מאמר זה מתאר את פונקציית הגל ואת המשמעות הפיזית שלה. היישום של מושג זה במסגרת משוואת שרדינגר נשקל גם הוא.
המדע על סף גילוי פיזיקת הקוונטים
בסוף המאה התשע-עשרה, צעירים שרצו לחבר את חייהם למדע נואשו מלהפוך לפיזיקאים. הייתה דעה שכל התופעות כבר התגלו וכבר לא יכולות להיות פריצות דרך גדולות בתחום הזה. כעת, למרות השלמות לכאורה של הידע האנושי, איש לא יעז לדבר בצורה זו. כי זה קורה לעתים קרובות: תופעה או השפעה נחזות באופן תיאורטי, אבל לאנשים אין מספיק כוח טכני וטכנולוגי כדי להוכיח או להפריך אותם. כך למשל, איינשטיין חזה גלי כבידה לפני יותר ממאה שנים, אך ניתן היה להוכיח את קיומם רק לפני שנה. זה חל גם על עולם החלקיקים התת-אטומיים (כלומר, מושג כזה כמו פונקציית גל חל עליהם): עד שהמדענים הבינו שמבנה האטום מורכב, הם לא היו צריכים לחקור את התנהגותם של עצמים קטנים כל כך.
ספקטרה וצילום
דחף אלפיתוח הפיזיקה הקוונטית היה פיתוח טכניקות צילום. עד תחילת המאה העשרים, צילום התמונות היה מסורבל, זמן רב ויקר: המצלמה שקלה עשרות קילוגרמים, והדוגמניות נאלצו לעמוד חצי שעה בעמדה אחת. בנוסף, הטעות הקטנה ביותר בטיפול בפלטות זכוכית שבריריות המצופה באמולסיה רגישה לאור הובילה לאובדן בלתי הפיך של מידע. אבל בהדרגה המכשירים הפכו קלים יותר, מהירות התריס - פחות ופחות, וקבלת ההדפסים - מושלמת יותר ויותר. ולבסוף, אפשר היה להשיג ספקטרום של חומרים שונים. השאלות וחוסר העקביות שעלו בתיאוריות הראשונות על מהות הספקטרום הולידו מדע חדש לגמרי. פונקציית הגל של חלקיק ומשוואת שרדינגר שלו הפכו לבסיס לתיאור המתמטי של ההתנהגות של עולם המיקרו.
דואליות של גל חלקיקים
לאחר קביעת מבנה האטום, עלתה השאלה: מדוע האלקטרון לא נופל על הגרעין? אחרי הכל, לפי משוואות מקסוול, כל חלקיק טעון שנע מקרין, לכן, מאבד אנרגיה. אם זה היה המקרה של האלקטרונים בגרעין, היקום כפי שאנו מכירים אותו לא היה מחזיק מעמד זמן רב. נזכיר שהמטרה שלנו היא פונקציית הגל והמשמעות הסטטיסטית שלה.
השערה גאונית של מדענים באה להצלה: חלקיקים יסודיים הם גם גלים וגם חלקיקים (גופיים). התכונות שלהם הן מסה עם תנע ואורך גל עם תדירות. בנוסף, עקב נוכחותם של שני מאפיינים שלא היו תואמים בעבר, חלקיקים אלמנטריים רכשו מאפיינים חדשים.
קשה לדמיין ספין אחד מהם. בעולםחלקיקים קטנים יותר, קווארקים, יש כל כך הרבה מהמאפיינים האלה שהם מקבלים שמות מדהימים לחלוטין: טעם, צבע. אם הקורא נתקל בהם בספר על מכניקת הקוונטים, תן לו לזכור: הם בכלל לא מה שהם נראים במבט ראשון. עם זאת, איך לתאר את ההתנהגות של מערכת כזו, שבה לכל האלמנטים יש קבוצה מוזרה של מאפיינים? התשובה נמצאת בסעיף הבא.
משוואת שרדינגר
מצא את המצב שבו נמצא חלקיק יסודי (ובצורה מוכללת, מערכת קוונטית), מאפשר את המשוואה של ארווין שרדינגר:
i ħ[(d/dt) Ψ]=Ĥ ψ.
הכינויים ביחס זה הם כדלקמן:
- ħ=h/2 π, כאשר h הוא הקבוע של פלאנק.
- Ĥ – המילטון, מפעיל האנרגיה הכוללת של המערכת.
- Ψ היא פונקציית הגל.
שינוי הקואורדינטות שבהן פונקציה זו נפתרת והתנאים בהתאם לסוג החלקיק והשדה בו הוא נמצא, ניתן לקבל את חוק ההתנהגות של המערכת הנבדקת.
המושגים של פיזיקת הקוונטים
שלא יטעו את הקורא בגלל הפשטות לכאורה של המונחים שבהם נעשה שימוש. מילים וביטויים כגון "מפעיל", "אנרגיה כוללת", "תא יחידה" הם מונחים פיזיקליים. יש להבהיר את הערכים שלהם בנפרד, ועדיף להשתמש בספרי לימוד. לאחר מכן, ניתן תיאור וצורה של פונקציית הגל, אך מאמר זה הוא בעל אופי סקירה. להבנה מעמיקה יותר של מושג זה, יש צורך ללמוד את המנגנון המתמטי ברמה מסוימת.
פונקציית Wave
הביטוי המתמטי שלהיש את הטופס
|ψ(t)>=ʃ Ψ(x, t)|x> dx.
פונקציית הגל של אלקטרון או כל חלקיק יסודי אחר מתוארת תמיד באות היוונית Ψ, ולכן לפעמים היא נקראת גם פונקציית psi.
תחילה עליך להבין שהפונקציה תלויה בכל הקואורדינטות והזמן. אז Ψ(x, t) הוא למעשה Ψ(x1, x2… x, t). הערה חשובה, שכן הפתרון של משוואת שרדינגר תלוי בקואורדינטות.
לאחר מכן, יש צורך להבהיר כי |x> פירושו וקטור הבסיס של מערכת הקואורדינטות שנבחרה. כלומר, תלוי מה בדיוק צריך להשיג, המומנטום או ההסתברות |x> ייראה כמו | x1, x2, …, x >. ברור, n יהיה תלוי גם בבסיס הוקטור המינימלי של המערכת הנבחרת. כלומר, במרחב התלת מימדי הרגיל n=3. עבור הקורא חסר הניסיון, הבה נסביר שכל הסמלים האלה ליד מחוון x הם לא רק גחמה, אלא פעולה מתמטית ספציפית. לא ניתן יהיה להבין אותו ללא החישובים המתמטיים המורכבים ביותר, ולכן אנו מקווים מאוד שמי שמעוניין יגלה בעצמו את משמעותו.
לבסוף, יש צורך להסביר ש-Ψ(x, t)=.
מהות פיזית של פונקציית הגל
למרות הערך הבסיסי של כמות זו, אין לה עצמה תופעה או מושג בבסיסה. המשמעות הפיזית של פונקציית הגל היא ריבוע המודולוס הכולל שלה. הנוסחה נראית כך:
|Ψ (x1, x2, …, x , t)| 2=ω, כאשר ω הוא הערך של צפיפות ההסתברות. במקרה של ספקטרים בדידים (ולא רציפים), ערך זה הופך פשוט להסתברות.
השלכה של המשמעות הפיזית של פונקציית הגל
למשמעות פיזית כזו יש השלכות מרחיקות לכת על העולם הקוונטי כולו. כפי שמתברר מהערך של ω, כל המצבים של חלקיקים אלמנטריים מקבלים גוון הסתברותי. הדוגמה הברורה ביותר היא ההתפלגות המרחבית של ענני אלקטרונים במסלולים סביב גרעין האטום.
בוא ניקח שני סוגים של הכלאה של אלקטרונים באטומים עם הצורות הפשוטות ביותר של עננים: s ו-p. עננים מהסוג הראשון הם כדוריים בצורתם. אבל אם הקורא זוכר מספרי לימוד בפיזיקה, ענני האלקטרונים האלה מתוארים תמיד כאיזשהו מקבץ מטושטש של נקודות, ולא ככדור חלק. המשמעות היא שבמרחק מסוים מהגרעין יש אזור עם ההסתברות הגבוהה ביותר לפגוש s-אלקטרון. עם זאת, קצת יותר קרוב וקצת יותר הסתברות זו אינה אפס, היא רק פחותה. במקרה זה, עבור P-electrons, צורת ענן האלקטרונים מתוארת כמשקולת מטושטשת במקצת. כלומר, יש משטח מורכב למדי שההסתברות למציאת אלקטרון היא הגבוהה ביותר. אבל אפילו קרוב ל"משקולת" הזו, גם הלאה וגם קרוב יותר לליבה, הסתברות כזו אינה שווה לאפס.
נורמליזציה של פונקציית הגל
זה האחרון מרמז על הצורך לנרמל את פונקציית הגל. בנורמליזציה הכוונה ל"התאמה" כזו של כמה פרמטרים, שבהם זה נכוןיחס כלשהו. אם ניקח בחשבון קואורדינטות מרחביות, אז ההסתברות למצוא חלקיק נתון (אלקטרון, למשל) ביקום הקיים צריכה להיות שווה ל-1. הנוסחה נראית כך:
ʃV Ψ Ψ dV=1.
לכן, חוק שימור האנרגיה מתגשם: אם אנחנו מחפשים אלקטרון ספציפי, הוא חייב להיות כולו במרחב נתון. אחרת, פתרון משוואת שרדינגר פשוט לא הגיוני. וזה לא משנה אם החלקיק הזה נמצא בתוך כוכב או בחלל קוסמי ענק, הוא חייב להיות איפשהו.
קצת יותר גבוה הזכרנו שהמשתנים שבהם תלויה הפונקציה יכולים להיות גם קואורדינטות לא מרחביות. במקרה זה, הנורמליזציה מתבצעת על כל הפרמטרים שבהם תלויה הפונקציה.
נסיעות מיידיות: טריק או מציאות?
במכניקת הקוונטים, ההפרדה בין מתמטיקה למשמעות פיזיקלית היא קשה להפליא. לדוגמה, הקוונטים הוצג על ידי פלאנק לנוחות הביטוי המתמטי של אחת המשוואות. כעת עיקרון הדיסקרטיות של כמויות ומושגים רבים (אנרגיה, תנע זוויתי, שדה) עומד בבסיס הגישה המודרנית לחקר עולם המיקרו. גם ל-Ψ יש את הפרדוקס הזה. לפי אחד הפתרונות של משוואת שרדינגר, ייתכן שהמצב הקוונטי של המערכת משתנה באופן מיידי במהלך המדידה. תופעה זו מכונה בדרך כלל הפחתה או קריסה של פונקציית הגל. אם זה אפשרי במציאות, מערכות קוונטיות מסוגלות לנוע במהירות אינסופית. אבל המהירות המותרת עבור עצמים אמיתיים של היקום שלנובלתי ניתן לשינוי: שום דבר לא יכול לנוע מהר יותר מהאור. תופעה זו מעולם לא נרשמה, אך עדיין לא ניתן היה להפריך תיאורטית. עם הזמן, אולי, הפרדוקס הזה ייפתר: או שלאנושות יהיה מכשיר שיתקן תופעה כזו, או שיהיה טריק מתמטי שיוכיח את חוסר העקביות של הנחה זו. יש אפשרות שלישית: אנשים ייצרו תופעה כזו, אבל במקביל מערכת השמש תיפול לתוך חור שחור מלאכותי.
פונקציית גל של מערכת רב-חלקיקים (אטום מימן)
כפי שציינו לאורך המאמר, פונקציית ה-psi מתארת חלקיק אלמנטרי אחד. אבל במבט מעמיק יותר, אטום המימן נראה כמו מערכת של שני חלקיקים בלבד (אלקטרון שלילי אחד ופרוטון חיובי אחד). ניתן לתאר את פונקציות הגל של אטום המימן כשני חלקיקים או על ידי אופרטור מסוג מטריצת צפיפות. מטריצות אלו אינן בדיוק הרחבה של פונקציית psi. במקום זאת, הם מראים את ההתאמה בין ההסתברויות למציאת חלקיק במצב אחד למצב אחר. חשוב לזכור שהבעיה נפתרת רק עבור שני גופים בו זמנית. מטריצות צפיפות חלות על זוגות של חלקיקים, אך אינן אפשריות עבור מערכות מורכבות יותר, למשל, כאשר שלושה גופים או יותר מקיימים אינטראקציה. בעובדה זו, ניתן לאתר דמיון מדהים בין המכניקה ה"גסה" ביותר לפיזיקה הקוונטית ה"עדינה" מאוד. לכן, אין לחשוב שמכיוון שמכניקת הקוונטים קיימת, רעיונות חדשים לא יכולים להתעורר בפיזיקה הרגילה. המעניין מסתתר מאחורי כלעל ידי הפיכת מניפולציות מתמטיות.
