בפיזיקה, השיקול של בעיות עם גופים או מערכות מסתובבות הנמצאות בשיווי משקל מתבצע תוך שימוש במושג "רגע הכוח". מאמר זה ישקול את הנוסחה של רגע הכוח, כמו גם את השימוש בה לפתרון בעיות מסוג זה.
רגע של כוח בפיזיקה
כפי שצוין במבוא, מאמר זה יתמקד במערכות שיכולות להסתובב סביב ציר או סביב נקודה. שקול דוגמה למודל כזה, המוצג באיור למטה.
אנו רואים שהידית האפורה קבועה על ציר הסיבוב. בקצה המנוף ישנה קובייה שחורה בעלת מסה כלשהי, עליה פועל כוח (חץ אדום). ברור באופן אינטואיטיבי שהתוצאה של כוח זה תהיה סיבוב הידית סביב הציר נגד כיוון השעון.
מומנט הכוח הוא גודל בפיזיקה, השווה למכפלה הווקטורית של הרדיוס המחבר בין ציר הסיבוב ונקודת הפעלת הכוח (וקטור ירוק באיור), והכוח החיצוני. עצמו. כלומר, הנוסחה של רגע הכוח סביב הציר כתובהבאופן הבא:
M¯=r¯F¯
התוצאה של מוצר זה היא הווקטור M¯. הכיוון שלו נקבע על סמך הידע של וקטורים מכפילים, כלומר r¯ ו-F¯. על פי ההגדרה של מכפלה צולבת, M¯ חייב להיות מאונך למישור שנוצר על ידי הוקטורים r¯ ו-F¯, ומכוון בהתאם לכלל יד ימין (אם ארבע אצבעות של יד ימין ממוקמות לאורך הכפל הראשון וקטור לקראת סוף השנייה, ואז האגודל מציין לאן מופנה הווקטור הרצוי). באיור, ניתן לראות לאן מופנה הווקטור M¯ (חץ כחול).
סימון סקלרי M¯
באיור בפסקה הקודמת, הכוח (חץ אדום) פועל על הידית בזווית של 90o. במקרה הכללי, ניתן ליישם אותו בכל זווית לחלוטין. שקול את התמונה למטה.
כאן אנו רואים שהכוח F כבר פועל על הידית L בזווית מסוימת Φ. עבור מערכת זו, הנוסחה של רגע הכוח ביחס לנקודה (מוצגת בחץ) בצורה סקלרית תקבל את הצורה:
M=LFsin(Φ)
זה נובע מהביטוי שרגע הכוח M יהיה גדול יותר, ככל שכיוון הפעולה של הכוח F קרוב יותר לזווית 90o ביחס ל-L לעומת זאת, אם F פועל לאורך L, אז sin(0)=0 והכוח לא יוצר שום רגע (M=0).
כאשר בוחנים את רגע הכוח בצורה סקלרית, נעשה שימוש לעתים קרובות במושג "מנוף הכוח". ערך זה הוא המרחק בין הציר (נקודהסיבוב) והווקטור F. בהחלת הגדרה זו על האיור לעיל, אנו יכולים לומר ש-d=Lsin(Φ) הוא מנוף הכוח (השוויון נובע מהגדרת הפונקציה הטריגונומטרית "סינוס"). באמצעות מנוף הכוח, ניתן לכתוב מחדש את הנוסחה לרגע M באופן הבא:
M=dF
משמעות פיזית של M
הכמות הפיזית הנחשבת קובעת את יכולתו של הכוח החיצוני F להפעיל השפעה סיבובית על המערכת. כדי להביא את הגוף לתנועה סיבובית, יש צורך ליידע אותו על איזה רגע M.
דוגמה מצוינת לתהליך זה היא פתיחה או סגירה של הדלת לחדר. אוחז בידית, האדם מתאמץ ומסובב את הדלת על ציריה. כל אחד יכול לעשות את זה. אם תנסה לפתוח את הדלת על ידי פעולה עליה ליד הצירים, תצטרך לעשות מאמצים רבים כדי להזיז אותה.
דוגמה נוספת היא שחרור אום עם מפתח ברגים. ככל שהמפתח הזה קצר יותר, כך קשה יותר להשלים את המשימה.
המאפיינים המצוינים מודגמים על ידי הנוסחה של רגע הכוח על הכתף, שניתנה בפסקה הקודמת. אם M נחשב לערך קבוע, אז ככל ש-d קטן יותר, יש להחיל F גדול יותר כדי ליצור מומנט נתון של כוח.
מספר כוחות הפועלים במערכת
המקרים נשקלו לעיל כאשר רק כוח אחד F פועל על מערכת המסוגלת לסיבוב, אבל מה אם יש כמה כוחות כאלה? אכן, מצב זה שכיח יותר, שכן כוחות יכולים לפעול על המערכתאופי שונה (כבידה, חשמלי, חיכוך, מכני ואחרים). בכל המקרים הללו, ניתן לקבל את מומנט הכוח M¯ המתקבל באמצעות הסכום הווקטורי של כל המומנטים Mi¯, כלומר:
M¯=∑i(Mi¯), כאשר i הוא מספר החוזק Fi
מתוך התכונה של תוספת הרגעים נובעת מסקנה חשובה, הנקראת משפט ויניון, על שם המתמטיקאי של סוף המאה ה-17 - תחילת המאה ה-18 - הצרפתי פייר ויניון. נכתב: "סכום המומנטים של כל הכוחות הפועלים על המערכת הנבדקת יכול להיות מיוצג כרגע של כוח אחד, השווה לסכום כל האחרים ומוחל בנקודה מסוימת". מבחינה מתמטית, ניתן לכתוב את המשפט כך:
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
משפט חשוב זה משמש לעתים קרובות בפועל כדי לפתור בעיות בסיבוב ובאיזון של גופים.
האם רגע של כוח אכן עובד?
לנתח את הנוסחאות לעיל בצורה סקלרית או וקטורית, נוכל להסיק שהערך של M הוא עבודה מסוימת. ואכן, הממד שלו הוא Nm, אשר ב-SI מתאים לג'ול (J). למעשה, רגע הכוח אינו עבודה, אלא רק כמות שמסוגלת לעשות זאת. כדי שזה יקרה יש צורך בתנועה מעגלית במערכת ופעולה ארוכת טווח M. לכן הנוסחה לעבודת רגע הכוח כתובה כך:
A=Mθ
Bבביטוי זה, θ היא הזווית שדרכה בוצע הסיבוב במומנט הכוח M. כתוצאה מכך ניתן לכתוב את יחידת העבודה כ-Nmrad או Jrad. לדוגמה, ערך של 60 Jרד מציין שכאשר מסתובבים אותו ברדיאן 1 (כ-1/3 מהמעגל), הכוח F שיוצר את הרגע שבו M עשה 60 ג'אול עבודה. לרוב משתמשים בנוסחה זו בעת פתרון בעיות במערכות שבהן פועלים כוחות חיכוך, כפי שיוצג להלן.
רגע של כוח ומומנטום
כפי שמוצג, השפעת הרגע M על המערכת מובילה להופעת תנועה סיבובית בה. האחרון מאופיין בכמות הנקראת "מומנטום". ניתן לחשב אותו באמצעות הנוסחה:
L=Iω
כאן אני מומנט האינרציה (ערך שממלא את אותו תפקיד בסיבוב כמו המסה בתנועה הליניארית של הגוף), ω היא המהירות הזוויתית, היא קשורה למהירות הליניארית לפי הנוסחה ω=v/r.
שני הרגעים (מומנטום וכוח) קשורים זה לזה על ידי הביטוי הבא:
M=Iα, כאשר α=dω / dt היא התאוצה הזוויתית.
בואו ניתן נוסחה נוספת שחשובה לפתרון בעיות לעבודת רגעי כוחות. באמצעות נוסחה זו, ניתן לחשב את האנרגיה הקינטית של גוף מסתובב. היא נראית כך:
Ek=1/2Iω2
לאחר מכן, אנו מציגים שתי בעיות עם פתרונות, בהן אנו מראים כיצד להשתמש בנוסחאות הפיזיקליות הנחשבות.
שיווי משקל של מספר גופים
המשימה הראשונה קשורה לשיווי משקל של מערכת שבה פועלים מספר כוחות. עלהאיור שלהלן מציג מערכת שעליה פועלים שלושה כוחות. יש צורך לחשב באיזו מסה יש לתלות את האובייקט ממנוף זה ובאיזה שלב יש לעשות זאת כדי שהמערכת הזו תהיה מאוזנת.
מתנאי הבעיה, אנו יכולים להבין שכדי לפתור אותה, יש להשתמש במשפט וריניון. ניתן לענות על החלק הראשון של הבעיה באופן מיידי, שכן משקל החפץ שייתלה מהמנוף יהיה:
P=F1 - F2 + F3=20 - 10 + 25=35 H
הסימנים כאן נבחרים תוך התחשבות בכך שהכוח המסובב את הידית נגד כיוון השעון יוצר מומנט שלילי.
מיקום של נקודה d, שבו יש לתלות משקל זה, מחושב לפי הנוסחה:
M1 - M2 + M3=dP=720 - 510 + 325=d35=> d=165/35=4, 714 m
שים לב שבאמצעות הנוסחה של רגע הכבידה, חישבנו את הערך המקביל M של זה שנוצר בשלושה כוחות. על מנת שהמערכת תהיה בשיווי משקל, יש צורך לתלות גוף במשקל 35 N בנקודה 4, 714 מ' מהציר בצד השני של הידית.
בעיית העברת דיסק
פתרון הבעיה הבאה מבוסס על שימוש בנוסחה של רגע כוח החיכוך והאנרגיה הקינטית של גוף המהפכה. משימה: נתון דיסק עם רדיוס r=0.3 מטר, המסתובב במהירות של ω=1 רד/s. יש צורך לחשב כמה רחוק הוא יכול לעבור על פני השטח אם מקדם החיכוך הגלגול הוא Μ=0.001.
בעיה זו היא הקלה ביותר לפתרון אם אתה משתמש בחוק שימור האנרגיה. יש לנו את האנרגיה הקינטית הראשונית של הדיסק. כאשר הוא מתחיל להתגלגל, כל האנרגיה הזו מושקעת על חימום המשטח עקב פעולת כוח החיכוך. משווים את שתי הכמויות, נקבל את הביטוי:
Iω2/2=ΜN/rrθ
החלק הראשון של הנוסחה הוא האנרגיה הקינטית של הדיסק. החלק השני הוא עבודת מומנט כוח החיכוך F=ΜN/r, המופעל על קצה הדיסק (M=Fr).
בהינתן ש-N=mg ו-I=1/2mr2, אנו מחשבים θ:
θ=mr2 ω2/(4Μmg)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/(40.0019.81)=2.29358 rad
מכיוון ש-2pi רדיאנים תואמים לאורך של 2pir, אז נקבל שהמרחק הנדרש שהדיסק יכסה הוא:
s=θr=2.293580.3=0.688m או בערך 69cm
שים לב שהמסה של הדיסק לא משפיעה על תוצאה זו.
