מהם משתנים? משתנה במתמטיקה

2024 מְחַבֵּר: Angel Austin | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-01-02 17:47

חשיבותם של משתנים במתמטיקה היא רבה, מכיוון שבמהלך קיומו הצליחו מדענים לגלות תגליות רבות בתחום זה, וכדי לציין בקצרה וברורה משפט זה או אחר, אנו משתמשים במשתנים כדי לכתוב את הנוסחאות המתאימות.. לדוגמה, משפט פיתגורס על משולש ישר זווית: a² =b² + c^{2. איך כותבים בכל פעם כשפותרים בעיה: לפי משפט פיתגורס, ריבוע התחתון שווה לסכום ריבועי הרגליים - אנחנו רושמים את זה עם נוסחה, ומיד הכל מתבהר.}

אז, מאמר זה ידון במה הם משתנים, סוגיהם ותכונותיהם. כמו כן, ייבחנו ביטויים מתמטיים שונים: אי-שוויון, נוסחאות, מערכות ואלגוריתמים לפתרון שלהם.

קונספט משתנה

קודם כל, מהו משתנה? זהו ערך מספרי שיכול לקבל ערכים רבים. זה לא יכול להיות קבוע, שכן בבעיות ומשוואות שונות, מטעמי נוחות, אנחנו לוקחים פתרונות כמומשתנה מספרים שונים, כלומר, למשל, z הוא ייעוד כללי לכל אחת מהכמויות שבגינן הוא נלקח. בדרך כלל הם מסומנים באותיות של האלפבית הלטיני או היווני (x, y, a, b וכן הלאה).

ישנם סוגים שונים של משתנים. הם קובעים גם כמה כמויות פיזיקליות - נתיב (S), זמן (t) וגם ערכים לא ידועים במשוואות, פונקציות וביטויים אחרים.

לדוגמה, יש נוסחה: S=Vt. כאן, המשתנים מציינים כמויות מסוימות הקשורות לעולם האמיתי - הנתיב, המהירות והזמן.

ויש משוואה בצורה: 3x - 16=12x. כאן, x כבר נלקח כמספר מופשט הגיוני בסימון זה.

סוגי כמויות

סכום פירושו משהו שמבטא את התכונות של אובייקט, חומר או תופעה מסוימים. לדוגמה, טמפרטורת אוויר, משקל בעל חיים, אחוז ויטמינים בטבליה - כל אלו הן כמויות שניתן לחשב את ערכן המספרי.

לכל כמות יש יחידות מדידה משלה, שיחד יוצרות מערכת. זה נקרא מערכת המספרים (SI).

מהם משתנים וקבועים? שקול אותם עם דוגמאות ספציפיות.

בואו ניקח תנועה אחידה ישר. נקודה בחלל נעה באותה מהירות בכל פעם. כלומר, הזמן והמרחק משתנים, אבל המהירות נשארת זהה. בדוגמה זו, זמן ומרחק הם משתנים, והמהירות קבועה.

או, למשל, "pi". זהו מספר אי רציונלי שנמשך מבלי לחזור על עצמורצף של ספרות ולא ניתן לכתוב אותו במלואו, ולכן במתמטיקה הוא מתבטא באמצעות סמל מקובל שלוקח רק את הערך של שבר אינסופי נתון. כלומר, "pi" הוא ערך קבוע.

היסטוריה

ההיסטוריה של סימון המשתנים מתחילה במאה השבע-עשרה עם המדען רנה דקארט.

הוא סימן את הערכים הידועים באותיות הראשונות של האלפבית: a, b וכן הלאה, וללא ידוע הוא הציע להשתמש באותיות האחרונות: x, y, z. ראוי לציין שדקארט ראה במשתנים כאלה מספרים לא שליליים, וכאשר עמדו בפני פרמטרים שליליים, הוא שם סימן מינוס לפני המשתנה או, אם לא היה ידוע מהו הסימן המספר, אליפסיס. אבל עם הזמן, שמות המשתנים החלו לציין מספרים של כל סימן, וזה התחיל עם המתמטיקאי יוהן האדה.

עם משתנים, חישובים במתמטיקה קלים יותר לפתרון, כי, למשל, איך פותרים משוואות בי-ריבועיות עכשיו? אנו מכניסים משתנה. לדוגמה:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

עבור x2 אנחנו לוקחים כמה k, והמשוואה מתבהרת:

x2=k, for k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

זה מה שהכנסת משתנים מביאה למתמטיקה.

אי-שוויון, דוגמאות לפתרונות

אי-שוויון הוא רשומה שבה שני ביטויים מתמטיים או שני מספרים מחוברים באמצעות סימני השוואה:, ≦, ≧. הם קפדניים ומצוינים בסימנים או לא קפדניים בסימנים ≦, ≧.

לראשונה הוצגו השלטים האלהתומס הריוט. לאחר מותו של תומס פורסם ספרו עם התווים הללו, המתמטיקאים אהבו אותם, ועם הזמן הם הפכו בשימוש נרחב בחישובים מתמטיים.

יש כמה כללים שיש לפעול לפיהם בעת פתרון אי-שוויון משתנים בודדים:

כאשר מעבירים מספר מחלק אחד של אי השוויון לאחר, שנה את הסימן שלו להפך.
כאשר מכפילים או מחלקים חלקים של אי-שוויון במספר שלילי, הסימנים שלהם מתהפכים.
אם מכפילים או מחלקים את שני הצדדים של אי השוויון במספר חיובי, תקבל אי שוויון השווה למקורי.

פתרון אי-שוויון פירושו למצוא את כל הערכים התקפים של משתנה.

דוגמה למשתנה בודד:

10x - 50 > 150

אנחנו פותרים את זה כמו משוואה לינארית רגילה - מזיזים את האיברים עם משתנה שמאלה, ללא משתנה - ימינה ונותנים איברים דומים:

10x > 200

אנחנו מחלקים את שני הצדדים של אי השוויון ב-10 ומקבלים:

x > 20

לבירור, בדוגמה של פתרון אי שוויון עם משתנה אחד, צייר קו מספרים, סמן בו את הנקודה המנוקבת 20, שכן אי השוויון הוא קפדני, ומספר זה אינו כלול במכלול הפתרונות שלו.

הפתרון לאי-שוויון זה הוא המרווח (20; +∞).

פתרון של אי שוויון לא קפדני מתבצע באותו אופן כמו פתרון קפדני:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

אבל יש חריג אחד. יש להבין רשומה בצורה x ≧ 5 באופן הבא: x גדול או שווה ל-5, כלומרהמספר חמש נכלל בקבוצת כל הפתרונות לאי השוויון, כלומר, בעת כתיבת התשובה, שמים סוגר מרובע לפני המספר חמש.

x ∈ [5; +∞)

אי-שוויון בריבוע

אם ניקח משוואה ריבועית בצורה ax2 + bx +c=0 ונשנה את סימן השוויון לסימן אי השוויון שבו, נקבל בהתאם אי שוויון ריבועי.

כדי לפתור אי שוויון ריבועי, אתה צריך להיות מסוגל לפתור משוואות ריבועיות.

y=ax2 + bx + c היא פונקציה ריבועית. אנחנו יכולים לפתור את זה באמצעות המבחין, או באמצעות משפט Vieta. זכור כיצד נפתרות המשוואות האלה:

1) y=x2 + 12x + 11 - הפונקציה היא פרבולה. הענפים שלו מכוונים כלפי מעלה, שכן הסימן של מקדם "a" חיובי.

2) x2 + 12x + 11=0 - השווה לאפס ופתור באמצעות המבחין.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 roots

לפי נוסחת השורשים של המשוואה הריבועית, נקבל:

x₁ =-1, x_2=-11

או שאתה יכול לפתור את המשוואה הזו באמצעות משפט Vieta:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

באמצעות שיטת הבחירה, נקבל את אותם שורשים של המשוואה.

Parabola

אז, הדרך הראשונה לפתור אי שוויון ריבועי היא פרבולה. האלגוריתם לפתרון זה הוא כדלקמן:

1. קבע לאן מכוונים הענפים של הפרבולה.

2.השווה את הפונקציה לאפס ומצא את שורשי המשוואה.

3. אנחנו בונים קו מספר, מסמנים עליו את השורשים, מציירים פרבולה ומוצאים את הפער שאנחנו צריכים, בהתאם לסימן אי השוויון.

לפתור את אי השוויון x2 + x - 12 > 0

כתוב כפונקציה:

1) y=x2 + x - 12 - פרבולה, סניפים למעלה.

הגדר לאפס.

2) x2 + x -12=0

לאחר מכן, נפתור כמשוואה ריבועית ונמצא את האפסים של הפונקציה:

x₁ =3, x_2=-4

3) צייר קו מספר עם נקודות 3 ו-4 עליו. הפרבולה תעבור דרכם, תסתעף והתשובה לאי השוויון תהיה קבוצה של ערכים חיוביים, כלומר (-∞; -4), (3; +∞).

שיטת מרווח

הדרך השנייה היא שיטת הריווח. אלגוריתם לפתרון:

1. מצא את שורשי המשוואה שעבורה אי השוויון שווה לאפס.

2. אנו מסמנים אותם על שורת המספרים. לפיכך, הוא מחולק למספר מרווחים.

3. קבע את הסימן של כל מרווח.

4. אנו מציבים שלטים במרווחים הנותרים, ומשנים אותם לאחר אחד.

פתור את אי השוויון (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) אי-שוויון אפסים: 4, 5 ו-7.

2) צייר אותם על קו המספרים.

3) קבע את הסימנים של מרווחים.

תשובה: (-∞; -7]; [4; 5].

לפתור אי-שוויון אחד נוסף: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. אי-שוויון אפסים: 0, 2, -2 ו-1.

2. סמן אותם על שורת המספרים.

3.קבע סימני מרווחים.

השורה מחולקת למרווחים - מ-2 עד 0, מ-0 ל-1, מ-1 עד 2.

קח את הערך במרווח הראשון - (-1). מחליף באי שוויון. עם ערך זה, אי השוויון הופך חיובי, מה שאומר שהסימן במרווח זה יהיה +.

יתרה מזאת, החל מהפער הראשון, אנחנו מסדרים את השלטים, משנים אותם אחרי אחד.

אי השוויון גדול מאפס, כלומר, אתה צריך למצוא קבוצה של ערכים חיוביים על הקו.

תשובה: (-2; 0), (1; 2).

מערכות משוואות

מערכת של משוואות עם שני משתנים היא שתי משוואות שמצטרפות אליהן סד מתולתל שעבורו יש צורך למצוא פתרון משותף.

מערכות יכולות להיות שוות ערך אם הפתרון הכללי של אחת מהן הוא הפתרון של השנייה, או שלשתיהן אין פתרונות.

נלמד את הפתרון של מערכות משוואות עם שני משתנים. ישנן שתי דרכים לפתור אותן - שיטת ההחלפה או השיטה האלגברית.

שיטה אלגברית

כדי לפתור את המערכת המוצגת בתמונה בשיטה זו, תחילה עליך להכפיל את אחד מחלקיה במספר כזה, כדי שבהמשך תוכל לבטל משתנה אחד משני חלקי המשוואה. כאן נכפיל בשלוש, נצייר קו מתחת למערכת ונחבר את חלקיה. כתוצאה מכך, ה-x הופכים להיות זהים במודולוס, אך מנוגדים בסימן, ואנו מצמצמים אותם. לאחר מכן, נקבל משוואה לינארית עם משתנה אחד ונפתור אותה.

מצאנו Y, אבל אנחנו לא יכולים לעצור שם, כי עדיין לא מצאנו X. תחליףY לחלק שממנו יהיה נוח למשוך X, למשל:

-x + 5y=8, עם y=1

-x + 5=8

פתור את המשוואה שהתקבלה ומצא את x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

העיקר בפתרון המערכת הוא לרשום נכון את התשובה. תלמידים רבים טועים לכתוב:

תשובה: -3, 1.

אבל זו ערך שגוי. הרי כפי שכבר הוזכר לעיל, כאשר פותרים מערכת משוואות, אנו מחפשים פתרון כללי לחלקיה. התשובה הנכונה תהיה:

(-3; 1)