכים להיות במרווח [0, 7, 0, 8]. זה מתאים לסימולציות של 10% על המרווח [0, 96, 1, 51] של המשתנה האקראי עם פונקציית ההתפלגות FX. ערכים אלה על ציר ה-x ניתן לקבל על ידי לקיחת היפוך מ-FX. אם X הוא משתנה אקראי רציף עם צפיפות fX חיובית בכל מקום בתחום שלו, אז פונקציית ההתפלגות גדלה בהחלט. במקרה זה, ל-FX יש פונקציית FX-1 הפוכה המכונה הפונקציה הקוונטילית. FX (x) u רק כאשר x FX-1 (u). שינוי ההסתברות נובע מניתוח המשתנה האקראי U=FX (X).
ל-
FX יש טווח של 0 עד 1. הוא לא יכול להיות מתחת ל-0 או מעל 1. עבור ערכים של u בין 0 ל-1. אם ניתן לדמות U, אז משתנה אקראי עם התפלגות FX צריך להיות הדמיה באמצעות פונקציה quantile. קחו את הנגזרת כדי לראות שהצפיפות u משתנה בתוך 1. מכיוון שלמשתנה האקראי U יש צפיפות קבועה על פני מרווח הערכים האפשריים שלו, הוא נקרא אחיד על המרווח [0, 1]. הוא מעוצב ב-R עם הפקודה runif. הזהות נקראת טרנספורמציה הסתברותית. אתה יכול לראות איך זה עובד בדוגמה של לוח החצים. X בין 0 ל-1, פונקציההתפלגות u=FX (x)=x2, ומכאן הפונקציה הקוונטילית x=FX-1 (u). אפשר ליצור מודל של תצפיות עצמאיות של המרחק ממרכז לוח החצים, וכך ליצור משתנים אקראיים אחידים U1, U2,.,, Un. פונקציית ההפצה והפונקציה האמפירית מבוססות על 100 סימולציות של חלוקה של לוח חץ. עבור משתנה אקספוננציאלי אקספוננציאלי, ככל הנראה u=FX (x)=1 - exp (- x), ומכאן x=- 1 ln (1 - u). לפעמים ההיגיון מורכב מהצהרות שוות. במקרה זה, עליך לשרשר את שני חלקי הטיעון. זהות הצומת דומה עבור כל 2 {S i i} S, במקום ערך כלשהו. האיחוד Ci שווה למרחב המצב S וכל זוג מונע זה מזה. מאז Bi - מחולק לשלוש אקסיומות. כל בדיקה מבוססת על ההסתברות המתאימה P. עבור כל תת-קבוצה. שימוש בזהות כדי לוודא שהתשובה אינה תלויה בשאלה אם נקודות הקצה של המרווחים כלולות.
פונקציה מעריכית והמשתנים שלה
עבור כל תוצאה בכל האירועים, בסופו של דבר נעשה שימוש בתכונה השנייה של המשכיות ההסתברויות, הנחשבת לאקסיומטית. חוק ההתפלגות של הפונקציה של משתנה מקרי כאן מראה שלכל אחד יש פתרון ותשובה משלו.
