תורת ההסתברות היא ענף מיוחד במתמטיקה, הנלמד רק על ידי תלמידי מוסדות חינוך גבוהים. האם אתה אוהב חישובים ונוסחאות? האם אינך חושש מהסיכויים של היכרות עם ההתפלגות הנורמלית, האנטרופיה של ההרכב, הציפייה המתמטית והשונות של משתנה אקראי בדיד? אז הנושא הזה יעניין אותך מאוד. בואו נכיר כמה מהמושגים הבסיסיים החשובים ביותר של מדור המדע הזה.
זכור את היסודות
גם אם אתה זוכר את המושגים הפשוטים ביותר של תורת ההסתברות, אל תזניח את הפסקאות הראשונות של המאמר. העובדה היא שללא הבנה ברורה של היסודות, לא תוכל לעבוד עם הנוסחאות שנדונו להלן.
אז, יש איזה אירוע אקראי, איזה ניסוי. כתוצאה מהפעולות שבוצעו, אנו יכולים לקבל מספר תוצאות – חלקן שכיחות יותר, אחרות פחות שכיחות. ההסתברות לאירוע היא היחס בין מספר התוצאות שהתקבלו בפועל מסוג אחד לבין המספר הכולל של התוצאות האפשריות. רק אם אתה מכיר את ההגדרה הקלאסית של מושג זה, אתה יכול להתחיל ללמוד את הציפייה המתמטית והשונות של מתמשךמשתנים אקראיים.
ממוצע אריתמטי
אפילו בבית הספר, בשיעורי מתמטיקה, התחלת לעבוד עם הממוצע האריתמטי. מושג זה נמצא בשימוש נרחב בתורת ההסתברות, ולכן לא ניתן להתעלם ממנו. העיקר מבחינתנו כרגע הוא שניתקל בו בנוסחאות התוחלת והשונות המתמטית של משתנה אקראי.
יש לנו רצף של מספרים ורוצים למצוא את הממוצע האריתמטי. כל מה שנדרש מאיתנו הוא לסכם את כל מה שקיים ולחלק במספר האלמנטים ברצף. נקבל מספרים מ-1 עד 9. סכום האלמנטים יהיה 45, ונחלק את הערך הזה ב-9. תשובה: - 5.
Dispersion
מבחינה מדעית, השונות היא הריבוע הממוצע של הסטיות של ערכי התכונה שהתקבלו מהממוצע האריתמטי. אחד מסומן באות לטינית גדולה D. מה צריך כדי לחשב אותו? עבור כל רכיב ברצף, אנו מחשבים את ההפרש בין המספר הזמין לממוצע האריתמטי ומריבוע אותו. יהיו בדיוק כמה ערכים שיכולים להיות תוצאות לאירוע שאנו שוקלים. לאחר מכן, נסכם את כל מה שהתקבל ונחלק במספר האלמנטים ברצף. אם יש לנו חמש תוצאות אפשריות, חלק בחמש.
Dispersion יש גם מאפיינים שאתה צריך לזכור כדי ליישם אותו בעת פתרון בעיות. לדוגמה, אם המשתנה האקראי גדל ב-X פעמים, השונות גדלה פי X מהריבוע (כלומר, XX). זה אף פעם לא פחות מאפס ואינו תלויהעברת ערכים בערך שווה למעלה או למטה. כמו כן, עבור ניסויים עצמאיים, השונות של הסכום שווה לסכום השונות.
עכשיו אנחנו בהחלט צריכים לשקול דוגמאות לשונות של משתנה אקראי בדיד והתוחלת המתמטית.
נניח שהרצנו 21 ניסויים וקיבלנו 7 תוצאות שונות. צפינו בכל אחד מהם, בהתאמה, 1, 2, 2, 3, 4, 4 ו-5 פעמים. מה תהיה השונות?
ראשית, בוא נחשב את הממוצע האריתמטי: סכום היסודות, כמובן, הוא 21. נחלק אותו ב-7, ונקבל 3. כעת נחסר 3 מכל מספר ברצף המקורי, ריבוע כל ערך, ונוסיף התוצאות ביחד. מסתבר 12. כעת נותר לנו לחלק את המספר במספר האלמנטים, וכך נראה, זה הכל. אבל יש מלכוד! בוא נדון בזה.
תלות במספר הניסויים
מסתבר שכאשר מחשבים את השונות, המכנה יכול להיות אחד משני מספרים: או N או N-1. כאן N הוא מספר הניסויים שבוצעו או מספר האלמנטים ברצף (שלמעשה זהה). במה זה תלוי?
אם מספר המבחנים נמדד במאות, אז עלינו לשים N במכנה. אם ביחידות, אז N-1. המדענים החליטו לשרטט את הגבול באופן סמלי למדי: היום הוא עובר על המספר 30. אם ערכנו פחות מ-30 ניסויים, נחלק את הכמות ב-N-1, ואם יותר, אז ב-N.
משימה
בוא נחזור לדוגמא שלנו לפתרון בעיית השונות והציפיות. אָנוּקיבל מספר ביניים של 12, אותו היה צריך לחלק ב-N או ב-N-1. מכיוון שערכנו 21 ניסויים שהם פחות מ-30, נבחר באפשרות השנייה. אז התשובה היא: השונות היא 12 / 2=2.
ציפיות
בוא נעבור למושג השני, שעלינו לשקול במאמר זה. התוחלת המתמטית היא תוצאה של הוספת כל התוצאות האפשריות כפול ההסתברויות המתאימות. חשוב להבין שהערך המתקבל, כמו גם תוצאת חישוב השונות, מתקבל פעם אחת בלבד עבור כל המשימה, לא משנה כמה תוצאות היא מחשיבה.
נוסחת הציפייה היא די פשוטה: אנחנו לוקחים תוצאה, מכפילים אותה בהסתברות שלה, מוסיפים אותו הדבר עבור התוצאה השנייה, השלישית וכו'. כל מה שקשור למושג זה קל לחישוב. לדוגמה, סכום הציפיות המתמטי שווה לציפיות המתמטיות של הסכום. הדבר נכון גם לגבי העבודה. לא כל כמות בתורת ההסתברות מאפשרת לבצע פעולות פשוטות כל כך. בואו ניקח משימה ונחשב את ערכם של שני מושגים שלמדנו בבת אחת. בנוסף, דעתנו הוסחה על ידי תיאוריה - זה הזמן לתרגל.
דוגמה נוספת
הרצנו 50 ניסויים וקיבלנו 10 סוגים של תוצאות - מספרים מ-0 עד 9 - המופיעים באחוזים שונים. אלה הם, בהתאמה: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. נזכיר שכדי לקבל את ההסתברויות, עליך לחלק את ערכי האחוזים ב-100. לפיכך, אנו מקבלים 0.02; 0, 1 וכו'. הבה נציג עבור השונות של אקראידוגמה ערכית וציפייה מתמטית לפתרון הבעיה.
חשב את הממוצע האריתמטי באמצעות הנוסחה הזכורה לנו מבית הספר היסודי: 50/10=5.
עכשיו בואו נתרגם את ההסתברויות למספר התוצאות "בחתיכות" כדי להקל על הספירה. נקבל 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ו- 9. מחסירים את הממוצע האריתמטי מכל ערך שהתקבל, ולאחר מכן נריבוע כל אחת מהתוצאות שהתקבלו. ראה כיצד לעשות זאת באמצעות האלמנט הראשון כדוגמה: 1 - 5=(-4). עוד: (-4)(-4)=16. עבור ערכים אחרים, בצע את הפעולות הללו בעצמך. אם עשית הכל נכון, לאחר הוספת כל תוצאות הביניים תקבל 90.
המשך בחישוב השונות והממוצע על ידי חלוקת 90 ב-N. מדוע אנו בוחרים ב-N ולא ב-N-1? זה נכון, כי מספר הניסויים שבוצעו עולה על 30. אז: 90/10=9. קיבלנו את הפיזור. אם אתה מקבל מספר אחר, אל ייאוש. סביר להניח שעשית טעות בנאלית בחישובים. בדוק שוב את מה שכתבת, והכל בוודאי יסתדר.
לבסוף, בואו נזכור את נוסחת הציפייה. לא ניתן את כל החישובים, נכתוב רק את התשובה איתה תוכל לבדוק לאחר סיום כל ההליכים הנדרשים. התוחלת תהיה שווה ל-5, 48. אנו זוכרים רק כיצד לבצע פעולות, באמצעות הדוגמה של האלמנטים הראשונים: 00, 02 + 10, 1… וכן הלאה. כפי שאתה יכול לראות, אנו פשוט מכפילים את הערך של התוצאה בהסתברות שלה.
Deviation
מושג נוסף הקשור בקשר הדוק לשונות ולערך הצפוי הואסטיית תקן. זה מסומן או באותיות sd הלטיניות, או באותיות קטנות היווניות "סיגמה". מושג זה מראה כיצד, בממוצע, ערכים חורגים מהתכונה המרכזית. כדי למצוא את ערכו, עליך לחשב את השורש הריבועי של השונות.
אם בונים גרף של התפלגות נורמלית ורוצים לראות את ערך סטיית התקן ישירות עליו, ניתן לעשות זאת בכמה שלבים. קח חצי מהתמונה משמאל או מימין למצב (ערך מרכזי), צייר מאונך לציר האופקי כך ששטחי הדמויות המתקבלות יהיו שווים. הערך של הקטע בין אמצע ההתפלגות וההשלכה המתקבלת על הציר האופקי יהיה סטיית התקן.
Software
כפי שניתן לראות מתיאורי הנוסחאות והדוגמאות שהוצגו, חישוב השונות והתוחלת המתמטית אינו ההליך הקל ביותר מבחינה אריתמטית. כדי לא לבזבז זמן, הגיוני להשתמש בתוכנית המשמשת בהשכלה גבוהה - היא נקראת "R". יש לו פונקציות המאפשרות לך לחשב ערכים עבור מושגים רבים מסטטיסטיקה ותורת ההסתברות.
לדוגמה, אתה מגדיר וקטור של ערכים. זה נעשה באופן הבא: וקטור <-c(1, 5, 2…). כעת, כאשר אתה צריך לחשב כמה ערכים עבור הווקטור הזה, אתה כותב פונקציה ונותן אותה כארגומנט. כדי למצוא את השונות, תצטרך להשתמש ב-var. דוגמה להשימוש: var(וקטור). אז אתה פשוט לחץ על "Enter" וקבל את התוצאה.
לסיכום
שונות ותוחלת מתמטית הם מושגי היסוד של תורת ההסתברות, שבלעדיהם קשה לחשב שום דבר בעתיד. בקורס העיקרי של הרצאות באוניברסיטאות הם נחשבים כבר בחודשים הראשונים ללימוד הנושא. בדיוק בגלל חוסר ההבנה של המושגים הפשוטים הללו וחוסר היכולת לחשב אותם, סטודנטים רבים מתחילים מיד לפגר בתכנית ובהמשך מקבלים בתום המפגש ציונים גרועים, מה שמונע מהם מלגות.
תאמן לפחות שבוע במשך חצי שעה ביום, פתרון בעיות דומות לאלו המוצגות במאמר זה. אז בכל מבחן תורת ההסתברות תתמודד עם דוגמאות ללא טיפים מיותרים ודפי רמאות.
