החשבון הוא ענף של חשבון החוקר את הנגזרת, ההפרשים והשימוש בהם בחקר פונקציה.
היסטוריה של הופעה
חשבון דיפרנציאלי צץ כדיסציפלינה עצמאית במחצית השנייה של המאה ה-17, הודות לעבודתם של ניוטון ולייבניץ, שניסחו את הוראות היסוד בחשבון ההפרשים והבחינו בקשר בין אינטגרציה להבחנה. מאז אותו רגע, הדיסציפלינה התפתחה יחד עם חשבון האינטגרלים, ובכך היוותה את הבסיס לניתוח מתמטי. הופעת החשבון הללו פתחה תקופה מודרנית חדשה בעולם המתמטי וגרמה להופעתם של דיסציפלינות חדשות במדע. זה גם הרחיב את האפשרות ליישם מדע מתמטי במדעי הטבע והטכנולוגיה.
מושגים בסיסיים
חשבון דיפרנציאלי מבוסס על מושגי היסוד של המתמטיקה. הם: מספר ממשי, המשכיות, פונקציה וגבול. עם הזמן, הם קיבלו מראה מודרני, הודות לחישוב אינטגרלי ודיפרנציאלי.
תהליך יצירה
היווצרותו של חשבון דיפרנציאלי בצורה של שיטה יישומית ולאחר מכן התרחשה שיטה מדעית לפני הופעתה של תיאוריה פילוסופית, שנוצרה על ידי ניקולס מקוזה. יצירותיו נחשבות לפיתוח אבולוציוני משיפוטיו של המדע העתיק. למרות העובדה שהפילוסוף עצמו לא היה מתמטיקאי, אין להכחיש את תרומתו לפיתוח המדע המתמטי. קוזנסקי היה מהראשונים שהתרחקו מהתחשבות באריתמטיקה כתחום המדע המדויק ביותר, והעמיד בספק את המתמטיקה של אותה תקופה.
מתמטיקאים עתיקים השתמשו ביחידה כקריטריון אוניברסלי, בעוד שהפילוסוף הציע אינסוף כמדד חדש במקום המספר המדויק. בהקשר זה, ייצוג הדיוק במדע המתמטי הוא הפוך. הידע המדעי, לדבריו, מתחלק לרציונלי ואינטלקטואלי. השני מדויק יותר, לדברי המדען, מכיוון שהראשון נותן רק תוצאה משוערת.
Idea
הרעיון והמושג העיקריים בחשבון דיפרנציאלי קשורים לפונקציה בשכונות קטנות של נקודות מסוימות. לשם כך, יש צורך ליצור מנגנון מתמטי לחקר פונקציה שהתנהגותה בשכונה קטנה של הנקודות שנקבעו קרובה להתנהגות של פולינום או פונקציה לינארית. זה מבוסס על ההגדרה של נגזרת ודיפרנציאל.
הופעת המושג נגזרת נגרמה ממספר רב של בעיות ממדעי הטבע והמתמטיקה,מה שהוביל למציאת ערכי גבולות מאותו סוג.
אחת הבעיות העיקריות הניתנות כדוגמה החל מהתיכון היא לקבוע את מהירותה של נקודה הנעה לאורך ישר ולבנות קו משיק לעקומה זו. הדיפרנציאל קשור לכך, שכן ניתן לקירוב את הפונקציה בשכונה קטנה של הנקודה הנחשבת של הפונקציה הליניארית.
בהשוואה למושג הנגזרת של פונקציה של משתנה ממשי, ההגדרה של דיפרנציאלים פשוט עוברת לפונקציה בעלת אופי כללי, בפרט, לדימוי של מרחב אוקלידי אחד על גבי אחר.
נגזרת
תנו לנקודה לנוע בכיוון ציר Oy, למשך הזמן בו אנו לוקחים x, שנספר מהתחלה מסוימת של הרגע. תנועה כזו יכולה להיות מתוארת על ידי הפונקציה y=f(x), המיועדת לכל רגע זמן x של הקואורדינטה של הנקודה המוזזה. במכניקה, פונקציה זו נקראת חוק התנועה. המאפיין העיקרי של תנועה, במיוחד לא אחיד, הוא המהירות המיידית. כאשר נקודה נעה לאורך ציר Oy לפי חוק המכניקה, אז ברגע זמן אקראי x, היא רוכשת את הקואורדינטה f (x). ברגע הזמן x + Δx, שבו Δx מציין את תוספת הזמן, הקואורדינטה שלו תהיה f(x + Δx). כך נוצרת הנוסחה Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), שנקראת התוספת של הפונקציה. הוא מייצג את הנתיב שעברה נקודת הזמן מ-x ל-x + Δx.
עקב הופעתו של זהמהירות בזמן, הנגזרת מוצגת. בפונקציה שרירותית, הנגזרת בנקודה קבועה נקראת הגבול (בהנחה שהיא קיימת). זה יכול להיות מסומן על ידי סמלים מסוימים:
f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).
תהליך חישוב הנגזרת נקרא בידול.
חשבון דיפרנציאלי של פונקציה של מספר משתנים
שיטת חישוב זו משמשת בעת בחינת פונקציה עם מספר משתנים. בנוכחות שני משתנים x ו-y, הנגזרת החלקית ביחס ל-x בנקודה A נקראת הנגזרת של פונקציה זו ביחס ל-x עם y קבוע.
יכול להיות מיוצג על ידי התווים הבאים:
f'(x)(x, y), u'(x), ∂u/∂x או ∂f(x, y)'/∂x.
כישורים נדרשים
מיומנויות באינטגרציה ובידול נדרשות כדי ללמוד בהצלחה ולהיות מסוגלים לפתור דיפוזים. כדי להקל על הבנת משוואות דיפרנציאליות, עליך להבין היטב את נושא הנגזרת והאינטגרל הבלתי מוגדר. זה גם לא מזיק ללמוד איך למצוא את הנגזרת של פונקציה נתונה במרומז. זאת בשל העובדה שבתהליך לימוד אינטגרלים ובידול לעיתים קרובות יהיה צורך להשתמש.
סוגי משוואות דיפרנציאליות
כמעט בכל עבודות המבחן הקשורות למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, ישנם 3 סוגים של משוואות: הומוגנית, עם משתנים ניתנים להפרדה, לא הומוגנית ליניארית.
ישנם גם זנים נדירים יותר של משוואות: עם דיפרנציאלים מוחלטים, משוואות ברנולי ואחרות.
יסודות ההחלטה
ראשית, עליך לזכור את המשוואות האלגבריות מהקורס בבית הספר. הם מכילים משתנים ומספרים. כדי לפתור משוואה רגילה, אתה צריך למצוא קבוצה של מספרים שעומדים בתנאי נתון. ככלל, למשוואות כאלה היה שורש אחד, וכדי לבדוק את נכונותו, צריך היה רק להחליף את הערך הזה בלא נודע.
משוואה דיפרנציאלית דומה לזה. באופן כללי, משוואה כזו מסדר ראשון כוללת:
- משתנה בלתי תלוי.
- הנגזרת של הפונקציה הראשונה.
- פונקציה או משתנה תלוי.
במקרים מסוימים, ייתכן שחסר אחד מהלא ידועים, x או y, אבל זה לא כל כך חשוב, כיוון שהנוכחות של הנגזרת הראשונה, ללא נגזרות מסדר גבוה יותר, נחוצה לפתרון ולדיפרנציאל החישוב יהיה נכון.
לפתור משוואה דיפרנציאלית פירושו למצוא את קבוצת כל הפונקציות התואמות את הביטוי הנתון. קבוצה כזו של פונקציות נקראת לעתים קרובות הפתרון הכללי של DE.
חשבון אינטגרלי
חשבון אינטגרלי הוא אחד מחלקי הניתוח המתמטי החוקר את מושג האינטגרל, תכונות ושיטות החישוב שלו.
לעיתים קרובות, החישוב של האינטגרל מתרחש בעת חישוב השטח של דמות עקומה. שטח זה פירושו הגבול שאליו השטח של מצולע הכתוב באיור נתון נוטה עם עלייה הדרגתית בצלע שלו, בעוד שצלעות אלו יכולות להיעשות פחות מכל שרירותי שצוין קודם לכןערך קטן.
הרעיון המרכזי בחישוב שטח של דמות גיאומטרית שרירותית הוא לחשב שטח של מלבן, כלומר להוכיח ששטחו שווה למכפלת האורך והרוחב. בכל הנוגע לגיאומטריה, כל הקונסטרוקציות נעשות באמצעות סרגל ומצפן, ואז היחס בין אורך לרוחב הוא ערך רציונלי. בעת חישוב השטח של משולש ישר זווית, אתה יכול לקבוע שאם אתה שם את אותו משולש לידו, אז נוצר מלבן. במקבילית, השטח מחושב בשיטה דומה, אך מעט יותר מסובכת, דרך מלבן ומשולש. במצולעים, השטח מחושב דרך המשולשים הכלולים בו.
בעת קביעת חסכון של עקומה שרירותית, שיטה זו לא תעבוד. אם תפרק אותו לריבועים בודדים, אז יהיו מקומות לא מלאים. במקרה זה, מנסים להשתמש בשני כיסויים, עם מלבנים מלמעלה ולמטה, כתוצאה מכך, אלה כוללים את גרף הפונקציה ולא. שיטת החלוקה למלבנים הללו נותרה חשובה כאן. כמו כן, אם ניקח מחיצות קטנות יותר ויותר, אז השטח שמעל ומתחת אמור להתכנס בערך מסוים.
זה צריך לחזור לשיטת החלוקה למלבנים. ישנן שתי שיטות פופולריות.
רימן קבע את הגדרת האינטגרל שנוצרו על ידי לייבניץ וניוטון כשטח של תת-גרף. במקרה זה, נשקלו דמויות, המורכבות ממספר מסוים של מלבנים אנכיים והושגו על ידי חלוקהמִגזָר. כאשר, ככל שהמחיצה יורדת, יש גבול שאליה מצטמצם השטח של דמות דומה, הגבול הזה נקרא אינטגרל רימן של פונקציה במרווח נתון.
השיטה השנייה היא בניית האינטגרל לבסג, המורכב מכך שלמקום חלוקת השטח המוגדר לחלקי האינטגרנד ולאחר מכן הרכבת הסכום האינטגרלי מהערכים המתקבלים בחלקים אלו, טווח הערכים שלו מחולק למרווחים, ולאחר מכן מסוכם עם המדדים התואמים של תמונות קדם של האינטגרלים האלה.
הטבות מודרניות
אחד המדריכים העיקריים ללימוד חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי נכתב על ידי פיכטנגולטס - "קורס חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי". ספר הלימוד שלו הוא מדריך בסיסי לחקר הניתוח המתמטי, שעבר הרבה מהדורות ותרגומים לשפות אחרות. נוצר עבור סטודנטים באוניברסיטה ומשמש זמן רב במוסדות חינוך רבים כאחד מעזרי הלימוד העיקריים. נותן נתונים תיאורטיים ומיומנויות מעשיות. פורסם לראשונה ב-1948.
אלגוריתם מחקר פונקציות
כדי לחקור פונקציה באמצעות שיטות של חשבון דיפרנציאלי, עליך לפעול לפי האלגוריתם שניתן כבר:
- מצא את ההיקף של פונקציה.
- מצא את השורשים של המשוואה הנתונה.
- חשב נקודות קיצון. לשם כך, חשב את הנגזרת ואת הנקודות שבהן היא שווה לאפס.
- החלף את הערך המתקבל במשוואה.
זנים של משוואות דיפרנציאליות
בקרה מסדר ראשון (אחרת, דיפרנציאלחישוב משתנה יחיד) וסוגיהם:
- משוואה ניתנת להפרדה: f(y)dy=g(x)dx.
- המשוואות הפשוטות ביותר, או חשבון דיפרנציאלי של פונקציה של משתנה אחד, בעלות הנוסחה: y'=f(x).
- DE ליניארי לא הומוגנית מסדר ראשון: y'+P(x)y=Q(x).
- משוואה דיפרנציאלית של ברנולי: y'+P(x)y=Q(x)ya.
- משוואה עם ההפרשים הכוללים: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.
משוואות דיפרנציאליות מסדר שני וסוגיהן:
- משוואה דיפרנציאלית הומוגנית מסדר שני לינארית עם ערכי מקדם קבועים: y +py'+qy=0 p, q שייכת ל-R.
- משוואה דיפרנציאלית לינארית לא-הומוגנית מסדר שני עם מקדמים קבועים: y +py'+qy=f(x).
- משוואה דיפרנציאלית הומוגנית לינארית: y +p(x)y'+q(x)y=0, ומשוואה לא הומוגנית מסדר שני: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).
משוואות דיפרנציאליות מסדר גבוה וסוגיהן:
- משוואה דיפרנציאלית שניתן להקטין לפי הסדר: F(x, y(k), y(k+1),.., y(n)=0.
- משוואה הומוגנית לינארית מסדר גבוה: y(n)+f(n-1)y(n- 1)+…+f1y'+f0y=0, ובלתי הומוגנית: y(n))+f(n-1)y(n-1)+…+f1 y'+f0y=f(x).
צעדים בפתרון בעיה באמצעות משוואת דיפרנציאלית
בעזרת שלט רחוק פותרים לא רק שאלות מתמטיות או פיזיות, אלא גם בעיות שונות מביולוגיה, כלכלה, סוציולוגיה וכו'. למרות המגוון הרחב של הנושאים, יש לדבוק ברצף הגיוני אחד בעת פתרון בעיות כאלה:
- קומפילציה של שלט רחוק. אחד השלבים הקשים ביותר שדורשים דיוק מירבי, שכן כל טעות תוביל לתוצאות שגויות לחלוטין. יש לקחת בחשבון את כל הגורמים המשפיעים על התהליך ולקבוע את התנאים ההתחלתיים. זה צריך להתבסס גם על עובדות ומסקנות הגיוניות.
- פתרון המשוואה שנוסחה. תהליך זה פשוט יותר מהשלב הראשון, מכיוון שהוא דורש רק חישובים מתמטיים קפדניים.
- ניתוח והערכה של התוצאות. יש להעריך את הפתרון הנגזר כדי לקבוע את הערך המעשי והתיאורטי של התוצאה.
דוגמה לשימוש במשוואות דיפרנציאליות ברפואה
השימוש בשלט רחוק בתחום הרפואה מתרחש בעת בניית מודל מתמטי אפידמיולוגי. יחד עם זאת, אין לשכוח שמשוואות אלו מצויות גם בביולוגיה ובכימיה, הקרובות לרפואה, כי חקר אוכלוסיות ביולוגיות שונות ותהליכים כימיים בגוף האדם ממלאים בה תפקיד חשוב.
בדוגמה לעיל של מגיפה, אנו יכולים לשקול את התפשטות הזיהום בחברה מבודדת. התושבים מחולקים לשלושה סוגים:
- Infected, מספר x(t), המורכב מיחידים, נשאי הזיהום, שכל אחד מהם מדבק (תקופת הדגירה קצרה).
- הסוג השני כוללאנשים רגישים y(t) המסוגלים להידבק באמצעות מגע עם אנשים נגועים.
- המין השלישי כולל פרטים חיסוניים z(t) שהם חסינים או שמתו עקב מחלה.
מספר הפרטים קבוע, לא נלקח בחשבון בלידות, מקרי מוות טבעיים והגירה. יהיו שתי השערות בבסיס.
אחוז ההיארעות בנקודת זמן מסוימת הוא x(t)y(t) (בהתבסס על התיאוריה שמספר המקרים הוא פרופורציונלי למספר הצמתים בין נציגים חולים ורגישים, שבראשון הקירוב יהיה פרופורציונלי ל-x(t)y(t)), בקשר לכך, מספר המקרים גדל, ומספר הירידה הרגישים בקצב המחושב לפי הנוסחה ax(t)y(t) (a > 0).
מספר האנשים החיסונים שהפכו חסינים או שמתו גדל בשיעור שהוא פרופורציונלי למספר המקרים, bx(t) (b > 0).
כתוצאה מכך, אתה יכול ליצור מערכת של משוואות תוך התחשבות בכל שלושת האינדיקטורים ולהסיק מסקנות על סמך זה.
דוגמה לכלכלה
חשבון דיפרנציאלי משמש לעתים קרובות בניתוח כלכלי. המשימה העיקרית בניתוח כלכלי היא חקר כמויות מהמשק, הכתובות בצורה של פונקציה. זה משמש כאשר פותרים בעיות כגון שינויים בהכנסה מיד לאחר העלאת מסים, הכנסת מכסים, שינויים בהכנסות החברה כאשר עלות הייצור משתנה, באיזה שיעור ניתן להחליף עובדים שפרשו בציוד חדש. כדי לפתור בעיות כאלה, זה הכרחיבנה פונקציית חיבור ממשתני הקלט, שנלמדים לאחר מכן באמצעות חשבון הדיפרנציאלי.
בתחום הכלכלי, לעתים קרובות יש צורך למצוא את האינדיקטורים האופטימליים ביותר: פריון עבודה מקסימלי, ההכנסה הגבוהה ביותר, העלויות הנמוכות ביותר וכו'. כל אינדיקטור כזה הוא פונקציה של ארגומנט אחד או יותר. לדוגמה, ניתן לראות בייצור כפונקציה של תשומות עבודה והון. בהקשר זה, ניתן לצמצם מציאת ערך מתאים למציאת המקסימום או המינימום של פונקציה מתוך משתנה אחד או יותר.
בעיות מהסוג הזה יוצרות מחלקה של בעיות קיצוניות בתחום הכלכלי, שפתרונן מצריך חשבון דיפרנציאלי. כאשר צריך למזער או למקסם אינדיקטור כלכלי כפונקציה של אינדיקטור אחר, אזי בנקודת המקסימום, היחס בין התוספת של הפונקציה לארגומנטים ישטה לאפס אם התוספת של הארגומנט שואפת לאפס. אחרת, כאשר יחס כזה נוטה לערך חיובי או שלילי כלשהו, הנקודה שצוינה אינה מתאימה, כי על ידי הגדלה או הקטנה של הארגומנט, אתה יכול לשנות את הערך התלוי בכיוון הנדרש. בטרמינולוגיה של חשבון דיפרנציאלי, זה אומר שהתנאי הנדרש למקסימום של פונקציה הוא הערך האפס של הנגזרת שלה.
בכלכלה, לעתים קרובות יש בעיות במציאת הקצה הקיצוני של פונקציה עם מספר משתנים, מכיוון שאינדיקטורים כלכליים מורכבים מגורמים רבים. שאלות כאלה טובות.נחקר בתורת הפונקציות של מספר משתנים, תוך יישום שיטות חישוב דיפרנציאלי. בעיות כאלה כוללות לא רק פונקציות ממוזערות וממוזערות, אלא גם אילוצים. שאלות כאלה קשורות לתכנות מתמטי, והן נפתרות בעזרת שיטות שפותחו במיוחד, המבוססות גם הן על ענף מדעי זה.
בין שיטות החשבון הדיפרנציאלי המשמשות בכלכלה, חלק חשוב הוא ניתוח שולי. בתחום הכלכלי, מונח זה מתייחס למערכת של שיטות ללימוד אינדיקטורים ותוצאות משתנים בעת שינוי נפח היצירה, הצריכה, בהתבסס על ניתוח האינדיקטורים השוליים שלהם. המדד המגביל הוא הנגזרות או הנגזרות החלקיות עם מספר משתנים.
חשבון דיפרנציאלי של מספר משתנים הוא נושא חשוב בתחום הניתוח המתמטי. למחקר מפורט ניתן להיעזר בספרי לימוד שונים להשכלה גבוהה. אחד המפורסמים נוצר על ידי פיכטנגולטס - "קורס חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי". כפי שהשם מרמז, מיומנויות בעבודה עם אינטגרלים הם בעלי חשיבות ניכרת לפתרון משוואות דיפרנציאליות. כאשר מתבצע חשבון הדיפרנציאלי של פונקציה של משתנה אחד, הפתרון הופך לפשוט יותר. אם כי, יש לציין, הוא כפוף לאותם כללים בסיסיים. על מנת ללמוד פונקציה בפועל על ידי חשבון דיפרנציאלי, די לעקוב אחר האלגוריתם הקיים כבר, שניתן בתיכון ורק מעט מסובך כשמציגים חדשים.משתנים.
